Qu'est ce que le carré d'un nombre ?

Introduction

Nous avons tous déjà entendu parler de cette petite puissance "²" présente en mathématiques et sur nos claviers d'ordinateur. Lorsque celle-ci apparait juste à droite d'un nombre, on dit que ce nombre est "au carré". Mais que signifie cette puissance ?

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Définition

Qu'est ce que le carré d'un nombre ? Qu'est ce que signifie mettre un nombre au carré ? C'est la première chose que nous allons chercher à comprendre ici.

Commençons par définir ce qu'est un nombre au carré.

Lorsque l'on multiplie un nombre par lui même, on dit qu'on le met au carré. Par exemple, si on appelle "a" un nombre, on note

    \[a\times a=a^2\]

Pourquoi utilise-t-on cette notation ? Lorsque l'on additionne un nombre plusieurs fois par lui même, par exemple

    \[a+a+a+a+a\]

on utilise la multiplication pour simplifier l'écriture

    \[a+a+a+a+a=5 \times a\]

De la même façon, les puissances nous permettent de simplifier les multiplications répétées

    \[a\times a \times a \times a \times a=a^5\]

Il est important de retenir que le carré d'un nombre est toujours positif. En effet, lorsque l'on multiplie deux nombres positifs entre eux on obtient un nombre positif, et il en est de même lorsque l'on multiplie entre eux deux nombres négatifs. Ainsi, la fonction carré est paire et admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

Qu'est ce que la fonction carré ? La courbe f dessinée ici est la fonction carré. On observe bien qu'elle renvoie des nombres positifs puisqu'elle se situe au dessus de l'axe des abscisses et qu'elle possède un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées

La fonction carré associe à tout nombre réel x le nombre x² qui est à valeur dans l'intervalle

    \[ [0;+\infty[ \]

c'est à dire que la fonction renvoie uniquement des nombres positifs.

Cela implique également que l'équation

    \[x²=a\]

où a est un nombre négatif est impossible à résoudre. Il n'existe aucun nombre au carré qui est négatif. Par contre, l'équation

    \[x²=a\]

où a est positif admet deux solutions : une positive et une négative.

Par exemple, l'équation

    \[x^2=16\]

admet deux solutions : 4 et -4. En effet, (-4)²=4²=16.

Par contre l'équation

    \[x^2=-2\]

n'admet aucune solution, elle est impossible à résoudre.

L'application réciproque de la fonction carré est la fonction racine carré. Elle associe à tout nombre x à valeur dans

    \[ [0;+\infty[ \]

le nombre

    \[\sqrt x\]

Cette fonction agit à l'inverse de la fonction carré. Par exemple, comme 2² vaut 4 alors

    \[\sqrt 4\]

vaut 2. Ainsi,

    \[\sqrt{x^2}=x\]

Un nombre entier qui est le carré d'un nombre est appelé "carré parfait". Par exemple, 9 est un carré parfait car 9=3².

Le terme de carré à évidemment un lien avec la figure géométrique. En effet, l'aire du carré, polygone à 4 côtés de même longueur, est donc la longueur du côté au carré !

 

Les identités remarquables

Quelles sont les identités remarquables ? Regardons maintenant comment effectuer des additions et des soustractions de nombres au carré.

Il faut faire très attention lors de l'addition et de la soustraction de deux carrés.

En effet, soient a et b deux nombres, alors

    \[(a+b)^2\neq a^2+b^2\]

Pour additionner ou soustraire deux carrés, on utilise trois propriétés qu'il est nécessaire de connaître. On les appelle des identités remarquables.

Énonçons les et expliquons les avec des exemples.

    \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

    \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

    \[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

On appelle "forme factorisée" la partie de gauche dans chacune des identités et "forme développée" les parties à droite de l'égalité.

Calculons pour a=2 et b=3 :

    \[(2+3)^2=5^2=25\]

et

    \[(2+3)^5=2^5+2\times2\times3+3^5\]

    \[=4+12+9=25\]

    \[(2-3)^2=(-1)^2=1\]

et

    \[(2-3)^5=2^5-2\times2\times3+3^5\]

    \[=4-12+9=1\]

    \[(2+3)(2-3)=5\times (-1)=-5\]

et

    \[(2+3)(2-3)=2^2-3^2=4-9=-5\]

 

Multiplications et divisions de nombre au carré

La multiplication et la division de nombres au carré est bien plus simple que les additions et les soustractions.

En effet, soient a et b deux nombres, on a

    \[a^2 \times b^2=(ab)^2\]

et

    \[\frac{a^2}{b^2}=(\frac{a}{b})^2\]

Prenons des exemples pour illustrer ces deux propriétés :

    \[4^2 \times 2^2=16 \times 4= 64\]

et

    \[(4\times 2)^2=8^2=64\]

De même pour la division,

    \[6^2 \div 3^2=36 \div 9=4\]

et

    \[(\frac{6}{3})^2=2^2=4\]

On pourrait également regarder ce que donne le carré d'un nombre au carré.

    \[(a^2)^2=a^{2\times 2}=a^4\]

On découvre de cette façon la propriété nécessaire pour les calculs de puissances différentes ou non de la puissance de 2 !

Par exemple,

    \[(3^2)^2=9^2=81\]

et

    \[(3^2)^2=3^4=81\]

 

Table des nombres au carré

Comme on connaît les tables de multiplication, il est intéressant de connaître les premiers carrés.

Résumons les dans un tableau :

NombreNombre au carré
-5(-5)²=25
-4(-4)²=16
-3(-3)²=9
-2(-2)²=4
-1(-1)²=1
00²=0
11²=1
22²=4
33²=9
44²=16
55²=25
66²=36
77²=49
88²=64
99²=81
1010²=100

 

Exercices

Comment additionner et multiplier des nombres au carré ? Terminons en regardant différents exemples et exercices d'application avec les nombres au carré.

Exercice 1 :

Résoudre les équations suivantes :

x²=9; x²=0; x²=-3

 

La première équation nous donne x=3 ou x=-3. En effet, on sait que 3²=(-3)²=9.

La deuxième équation a pour solution x=0. En effet, 0²=0 et c'est le seul nombre qui a pour carré 0.

La dernière équation n'admet aucune solution. Il n'existe aucun carré négatif.

 

Exercice 2 :

Un fermier possède un champ qui forme un carré. Il mesure un des côtés et obtient 10m. Sachant qu'il peut mettre 1 vache tous les 10 mètres carré, combien de vaches peut il mettre dans son champ ?

 

Pour répondre à la question, il nous faut connaître l'aire du carré. L'aire vaut simplement la longueur du côté au carré :

    \[A=10²=100\]

Comme

    \[100=10\times 10\]

le fermier pourra mettre 10 vaches dans son champ.

 

Exercice 3 :

Mettre les nombres suivants au carré : 3; -2; 0; -3; 5 et 9

 

Décrivons les résultats dans un tableau :

Nombres de départNombres au carré
39
-24
00
-39
525
981

 

Exercice 4 :

Effectuer ou simplifier les opérations suivantes :

(3-1)(3+1)=?

(x+4)²=?

(4x)²=?

4² : 2²= ?

 

Pour la première opération, on peut utiliser les identités remarquables :

    \[(3-1)(3+1)=3²-1²=9-1=8\]

On utilise de la même façon la première identité remarquable pour la seconde opération :

    \[(x+4)^2=x^2+8x+16\]

Pour le troisième calcul, on utilise les propriétés de la multiplication de deux nombres au carré :

    \[(4x)^2=16\times x^2\]

Enfin, on applique la propriété de la division de deux nombres carré :

    \[\frac{4^2}{2^2}=(\frac{4}{2})^2=2^2=4\]

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Elise

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vero
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Invité
17 Fév.

bravo

vero
vero
Invité
2 Mar.

bravo