Dans 816 et dans 861, le chiffre 1 n’a pas du tout la même valeur. Dans le premier, il vaut une dizaine ; dans le second, une simple unité. Mêmes chiffres, valeurs différentes : dans l’écriture d’un nombre entier, c’est la place qui décide.
Cette règle de position explique presque tout ce que tu fais avec les entiers en sixième. Elle permet aussi de départager deux mots souvent pris l’un pour l’autre : dans 620, le chiffre des dizaines est 2, mais le nombre de dizaines est 62.
Qu’est-ce qu’un nombre entier ? 🔢
Un nombre entier est un nombre qui s’écrit sans virgule, c’est-à-dire sans partie décimale : 0, 7, 45 ou 4 351 689 en sont. Les entiers naturels (0, 1, 2, 3…) servent à compter des objets ; les entiers relatifs ajoutent les négatifs (−1, −2, −3…).
Cette définition se vérifie en un coup d’œil : si l’écriture d’un nombre ne comporte pas de virgule, ou seulement des zéros après la virgule, c’est un entier.
Les entiers de 0 à 9 ont un rôle à part : ce sont aussi les dix chiffres de notre système. Avec ces dix symboles seulement, tu peux écrire n’importe quel entier, aussi grand soit-il, en les plaçant au bon rang. Le chiffre 5 est un nombre à un seul chiffre ; 55 est un nombre qui utilise deux fois le même chiffre.
Deux entiers qui se suivent, comme 41 et 42, sont des entiers consécutifs : leur écart vaut exactement 1. Sur une droite graduée en unités, leurs abscisses sont deux graduations voisines. Entre eux, il n’existe aucun autre entier, mais une infinité de nombres à virgule, comme 41,5 ou 41,25.
➕ Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ?
Un nombre entier relatif est un entier précédé d’un signe : positif (+3, souvent noté 3) ou négatif (−3). Le programme du cycle 4 l’explique simplement : « Les nombres relatifs sont introduits afin de rendre possible toutes les soustractions. » Avec les seuls entiers naturels, 3 − 7 n’a pas de résultat ; avec les relatifs, il vaut −4.
En 6e, tu travailles uniquement avec les entiers naturels. Les nombres relatifs arrivent en 5e, deuxième année du collège, pour décrire des grandeurs qui descendent sous zéro : une température, une altitude, une date avant notre ère. Tu apprendras alors à lire l’abscisse d’un nombre relatif sur une droite graduée, et à trouver son opposé (l’opposé de 5 est −5). Les nombres négatifs se placent à gauche de zéro : le point d’abscisse −3 est le symétrique de celui d’abscisse 3 par rapport à l’origine. Leur ordre surprend au début : −8 est plus petit que −2, puisqu’il se trouve plus à gauche sur la droite graduée. L’idée n’est pas récente : le même programme rappelle les « premières apparitions des nombres négatifs avec Brahmagupta (600) », dont l’existence était encore niée au XVIIe siècle.
Au lycée, tu croiseras deux notations pour ces familles : on note ℕ l’ensemble des entiers naturels et ℤ celui des entiers relatifs.
➗ Quels sont les nombres non entiers ?
Un nombre non entier est un nombre qui possède une partie après la virgule, ou qui ne tombe pas « juste ». En 6e, le programme porte à la fois sur les nombres entiers et décimaux et sur les fractions ; voici les nombres non entiers que tu rencontres cette année :
- Les nombres décimaux avec une partie décimale non nulle, comme 2,5 ou 0,75,
- Les fractions qui ne tombent pas juste, comme
3/4ou7/3, - Plus tard, les nombres comme
π, dont l’écriture décimale ne s’arrête jamais.
Un nombre décimal comporte une virgule : à gauche se trouve sa partie entière, à droite sa partie décimale. Dans 12,75, la partie entière est 12 et la partie décimale 0,75. Une fraction décimale comme 75/100 est égale à 0,75 : c’est ce pont entre fractions et décimaux que tu construis en 6e. Tu peux ainsi encadrer tout nombre à virgule entre deux entiers consécutifs : 12 < 12,75 < 13.
Attention au piège : 4,0 ou 12/3 sont bien des entiers déguisés, puisqu’ils valent 4. Le programme du cycle 4 range d’ailleurs tout ce petit monde sous un même nom : « un nombre rationnel est un nombre égal au quotient de deux entiers ». Tout entier est donc aussi un nombre décimal et un rationnel, mais l’inverse est faux.
Pour savoir si un nombre est entier, regarde s’il reste quelque chose après la virgule.
7 et 7,00 sont entiers ; 7,01 ne l’est pas. Pour une fraction, fais la division : si elle tombe juste, le résultat est un entier.
Comment fonctionne la numération décimale ? 🏛️
Notre système de numération est décimal et positionnel : on compte par paquets de dix (10 unités font une dizaine, 10 dizaines une centaine, 10 centaines un millier) et la valeur d’un chiffre dépend de sa place. Le programme de cycle 3 le formule ainsi : « la valeur d’un chiffre dépend de sa position ».
Pour lire les grands nombres, on regroupe les chiffres par classes de trois, en partant de la droite : unités, milliers, millions, milliards. Chaque classe contient trois rangs : centaines, dizaines, unités. Le programme fixe une progression claire : jusqu’à 999 999 en fin de CM1, jusqu’à 999 999 999 en fin de CM2, puis « en classe de 6e, le milliard est introduit ».
| Classe | Rangs, de gauche à droite | Exemple de lecture |
|---|---|---|
| Classe des milliards | centaines, dizaines et unités de milliards | 1 000 000 000 se lit « un milliard » (nouveau en 6e) |
| Classe des millions | centaines, dizaines et unités de millions | dans 24 351 689, la classe des millions contient 24 |
| Classe des mille | centaines, dizaines et unités de mille | dans 24 351 689, la classe des mille contient 351 |
| Classe des unités simples | centaines, dizaines, unités | dans 24 351 689, la classe des unités contient 689 |
Le tableau de numération ci-dessous place chaque chiffre dans sa colonne. C’est l’outil le plus sûr pour lire, écrire et décomposer un grand nombre sans te tromper de rang.
| Nombre | Centaines de millions | Dizaines de millions | Unités de millions | Centaines de mille | Dizaines de mille | Unités de mille | Centaines | Dizaines | Unités |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 351 689 | 4 | 3 | 5 | 1 | 6 | 8 | 9 | ||
| 24 351 689 | 2 | 4 | 3 | 5 | 1 | 6 | 8 | 9 | |
| 45 | 0 | 0 | 4 | 5 | |||||
| 620 | 6 | 2 | 0 |
Le premier nombre s’écrit 4 351 689, avec un espace entre chaque classe. Le troisième se note simplement 45 : les zéros placés à gauche d’un entier sont inutiles. Dans 620, au contraire, le zéro est indispensable, car il occupe le rang des unités et sans lui on lirait 62.
Le tableau aide aussi à distinguer chiffre et nombre. Dans 620, le chiffre des dizaines est 2, mais le nombre de dizaines est 62, car 620 contient 62 paquets de dix. Dans 24 351 689, le chiffre des centaines de mille est 3, et le nombre de centaines de mille est 243. De la même façon, ce nombre contient 24 351 milliers.
📜 D’où viennent nos chiffres ?
Nos dix chiffres sont appelés chiffres indo-arabes. Ils ont été décrits dans un traité de calcul du savant al-Khwārizmī au IXe siècle, puis transmis à l’Europe par des traductions latines réalisées en Espagne au XIIe siècle. L’historien Marc Moyon résume ce moment clé :
Al-Khwārizmī décrit pour la première fois dans la littérature arabe la numération décimale positionnelle avec neuf nouveaux symboles et le zéro : ce sont les chiffres indo-arabes.
Marc Moyon, historien des mathématiques, université de Limoges (Images des mathématiques, CNRS, 2014)
Leur victoire a pris du temps : selon le même article, il faut attendre la toute fin du XIIIe siècle, et même le XIVe, pour que les scribes les utilisent majoritairement à la place des chiffres romains. Le programme de 6e propose d’ailleurs de comparer notre système avec d’autres : la numération romaine, les hiéroglyphes égyptiens, ou la numération babylonienne en base soixante, dont nous gardons la trace dans les heures, minutes et secondes.
✍️ Comment écrire un nombre entier en lettres ?
Pour écrire un nombre en lettres, découpe-le par classes, puis écris chaque classe suivie de son nom : 4 351 689 devient « quatre millions trois-cent-cinquante-et-un-mille-six-cent-quatre-vingt-neuf » selon l’orthographe rectifiée. Depuis les rectifications de 1990, on peut relier tous les mots d’un nombre par des traits d’union. Astuce : pour écrire un grand nombre sans rien oublier, énonce d’abord les millions, puis les milliers, puis le reste. Et retiens que « mille » est invariable : on écrit deux-mille, jamais deux-milles.
Le texte officiel, publié au Journal officiel le 6 décembre 1990, précise : « L’usage du trait d’union sera étendu aux numéraux formant un nombre complexe, en deçà et au-delà de cent. » On peut donc écrire vingt-et-un, cent-deux ou deux-cent-trois. L’ancienne graphie (vingt et un, deux cent trois) reste admise : choisis-en une et garde-la dans toute ta copie.
Quels sont les nombres entiers de 1 à 100 ? 💯
Les nombres entiers de 1 à 100 sont les cent nombres 1, 2, 3… jusqu’à 100, chacun obtenu en ajoutant 1 au précédent. Les neuf premiers s’écrivent avec un seul chiffre, de 10 à 99 il en faut deux (dizaines et unités), et 100 est le premier nombre à trois chiffres.
Cette suite est un excellent terrain d’entraînement : elle contient déjà tout ce qui te servira pour les grands nombres, du rang des unités à celui des centaines.
Place-les sur une droite graduée de 1 en 1 : l’écart entre deux graduations vaut une unité, et chaque multiple de 10 sert de repère. Lire l’abscisse d’un point, ranger ces nombres dans l’ordre croissant ou encadrer l’un d’eux entre deux multiples de 10 devient alors immédiat.
📏 Comment ranger, comparer et encadrer des entiers ?
Pour comparer deux entiers, commence par compter leurs chiffres : celui qui en a le plus est le plus grand. S’ils en ont autant, compare-les rang par rang, en partant de la gauche. Astuce : aligne-les à droite, unité sous unité, avant de les comparer. Ainsi 87 est plus grand que 78, car 8 paquets de dix valent plus que 7. On traduit le résultat avec les symboles < (« est plus petit que ») et > (« est plus grand que »).
- Ranger dans l’ordre croissant, c’est aller du plus petit au plus grand : 9 < 38 < 83,
- Ranger dans l’ordre décroissant, c’est l’inverse : 83 > 38 > 9,
- Encadrer un nombre à la dizaine, c’est le coincer entre deux multiples de 10 consécutifs :
40 < 47 < 50, - Sur une droite graduée, chaque entier correspond à un point repéré par son abscisse, et plus on va vers la droite, plus il est grand.
Tu peux aussi encadrer un entier à la centaine ou au millier : 400 < 471 < 500 et 3 000 < 3 480 < 4 000. Sur une droite graduée de 100 en 100, 471 se place entre les points d’abscisses 400 et 500, plus près de 500 : son arrondi à la centaine est donc 500. Ranger des nombres dans l’ordre devient alors un simple repérage sur la droite.
🎯 Nombres pairs, impairs et multiples de 10
Un entier est pair si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; il est impair si ce chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9. Entre 1 et 100, il y a donc 50 nombres pairs et 50 impairs. Les multiples de 10 (10, 20, 30… 100) se terminent tous par 0 : ce sont eux qui servent de repères pour encadrer.
Décomposer un nombre, c’est l’écrire selon ses rangs.
47 = 4 dizaines + 7 unités = 40 + 7
620 = 6 centaines + 2 dizaines = 600 + 20
Cette écriture rend les calculs mentaux beaucoup plus rapides.
Quelles opérations fait-on avec les nombres entiers ? ⚙️
Avec les nombres entiers, tu pratiques quatre opérations : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. L’addition et la multiplication de deux entiers naturels donnent toujours un entier naturel ; la soustraction et la division, elles, peuvent sortir de cette famille et donner des résultats négatifs ou à virgule.
🧮 Ce que donne chaque opération
Le tableau suivant résume, pour chaque opération, si le résultat reste un entier naturel. Il explique pourquoi on a eu besoin d’inventer les décimaux puis les relatifs.
| Opération | Exemple | Le résultat est-il un entier naturel ? |
|---|---|---|
| Addition | 27 + 15 = 42 | Oui, toujours |
| Multiplication | 12 × 7 = 84 | Oui, toujours |
| Soustraction | 27 − 15 = 12 mais 15 − 27 | Seulement si le premier nombre est le plus grand ; sinon il faut les entiers relatifs (5e) |
| Division euclidienne | 17 = 5 × 3 + 2 | Oui : le quotient (3) et le reste (2) sont des entiers |
| Division décimale | 7 ÷ 2 = 3,5 | Pas toujours : le quotient peut être un nombre décimal |
La division euclidienne est la division des entiers par excellence : on cherche combien de fois le diviseur entre dans le dividende, et ce qui reste. Dans 17 = 5 × 3 + 2, 3 est le quotient et 2 le reste, qui doit toujours être plus petit que le diviseur. Sa définition tient en une égalité : dividende = diviseur × quotient + reste.
📊 Pourquoi ces bases comptent dès la 6e ?
La maîtrise des entiers sert de socle à tout le programme du collège, des nombres décimaux aux fractions. Chaque rentrée, l’Éducation nationale fait le point sur le niveau des élèves avec une évaluation nationale de début de sixième.
En septembre 2025
élèves de sixième ont passé l’évaluation nationale de début d’année (DEPP, 2026)
Selon la note de la direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP) publiée en juin 2026, 32,5 % des élèves de 6e se situent en 2025 dans les deux groupes les moins performants en mathématiques, et 18,9 % dans le groupe le plus performant. Ces résultats portent sur la discipline dans son ensemble, pas sur la seule numération. La DEPP note aussi des résultats stables par rapport à 2024 et en hausse depuis 2017.
Ranger, encadrer, décomposer : ces gestes deviennent vite des automatismes avec un peu d’entraînement régulier. À Annecy, trouver un accompagnement en maths est devenu simple : un prof de maths à Annecy peut t’aider à consolider la numération décimale avant d’attaquer les décimaux et les fractions.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Le nombre 0 est-il un entier naturel ?
Oui, 0 est un entier naturel : c’est même le plus petit d’entre eux. Il n’a pas de partie décimale et il se place au début de la droite graduée des entiers naturels. Il joue aussi un rôle de chiffre dans l’écriture des autres nombres : dans 620 ou 1 000, c’est lui qui occupe les rangs vides et donne au nombre sa vraie valeur.
💡 Un nombre négatif est-il un nombre entier ?
Un nombre négatif sans partie décimale, comme −3 ou −120, est bien un entier : c’est un entier relatif. En revanche, ce n’est pas un entier naturel, puisque les naturels commencent à 0. Un négatif à virgule, comme −2,5, n’est pas entier du tout. Quant à un entier positif comme 3, il est à la fois naturel et relatif. Tu découvriras les nombres négatifs en 5e, avec les températures ou les altitudes.
🔍 Quel est le plus grand nombre entier ?
Il n’existe pas de plus grand nombre entier. Quel que soit le nombre auquel tu penses, tu peux toujours lui ajouter 1 et en obtenir un plus grand. La suite des entiers naturels est donc infinie. En 6e, tu apprends à lire et écrire des nombres jusqu’aux milliards, mais il existe des classes au-delà, sans fin.
📌 Quelle est la différence entre un chiffre et un nombre ?
Un chiffre est un symbole, comme une lettre de l’alphabet : il y en a dix, de 0 à 9. Un nombre est une quantité, écrite avec un ou plusieurs chiffres. Par définition, le chiffre renseigne sur un rang, le nombre sur une quantité : dans 620, le chiffre 2 occupe le rang des dizaines, alors que 620 contient 62 paquets de dix. Confondre les deux fait perdre des points facilement en contrôle.
Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale. "Programme de mathématiques pour le cycle 3." Bulletin officiel n° 16, 17 avril 2025, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/programme-de-math-matiques-pour-le-cycle-3-439827.pdf.
- Ministère de l’Éducation nationale. "Annexe 2 : programme de mathématiques pour le cycle 4." Bulletin officiel n° 10, 5 mars 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Annexe%202%20%E2%80%93%20Programme%20de%20math%C3%A9matiques%20pour%20le%20cycle%204-480716.pdf.
- Moyon, Marc. "Apprendre les mathématiques au Moyen Âge : l’importance des traductions arabo-latines." Images des mathématiques, CNRS, 2014, https://images.math.cnrs.fr/freeze/Apprendre-les-mathematiques-au-Moyen-Age-l-importance-des-traductions-arabo.html.
- Conseil supérieur de la langue française. "Les rectifications de l’orthographe." Journal officiel, Documents administratifs n° 100, 6 décembre 1990, https://www.academie-francaise.fr/sites/academie-francaise.fr/files/rectifications_1990.pdf.
- DEPP. "Évaluations exhaustives de début de sixième, de cinquième et de quatrième 2025 en français et en mathématiques." Note d’Information n° 26.21, juin 2026, https://documentation.onisep.fr/doc_num.php?explnum_id=77254.
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