Introduction

Définit grâce au gradient, le rotationnel est un outil mathématique utilisé notamment en électromagnétisme ou encore en mécanique des fluides. Avant de pouvoir l'appliquer en physique, étudions ces différentes propriétés mathématiques.

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Définition

Qu'est ce que le rotationnel ?
Commençons par définir l'opérateur rotationnel.

L'opérateur différentiel rotationnel est noté rot. Il s'applique à un champ de vecteurs et renvoie un autre champ de vecteurs.

Le rotationnel est définit comme le produit vectoriel du gradient par le champ de vecteurs.

Soit O un ouvert de

    \[R^n\]

et V un champ de vecteurs sur O de classe

    \[C^1\]

Alors le rotationnel de V est défini par

    \[rot \vec V=\triangledown \wedge \vec V\]

grâce à l'opérateur nabla.

Lorsque le rotationnel d'un champ vectoriel est nul, on dit que ce champ est irrotationnel. Un champ irrotationnel dérive d'un potentiel.

C'est le cas par exemple du champ électrique qui dérive du potentiel électrique V en régime permanent ou encore du champ magnétique B qui dérive d'un potentiel scalaire magnétique en l'absence de courant.

Lorsque le rotationnel est non nul, on dit que le champ est tournoyant ou tourbillonnant. Le champ ainsi obtenu est perpendiculaire au plan du tourbillon.

La plupart du temps, on se placera sur un ouvert de

    \[R^3\]

et on définira le rotationnel grâce aux coordonnées cartésiennes.

    \[rot \vec V=(\frac{\partial V_3}{\partial y}-\frac{\partial V_2}{\partial z},\frac{\partial V_1}{\partial z}-\frac{\partial V_3}{\partial x},\frac{\partial V_2}{\partial x}-\frac{\partial V_1}{\partial y})\]

Le rotationnel, comme son nom l'indique, mesure la rotation d'un champ de vecteurs. De cette façon, un champ de vecteurs qui ne tourne pas aura un rotationnel nul.

On peut également définir le rotationnel dans d'autres systèmes de coordonnées comme en coordonnées sphériques ou cylindres mais sa définition est alors bien plus compliquée.

Seule l'expression en coordonnées cartésiennes est exigible, un formulaire sera fourni pour les autres systèmes de coordonnées si nécessaire.

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Propriétés

Comment calculer avec le rotationnel ?
Regardons les différentes propriétés du rotationnel et les différents théorèmes qui l'entoure.

Soient O un ouvert étoilé de

    \[R^3\]

et V un champ de vecteurs de classe

    \[C^1\]

sur O.

Un ouvert est dit étoilé par rapport à un point M0 de O si pour tout point M de O, le segment [M0,M] est entièrement contenu dans O. Ainsi, O est étoilé s'il existe un point M0 de O tel que O soit étoilé par rapport à M0.

On a les identités suivantes :

    \[rot (\triangledown f)=0\]

où f est un champ scalaire, une application de classe

    \[C^1\]

On a ensuite

    \[div(rot \vec V)=0\]

et

    \[rot (f \vec V)=\triangledown f \wedge \vec V +f rot \vec V\]

De plus, l'opérateur rotationnel est linéaire.

Sur un ouvert étoilé, si un champ de vecteurs est de rotationnel nul, alors ce champ de vecteurs est un gradient.

Cela signifie que si rot V=0 dans O, alors il existe un champ scalaire f de classe

    \[C^2\]

sur O tel que

    \[\vec V=\triangledown f\]

On appelle alors potentiel scalaire de V le champ scalaire f.

A l'inverse, si un champ de vecteurs est sans divergence sur un ouvert étoilé, alors ce champ de vecteurs est un rotationnel.

Qu'est ce que le théorème de Stokes ?
Énonçons un théorème indispensable pour l'électromagnétisme : le théorème de Stokes.

Enfin, terminons par le théorème de Stokes :

Soit dans O une surface S régulière, orientée et bornée dont la frontière

    \[\partial S\]

est constituée d'un nombre fini de courbes orientées. En supposant que les orientations de S et de sa frontière sont compatibles, on a

    \[\int_{\partial S}^{} \vec V.dl= \int_{}^{}\int_{\partial S}^{}rot \vec V.d\sigma\]

Cela revient à dire que la circulation de V le long du bord de S correspond au flux du rotationnel de V au travers de S.

Dans le cas particulier où S est contenu dans un plan, on appelle ce théorème le théorème de Green-Riemann. On considère ici que toutes les quantités sont donc définies sur

    \[R^2\]

Énonçons précisément le théorème de Green-Riemann :

Soit O un ouvert de

    \[R^2\]

Soit dans O un ouvert B borné dont la frontière

    \[\partial B\]

est entièrement contenue dans O et constituée d'un nombre fini de courbes orientées de façon directe par rapport à B. Soit V=(V1,V2) un champ de vecteurs de classe

    \[C^1\]

sur O alors

    \[\int_{}^{}\int_{B}^{}rot \vec V.dxdy=\int_{\partial B}^{} \vec V.dl\]

Le rotationnel en physique

Quel lien entre rotationnel et mécanique des fluides ?
Regardons les différentes applications physiques du rotationnel.

Pour la définition du rotationnel, c'est le théorème de Stokes qui sera le plus utilisé en physique. Il est souvent plus élégant de calculer le rotationnel par analogie avec un champ connu dont on connait le rotationnel grâce à une loi physique.

Le rotationnel de la vitesse est visible en mécanique des fluides. Il permet de décrire une rotation de la particule de fluide. Si l'écoulement du fluide est irrotationnel, c'est à dire que le rotationnel est nul pour tout point, alors le vecteur vitesse est le gradient d'un écoulement potentiel.

On retrouve ce phénomène en électrostatique. L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en statique

    \[rot \vec E=\vec 0\]

  De là, on peut définir le potentiel électrique, noté V, tel que

    \[\vec E=- \vec {grad} V\]

De manière plus générale, on retrouve le rotationnel en électromagnétisme où le champ électrique suit la loi d'induction de Maxwell-Faraday :

    \[rot \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\]

Cela signifie que la variation du champ magnétique

    \[\vec B\]

crée un champ électrique.

On le retrouve également dans l'équation de Maxwell-Ampère :

    \[rot \vec B=\mu_0(\vec j+\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t})\]

    \[\vec B\]

est un champ magnétique et j la distribution volumique de courants. Enfin, 

    \[\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}\]

s'appelle le courant de déplacement.

De plus, le rotationnel nous permet de définir le vecteur vorticité ou vecteur tourbillon qui correspond à la moitié du rotationnel de la vitesse du fluide, c'est à dire

    \[\vec w=\frac{1}{2}rot \vec v\]

Le champ issu du rotationnel est perpendiculaire au plan du tourbillon, comme l'axe d'une toupie ou d'une tornade.

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Elise

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