Réussir sa démonstration

Comment réussir son exercice type brevet ? Les méthodes de démonstration sont universelles et fonctionneront peut importe les théorèmes ou autres lois que vous seriez susceptibles de souhaiter démontrer.
C’est pour cela que l’on vous conseille vivement d’apprendre les différentes étapes listées ci-dessus puis de vous entraîner régulièrement pour être imbattable et rapide !

Par moment, il vous sera difficile de comprendre comment mettre en place une démonstration. Il existe une méthode bien précise pour cela. Tout d’abord, il vous faudra rassembler et utiliser toutes les connaissances mathématiques mais aussi votre savoir-faire rédactionnel pour réussir votre travail. Même s’il n’existe pas de méthode type pour réussir sa démonstration mathématique, vous pouvez vous baser sur notre modèle que vous étofferez au fur et à mesure de votre connaissance afin de consolider vos raisonnements et vos utilisation des divers théorèmes ou définitions que vous aurez à votre connaissance. Avant tout, pour réussir, il faut surtout s’entraîner et lire des exemples de démonstrations afin de réussir la sienne avec facilité !

Comprendre le problème et la situation que vous devez démontrer

Avant de débuter toute rédaction, il faut être certain de ce que vous devez démontrer. A quoi bon prouver qu’un carré est un rectangle si on vous demande de prouver que 2 + 2 = 4 ?

Prenez donc bien le temps de comprendre le sujet et ainsi de repérer les différentes hypothèses que vous pourrez soumettre.

Schématiser pour faciliter la compréhension

Il est parfois plus facile de comprendre un problème lorsqu’il est illustrer sous nos yeux. C’est pour cela que l’on proposera toujours de faire un schéma récapitulatif sur un coin de feuille pour visualiser de façon directe ce que vous devez prouver. Pour cela, n’hésitez surtout pas à vous servir de l’énoncé qui regorge d’information. Et, bien évidemment, pensez à rajouter au fur et à mesure les informations que vous découvrez au fil de l’exercice.

Utiliser ses connaissances

Il est impossible de réussir une démonstration mathématique sans connaissance. C’est pourquoi il est indispensable de travailler correctement et régulièrement ses cours de mathématiques. Penser à analyser les théorèmes ayant un lien avec ce que vous étudiez en cours afin de comprendre la méthode employée dans leur construction. Ainsi, vous saurez comment comprendre, rédiger, utiliser et enchaîner les divers arguments et affirmations qui formeront les différentes étapes de votre démonstration. Pensez également à vous servir de vos manuels scolaires ou encore de différents cours en ligne.

Organiser sa réflexion

Il peut être utile de mettre en place un raisonnement sous la forme d’un tableau. En effet, ce tableau vous permettra de mettre en place les grandes ligne de votre réflexion avant même de penser à rédiger tout ce que vous savez. Ainsi, vos idées seront plus claires et impossible de s’embrouiller lorsque se mêlent réflexion mathématiques et rédaction, les étapes se font les unes après les autres et votre travail n’en sera que plus clair et plus agréable.

Alors organisez vos réflexion, tracez une belle ligne verticale sur votre cahier et travaillez !

Voici un exemple pour illustrer l’idée :

Données connues et informationsJustification à l'aide de définition et théorème
Les angles A et B sont adjacentsInformation donnée dans l'énoncé
L'angle ABC est un angle platDéfinition de l'angle plat
L'angle ABC mesure 180°Définition de l'angle plat
Angle A + Angle B = ABCPropriété de somme des angles
Angle A + Angle B = 180°Remplacement par une valeur numérique
Les angles A et B sont des angles supplémentairesDéfinition des angles supplémentaires

C.Q.F.D. (Ce Qu'il Fallait Démontrer)

Une fois que votre réflexion au tableau est terminée et que vous avez réussi à démontrer ce que vous souhaitiez démontrer, n’oubliez pas de rédiger de façon correcte, c’est à dire sans abréviation et avec des mots de liaison, votre réflexion afin de terminer votre démonstration.

Si on se réfère à l’exemple précédent, on peut par exemple obtenir cela :

Soient A et B deux angles adjacents.

Par hypothèse, les angles A et B sont supplémentaires. Comme ils sont supplémentaires et adjacents, les côtés des angles A et B forment une droite. Or, si on se réfère à la définition d’une ligne droite, cela implique qu’elle délimite un angle à 180°. De ce fait, si nous nous appuyons sur les postulats concernant les sommes des angles, nous pouvons dire que l’addition des angles A et B nous donne la droite ABC.

Or, la somme des angles A et B est bien égale à 180°, par conséquent ce sont des angles supplémentaires

Ce qu’il fallait démontrer !

Poser des questions en cas de doute

Votre professeur de classe n’est pas votre ennemi, il est là pour vous aider à apprendre, comprendre et progresser. Au contraire, s’il vous voit vous exercer, il sera ravi de vous aider à comprendre un exercice avec lequel vous avez quelques difficultés.

Si votre professeur vous intimide un peu trop, vous pouvez également demander de l’aide à vos amis. Plusieurs cerveaux fonctionnement parfois mieux qu’un seul. En effet, en combinant vos idées et vos réflexions, vous parviendrez peut-être à mieux comprendre les tenant et aboutissant de votre problème et peut-être même que vous réussirez ensemble à terminer votre démonstration. Ce sera beaucoup plus agréable pour tout le monde si chacun s’aide plutôt que de rester enfermé des heures à chercher la réponse à un problème qui ne vous inspire pas en espérant que la réponse tombera du ciel.

Comment formuler correctement une question ? Il ne faut pas avoir peur de poser les questions qui nous tracassent en ce qui concerne le cours ou un exercice. Personne ne se moquera de vous et personne ne vous jugera. Alors, au lieu de bloquer sur votre exercice et d’avoir une mauvaise note, demandez des explications, posez vos différentes questions puis progressez et obtenez des notes parfaites !

Démonstration de la perpendicularité de deux droites

Deux droites parallèles et une perpendiculaire

Propriété : Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.

La médiatrice d’un segment

On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu de ce segment.

Propriété : Si une droite est la médiatrice d’un segment, alors elle st perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Une hauteur d’un triangle

Une hauteur est une droite dans un triangle passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

  • Les trois hauteurs d’un triangles sont concourantes ;
  • Le point d’intersection des 3 hauteurs est appelé l’orthocentre du triangle ;
  • Quand le triangle a 3 angles aigus l’orthocentre est à l’intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l’orthocentre est à l’extérieur du triangle.

Un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l’un des angles mesure 90° et est donc un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit est appelé l’hypoténuse. Les deux autres côtés sont les cathètes.

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors les deux cotés de l’angle droit sont perpendiculaires.

Le théorème de Pythagore

Comment fonctionne un exercice de mathématiques ? Les théorèmes et propriétés sont la clef de voûte de toute démonstration car ils permettent de mettre en place une argumentation justifiée.

Pythagore a énoncé dans son théorème la phrase suivante :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Cela signifie que pour un triangle ABC rectangle en A : AB² + AC² = BC².

La réciproque du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est très fréquemment utilisé afin de pouvoir démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas. On utilise pour cela la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore :

Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C.

Si AB² n’est pas égal à AC² + BC² alors le triangle n’est pas rectangle en C. En effet, si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.

Un rectangle

Un rectangle se caractérise comme étant un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.

Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle, alors deux cotés consécutifs de ce rectangle sont perpendiculaires.

Un losange

Le losange est un quadrilatère dont la particularité est de posséder deux côtés consécutifs de même longueur.
Il arrive aussi parfois qu’il porte le nom de rhombe, ce qui lui vaut comme adjectif le mot rhombique.

Propriété : Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

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Joy

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