Introduction

Les droites remarquables au sein d'un triangle sont nombreuses. Ces dernières permettent de nombreux travaux sur les triangles et aident dans de nombreuses démonstrations. C'est pourquoi il est très utile et très important de les connaître.

Les triangles

Un triangle est un polygone très spécial. Il a 3 côtés, trois angles. Sa forme et ses caractéristiques ont longtemps poussé les mathématiciens à l'étudier. De Thalès à Euclide en passant par Pythagore, tous ces génies des mathématiques lui ont dédié des théorèmes qui aujourd'hui encore sont étudiés par les élèves.

Définition

Le triangle se définit comme une figure plane dotée de trois côtés et angles. Ses trois angles sont nommés sommets et les trois segments qui relient ces sommets se nomment les côtés.

Propriétés sur les triangles

  • La somme des angles d'un triangle est égale à 180° ;
  • Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés opposés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci ;
  • Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues ;
  • Dans un triangle ABC équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues d'un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues et donc l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus ;
  • Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse ;
  • Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse, le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse ;
  • Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires car leur somme est de 90°.

Les différents types de triangles

Il existe plusieurs types de triangles. Chacun d'entre eux dispose de caractéristiques particulières.

Le triangle plat

Le triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés. Visuellement, il ressemble à une droite.

Le triangle isocèle

Le triangle isocèle est un triangle qui dispose d'au moins deux côtés de même taille, ce qui fait que les deux angles adjacents à ce côté sont de même mesure (cour de math).

Le triangle équilatéral

Le triangle équilatéral est un triangle particulier dans lequel tous les côtés sont de même longueur. Il en résulte que tous ses angles soient de 60° puisque la somme des angles d'un triangle est de 180°.

Le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles mesure 90° et est donc un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit est appelé l'hypoténuse. Les deux autres côtés sont les cathètes.

Le triangle obtusangle

Un triangle obtusangle est un triangle dont un angle est supérieur à 90° et les deux autres inférieurs à 90°.

Le triangle acutangle

Le triangle acutangle est un triangle dont aucun des trois angles ne mesure plus de 90°.

Les opérations dans les triangles et les théorèmes associés

De nombreux théorèmes existent afin de calculer les mesures des côtés d'un triangle ou encore les mesures des angles de ces derniers. On y retrouve par exemple les célèbres théorèmes de Pythagore et théorèmes de Thalès.

Le théorème de Pythagore

Pythagore était un philosophe grec ayant vécu entre 580 et 495 avant Jésus-Christ. C'était un personnage très instruit qui a laissé ses traces dans de multiples domaines comme la musique, la géométrie, l'arithmétique, la médecine ou encore l'astronomie. Passionné de sciences, il ne cessa de faire des recherches toutes sa vie. Aujourd'hui encore, c'est à lui qu'on doit le théorème de Pythagore, les tables de multiplications, le nombre d'or. Il reste une figure incontournable des sciences.

Énoncé

Pythagore a énoncé dans son théorème la phrase suivante :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Explication

Cela signifie que pour un triangle ABC rectangle en A : AB² + AC² = BC².

Utilité

Le théorème de Pythagore est très fréquemment utilisé afin de pouvoir démontrer qu'un triangle est rectangle ou ne l'est pas. On utilise pour cela la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore :

Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C.

Si AB² n’est pas égal à AC² + BC² alors le triangle n’est pas rectangle en C.

Le théorème de Thalès

Pythagore était un philosophe grec ayant vécu entre 580 et 495 avant Jésus-Christ. C'était un personnage très instruit qui a laissé ses traces dans de multiples domaines comme la musique, la géométrie, l'arithmétique, la médecine ou encore l'astronomie. Passionné de sciences, il ne cessa de faire des recherches toutes sa vie. Aujourd'hui encore, c'est à lui qu'on doit le théorème de Pythagore, les tables de multiplications, le nombre d'or. Il reste une figure incontournable des sciences.

Énoncé

Dans un triangle ABC, si le point D est sur la droite (AB) et le point E sur la droite (AC) et que (DE) et (BC) sont parallèles, alors :

    \[ \frac { A D } { A B } = \frac { A E } { A C } =\frac { D E } { B C } \]

Utilité

Le théorème de Thalès permet de faire des calculs sur les triangles. Il en découle d'autres théorèmes ou règles, tel que le théorème de la droite des milieux.

Il stipule la phrase suivante :

Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté

La réciproque est aussi souvent utilisée :

Dans un triangle ABC, soient les points D et E appartenant respectivement aux segments  [AB] et [AC],

    \[\text { si } \frac { A D } { A B } \text { et } \frac { A E } { A C } }\]

sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Les médiatrices

Définition

On appelle médiatrice d'un segment la droite perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu de ce segment.

Propriétés

  • Les médiatrices d'un triangle sont toujours concourantes ;
  • Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit ;
  • La médiatrice d'un segment est l'ensemble de points équidistant des extrémités du segment.

Les médianes

Définition

Une médiane est une droite dans un triangle passant par un sommet de celui-ci et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriétés

  • Les trois médianes d'un triangles sont concourantes ;
  • Le point d'intersection des 3 médianes est appelé le centre de gravité du triangle ;
  • Le point d'intersection des 3 médianes est situé à 2 / 3 de leur longueur en partant du sommet.

Les hauteurs

Définition

Une hauteur est une droite dans un triangle passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Propriétés

  • Les trois hauteurs d'un triangles sont concourantes ;
  • Le point d'intersection des 3 hauteurs est appelé l'orthocentre du triangle ;
  • Quand le triangle a 3 angles aigus l'orthocentre est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.

Les bissectrices

Définition

La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet d'un triangle, qui partage l'angle en 2 angles de même mesure.

Propriétés

  • Les trois bissectrices d'un triangles sont concourantes ;
  • Le point d'intersection des 3 bissectrices est appelé le centre du cercle tangent aux 3 côtés du triangle, également connu sous le nom de cercle inscrit au triangle ;
  • Ce centre du cercle inscrit au triangle se trouve toujours dans le triangle.

Pour vous aider à comprendre la géométrie et vos cours, n'hésitez pas à utiliser un logiciel de géométrie tel que Geogebra. Vous pourrez y trouver une grande aide pour faire vos devoir et avoir des informations précises qui vous aideront à bien comprendre vos calculs.

Exercices

Exercice 1

Identifiez les droites remarquables suivantes :

Données :

  • Le triangle ABC est un triangle quelconque ;
  • D est le milieu du segment [AB].

La droite A est une ______ du triangle ABC.

La droite B est une ______ du triangle ABC.

La droite C est une ______ du triangle ABC.

La droite D est une ______ du triangle ABC.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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