Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

Définition

Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le plus grand côté. C'est aussi le côté opposé à l'angle droit.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

Dans le triangle ABC rectangle en A : BC2= AB2 + AC2

Exemples

1. Soit RFA un triangle rectangle en F, RF=3 cm et FA=4 cm.

Calculer RA.

Dans le triangle RFA rectangle en F, d'après le théorème de Pythagore :

RA2=RF2+FA2 donc

RA2=32+42= 9+16= 25

d'où RA=5 cm

2. Dans le triangle PIF rectangle en I, PI=4 cm et PF=7 cm.

Calculer IF.

Dans le triangle PFI rectangle en I, d'après le théorème de Pythagore :

PF2= PI2 + IF2 donc 72 = 42 + IF2 donc IF2= 49 - 16 = 33

d'où IF = 5,7 cm

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Démontrer qu'un triangle est rectangle

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des autres côtés alors ce triangle est rectangle.

C'est à dire

Dans le triangle AZE si AZ2 = ZE2 + AE2

alors AZE est un triangle rectangle en E (AZ est l'hypoténuse)

Exemple

Soit HTJ tel que HT=12 cm, HJ=13 cm, JT=5cm.

Quelle la nature de ce triangle ?

donc HJ2 = HT2 + JT2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HTJ est rectangle en T

Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

Exemple

Soit ERT tel que ER=5 cm, RT=4cm, TE=6cm.

Le triangle est-il rectangle ?

Donc TE2 ER2 + RT2 Le triangle ERT n'est pas rectangle.

Remarque

Si le triangle ERT était rectangle alors l'égalité TE2 = ER2 + RT2 serait vraie d'après le théorème direct de Pythagore.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !