Opposé d'un nombre

Définition

Soit a et b deux nombres entiers uniques. L'opposé du nombre a est tel que a + b = 0. En d'autres termes, l'opposé du nombre a est égal à -a. Pour obtenir l'opposé d'un nombre, il suffit donc de changer le signe de ce dernier.

Par exemple l'opposé du nombre 3 est égal à -3. Inversement, l'opposé de -3 est égal à 3.

Remarque : L'opposé fonctionne également pour les variables. Soit x une variable réelle, l'opposé de x est égal à -x.

Comment déterminer l'opposé d'un nombre ? Représentation de l'opposé d'un nombre

 

Opposé d'une fraction

Soit a et b deux nombres entiers d'une fraction avec a étant le numérateur et b le dénominateur.  L'opposé de la fraction a/b est égal à -a/b ou a/-b ou -(a/b).

Représentation graphique

Soit un segment AB compris sur [-10;10]. Soit 3 un nombre associé à ce segment AB. On trace le point -3 comme étant le symétrique par le point 0 du point 3.

Comment représenter l'opposé d'un nombre ? L'opposé du nombre 3 est la symétrique de point 0

La distance par rapport à 0 est identique lorsque l'on trace graphiquement le nombre et son opposé.

Inverse d'un nombre

Définition

Soit a un nombre entier différent de 0 et soit b un nombre entier. L'inverse d'un nombre a est tel que a*b = 1. En d'autres termes, l'inverse du nombre a est égal à 1/a.

Pour obtenir l'inverse d'un nombre, on peut passer par la procédure suivante :

  • 1. On mets le nombre sous forme de fraction avec 1 au dénominateur a = a/1
  • 2. On inverse les termes du numérateur et du dénominateur : a/1 a pour inverse 1/a

A noter que l'inverse de 0 n'existe pas car il est impossible de diviser par 0 en mathématiques. En effet, la division par 0 ne représente rien car on ne peut pas diviser une partie par quelque chose qui n'existe pas.

Comment représenter l'inverse d'un nombre ? Représentation de l'inverse d'un nombre

Inverse d'une fraction

Soit a et b deux nombres entiers d'une fraction avec a étant le numérateur et b le dénominateur.  L'inverse de la fraction a/b est égal à b/a. On a par conséquent échangé le numérateur et le dénominateur.

Représentation graphique

Soit un segment AB compris sur [-10;10]. Soit 3 un nombre associé à ce segment AB. On trace le point 1/3 et 3 sur le graphique. Contrairement à l'opposé, il n'y a pas de règles concernant l'inverse d'un nombre. Ce dernier peut être plus grand ou plus petit.

Comment représenter graphiquement l'inverse d'un nombre ? Inverse d'un nombre sur un graphe

Si le nombre est inférieur à 1, son inverse sera quant à lui supérieur à 1. Inversement, si le nombre est supérieur à 1, l'inverse sera quant à elle inférieure à 1.

Autres opérations

Pour résumer l'ensemble des opérations standards sur les nombres, nous avons consigné les opérations courantes dans le tableau. Cela correspond à différentes opérations :

  • Le double consiste à multiplier le nombre par 2
  • La moitié consiste à diviser le nombre par 2
  • Le triple consiste à multiplier le nombre par 3
  • Le tiers consiste à diviser le nombre par 3
  • L'opposé consiste à modifier le signe du nombre
  • Le carré consiste à multiplier le nombre par lui-même
NombreDoubleMoitiéTripleTiersOpposéInverseCarré
000000Il n'existe pas d'inverse0
121/231/3-11/1 = 11
102053010/3-101/10100
-1-2-1/2-3-1/311/-1 = -11
2/34/32/622/9-2/33/24/9
ππ/2π/31/ππ*π

Le carré d'un nombre est toujours positif quel que soit le signe du nombre. Nous verrons dans les leçons suivantes qu'il existe encore d'autres types d'opérations telle que la puissance, la racine ou autre. Tous ces éléments seront vus au fur et à mesure.

Exercices corrigés

Exercices

Exercice 1 :

1. Quel est l'opposé de 2 ?

2. Quel est l'opposé de 5 ?

3. Quel est l'opposé de -3 ?

4. Quel est l'opposé de 0 ?

5. Quel est l'opposé de  -10?

6. Quel est l'opposé de 53 ?

7. Quel est l'opposé de -23 ?

8. Quel est l'opposé de 21 ?

9. Quel est l'opposé de 2/3 ?

10. Quel est l'opposé de 9/10 ?

Exercice 2 :

En reprenant les nombres de l'exercice précédent, donner pour chacun des nombres l'inverse, la moitié, le double, le tiers, le triple et le carré.

Corrigés

Exercice 1 :

1. L'opposé de 2 est égal à -2

2. L'opposé de 5 est égal à -5

3. L'opposé de -3 est égal à -3

4. L'opposé de 0 est égal à 0

5. L'opposé de -10 est égal à -10

6. L'opposé de 53 est égal à -53

7. L'opposé de -23 est égal à 23

8. L'opposé de 21 est égal à -21

9. L'opposé de 2/3 est égal à -2/3

10. L'opposé de 9/10 est égal à -9/10

Exercice 2 :

1. Pour le nombre 2 :

L'inverse de 2 est égale à 1/2. La moitié de 2 est égale à 1. Le double de 2 est égal à 4. Le tiers de 2 est égal à 2/3. Le triple de 2 est égal à 6. Le carré de 2 est égal à 4.

2. Pour le nombre 5 :

L'inverse de 5 est égale à 1/5. La moitié de 5 est égale à 5/2. Le double de 5 est égal à 10. Le tiers de 5 est égal à 5/3. Le triple de 5 est égal à 15. Le carré de 5 est égal à 25.

3. Pour le nombre -3 :

L'inverse de -3 est égale à -1/3. La moitié de -3 est égale à -3/2. Le double de -3 est égal à -6. Le tiers de -3 est égal à -1. Le triple de -3 est égal à -9. Le carré de -3 est égal à 9.

4. Pour le nombre 0 :

L'inverse de 0 n'existe pas. La moitié de 0 est égale à 0. Le double de 0 est égal à 0. Le tiers de 0 est égal à 0. Le triple de 0 est égal à 0. Le carré de 0 est égal à 0.

5. Pour le nombre -10 :

L'inverse de -10 est égale à -1/10. La moitié de -10 est égale à -5. Le double de -10 est égal à -20. Le tiers de -10 est égal à -10/3. Le triple de -10 est égal à -30. Le carré de -10 est égal à 100.

6. Pour le nombre 53 :

L'inverse de 53 est égale à 1/53. La moitié de 53 est égale à 53/2. Le double de 53 est égal à 106. Le tiers de 53 est égal à 53/3. Le triple de 53 est égal à 150. Le carré de 53 est égal à 2809.

7. Pour le nombre 23 :

L'inverse de 23 est égale à 1/23. La moitié de 23 est égale à 23/2. Le double de 23 est égal à 46. Le tiers de 23 est égal à 23/3. Le triple de 23 est égal à 69. Le carré de 23 est égal à 529.

8. Pour le nombre -21 :

L'inverse de -21 est égale à -1/21. La moitié de -21 est égale à -21/2. Le double de -21 est égal à -42. Le tiers de -21 est égal à -21/3. Le triple de -21 est égal à -63. Le carré de -21 est égal à 441.

9. Pour le nombre -2/3 :

L'inverse de -2/3 est égale à -3/2. La moitié de -2/3 est égale à -2/6. Le double de -2/3 est égal à -4/3. Le tiers de -2/3 est égal à -2/9. Le triple de -2/3 est égal à -2. Le carré de -2/3 est égal à 4/9.

10. Pour le nombre -9/10 :

L'inverse de -9/10 est égale à -10/9. La moitié de -9/10 est égale à -9/20. Le double de -9/10 est égal à -9/5. Le tiers de -9/10 est égal à -9/30. Le triple de -9/10 est égal à -27/10. Le carré de -9/10 est égal à 81/100.

On peut résumer l'ensemble des résultats dans le tableau suivant :

NombreInverseMoitiéDoubleTiersTripleCarré
21/2142/364
51/55/2105/31525
-3-1/3-3/2-6-3/3 = -1-99
0Impossible00000
-10-1/10-5-20-10/3-30100
531/5353/210653/31592809
231/2323/24623/369529
-21-1/21-21/2-42-21/3-63441
-2/3-3/2-2/6 = -1/3-4/3-2/9-24/9
-9/10-10/9-9/20-9/5-9/30-27/1081/100

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