Un élève de 6ème effectue en moyenne plus de 300 multiplications écrites sur une année scolaire, entre exercices, contrôles et problèmes de mathématiques. La multiplication posée reste l'une des techniques opératoires les plus utilisées, et pourtant celle qui génère le plus d'erreurs de retenues et de décalages au tableau. Maîtriser sa logique, c'est gagner du temps sur chaque calcul et éviter les fautes de calcul mental dans les problèmes plus complexes.
La spécificité de cette méthode : un seul réflexe, le décalage à gauche, conditionne tout le reste. Une fois ce mécanisme compris, multiplier par un nombre à deux ou trois chiffres devient une simple répétition d'une multiplication à un chiffre, suivie d'une addition. Voyons cette mécanique en détail, avec des exemples concrets et les pièges classiques à anticiper.
Qu'est-ce qu'une multiplication posée 📚
La multiplication posée est une technique opératoire écrite qui permet de multiplier deux nombres entiers en les disposant l'un sous l'autre, comme dans une addition. Elle s'utilise dès que le calcul mental devient trop lourd, typiquement à partir de produits comme 47 × 8 ou 234 × 56. Elle est enseignée en France dès le CM1 selon les programmes officiels d'Éduscol, puis consolidée en CM2 et 6ème.
🔍 Le vocabulaire à connaître
Avant de poser une opération, il faut nommer correctement ses éléments. Cela évite les confusions au tableau et facilite les explications du professeur.
- Multiplicande : le premier nombre, celui que l'on multiplie, placé en haut,
- Multiplicateur : le deuxième nombre, celui par lequel on multiplie, placé en bas,
- Produit : le résultat final de la multiplication,
- Produits partiels : les résultats intermédiaires obtenus à chaque ligne avant l'addition finale.
✏️ La disposition correcte des chiffres
L'alignement à droite est la règle d'or. On aligne les chiffres des unités sous les unités, peu importe la longueur de chaque nombre. Le signe × se place à gauche du multiplicateur, et un trait horizontal sépare l'opération du résultat. Voici un exemple simple posé pour 34 × 6 :
3 4× 6-------- 2 0 4
Âge moyen d'apprentissage
ans, soit le CM1, niveau d'introduction officielle de la multiplication posée selon les programmes Éduscol
La multiplication posée repose sur trois piliers : la table de multiplication mémorisée, la gestion des retenues, et le décalage à gauche pour chaque nouveau chiffre du multiplicateur.
La multiplication par un nombre à un chiffre 🧮
C'est le point de départ de toute la technique. Avant de s'attaquer aux multiplicateurs à deux ou trois chiffres, il faut être totalement à l'aise avec la multiplication par un chiffre unique. Tout le reste n'en sera qu'une généralisation.
📝 La méthode chiffre par chiffre
On multiplie le chiffre du multiplicateur par chaque chiffre du multiplicande, de droite à gauche, en commençant par les unités. À chaque étape, si le produit dépasse 9, on garde une retenue que l'on ajoute au produit suivant. Prenons 247 × 3 :
- Étape 1 :
3 × 7 = 21, on écrit 1 et on retient 2, - Étape 2 :
3 × 4 = 12, plus la retenue 2 donne 14, on écrit 4 et on retient 1, - Étape 3 :
3 × 2 = 6, plus la retenue 1 donne 7, on écrit 7 sans retenue.
Le produit final est 741. La présentation posée donne :
2 4 7× 3---------- 7 4 1
💡 Gérer les retenues sans se tromper
La retenue est le point qui crée le plus d'erreurs. La règle est simple : la retenue se note au-dessus du chiffre suivant du multiplicande, en petit, et on l'ajoute après la multiplication, jamais avant. Un élève qui ajoute la retenue avant de multiplier obtiendra un résultat faux. Mieux vaut barrer chaque retenue dès qu'elle a été utilisée pour ne pas l'employer deux fois.
Tracer un petit cadre au-dessus de chaque colonne pour y inscrire la retenue rend l'opération beaucoup plus lisible. Cette pratique, recommandée par de nombreux enseignants de CM1-CM2, divise par deux les erreurs de retenue oubliée selon les retours de terrain en classe.
| Étape | Action | Exemple (247 × 3) |
|---|---|---|
| 1 | Multiplier le chiffre des unités du multiplicande, gérer la retenue | 3 × 7 = 21, on écrit 1 et on retient 2 |
| 2 | Multiplier le chiffre suivant, ajouter la retenue après la multiplication | 3 × 4 = 12, + 2 = 14, on écrit 4 et on retient 1 |
| 3 | Continuer jusqu'au chiffre le plus à gauche, ajouter la dernière retenue | 3 × 2 = 6, + 1 = 7, on écrit 7 sans retenue |
| Résultat | Lire le produit final | 247 × 3 = 741 |
La multiplication par un nombre à plusieurs chiffres 🎯
Dès que le multiplicateur comporte deux chiffres ou plus, la multiplication à plusieurs chiffres introduit le concept clé de la technique : le décalage à gauche. Chaque nouveau chiffre du multiplicateur génère une ligne de produit partiel, décalée d'un cran vers la gauche par rapport à la précédente.
🚀 Comprendre le décalage à gauche
Pourquoi décaler ? Parce que le deuxième chiffre du multiplicateur ne représente pas des unités, mais des dizaines. Multiplier par le chiffre des dizaines, c'est en réalité multiplier par ce chiffre puis par 10. Le décalage d'une case à gauche revient à ajouter automatiquement un zéro. Certains enseignants demandent d'ailleurs d'écrire explicitement ce zéro à la place du décalage, pour bien matérialiser l'idée.
Pour 325 × 47, on procède en deux étapes : multiplier d'abord par 7 (chiffre des unités), puis par 4 (chiffre des dizaines) en décalant le résultat d'un cran à gauche.
3 2 5× 4 7------------ 2 2 7 5 (produit par 7)1 3 0 0 _ (produit par 4, décalé)------------1 5 2 7 5
⭐ Multiplier par un nombre à trois chiffres
La logique reste identique : un produit partiel par chiffre du multiplicateur, avec un décalage supplémentaire à chaque ligne. Pour 248 × 136, on obtiendra trois produits partiels :
- Première ligne :
248 × 6 = 1 488, alignée à droite, - Deuxième ligne :
248 × 3 = 744, décalée d'un cran à gauche (soit 7 440), - Troisième ligne :
248 × 1 = 248, décalée de deux crans à gauche (soit 24 800).
L'addition finale donne 1 488 + 7 440 + 24 800 = 33 728. Plus le multiplicateur a de chiffres, plus l'addition finale est délicate : il faut bien aligner les colonnes pour ne pas inverser des dizaines et des centaines.
La technique opératoire de la multiplication ne se réduit pas à un algorithme mécanique : elle articule la connaissance des tables, la compréhension de la numération décimale et la maîtrise des propriétés de la multiplication.
Rémi Brissiaud, chercheur en didactique des mathématiques, Comment les enfants apprennent à calculer (Retz, 2013)
La multiplication par 10, 100, 1 000 💡
Avant même de poser une opération, il existe des cas où la multiplication écrite devient inutile. Multiplier par 10, 100 ou 1 000 se fait directement en ajoutant des zéros. Cette règle, simple en apparence, prépare aussi à comprendre pourquoi le décalage à gauche fonctionne.
🔢 La règle des zéros
La règle est très simple à mémoriser. Pour un nombre entier :
- Multiplier par 10 : ajouter un zéro à la fin du nombre, exemple
47 × 10 = 470, - Multiplier par 100 : ajouter deux zéros à la fin, exemple
47 × 100 = 4 700, - Multiplier par 1 000 : ajouter trois zéros à la fin, exemple
47 × 1 000 = 47 000.
L'explication est mathématique : chaque puissance de 10 fait glisser le nombre d'un rang à gauche dans la numération décimale. Les unités deviennent des dizaines, les dizaines des centaines, etc. C'est exactement ce qui se passe lors du décalage à gauche d'un produit partiel.
✨ Combiner ces règles dans un calcul
Cette propriété sert aussi à faire des estimations rapides avant de poser l'opération. Pour 325 × 47, on peut anticiper : 325 × 50 = 16 250 donne un ordre de grandeur. Le résultat exact doit être proche, légèrement inférieur. Cette vérification mentale, faite avant et après le calcul posé, attrape la majorité des erreurs de retenue ou de décalage.
| Multiplicateur | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| 10 | Ajouter un zéro à la fin du nombre | 47 × 10 = 470 |
| 100 | Ajouter deux zéros à la fin du nombre | 47 × 100 = 4 700 |
| 1 000 | Ajouter trois zéros à la fin du nombre | 47 × 1 000 = 47 000 |
Les erreurs courantes et comment les éviter ⚖️
La technique opératoire multiplication repose sur des automatismes. Quand l'un d'eux flanche, l'erreur se glisse sans bruit jusqu'au résultat final. Connaître les pièges les plus fréquents permet de les détecter avant qu'ils ne coûtent des points en contrôle.
❌ Les erreurs de retenue
Trois cas se rencontrent souvent en classe. L'oubli : on calcule le chiffre suivant sans ajouter la retenue précédente. La double utilisation : la retenue est ajoutée deux fois parce qu'elle n'a pas été barrée. L'inversion : on ajoute la retenue avant de multiplier au lieu de la rajouter après. Pour chacun de ces cas, la solution est la même : écrire les retenues lisiblement, les barrer une fois utilisées, et toujours respecter l'ordre multiplier puis additionner.
➡️ Les erreurs de décalage
Le décalage à gauche est l'autre grande source d'erreurs. Soit le décalage est oublié (le produit partiel reste aligné à droite, ce qui fausse complètement l'addition), soit il est mal compté (deux crans au lieu d'un seul). La meilleure parade consiste à écrire explicitement les zéros à la place des cases vides. Plutôt que de laisser un blanc, on écrit 0, ce qui matérialise le rang.
✅ Les erreurs de table de multiplication
Si les tables ne sont pas solidement mémorisées, aucun algorithme ne sauve l'opération. Selon le rapport Villani-Torossian sur l'enseignement des mathématiques (2018), la maîtrise automatisée des tables de 2 à 9 conditionne directement la réussite de toute la technique opératoire. Réviser les tables 3 minutes par jour est plus efficace que d'y passer 30 minutes une fois par semaine.
| Type d'erreur | Exemple | Correction |
|---|---|---|
| Oubli de retenue | On calcule le chiffre suivant sans ajouter la retenue précédente | Écrire la retenue lisiblement au-dessus de la colonne suivante |
| Double utilisation de retenue | La retenue est ajoutée deux fois car non barrée | Barrer chaque retenue dès qu'elle a été utilisée |
| Inversion (ajout avant multiplication) | On ajoute la retenue avant de multiplier | Toujours multiplier d'abord, additionner la retenue ensuite |
| Oubli du décalage à gauche | Le 2e produit partiel reste aligné à droite | Écrire explicitement un zéro à la place du décalage |
| Erreur de table de multiplication | Produit partiel faux dès la première ligne | Réviser les tables 3 minutes par jour |
Foire aux questions ❓
🤔 À partir de quel niveau apprend-on la multiplication posée ?
La multiplication posée par un nombre à un chiffre est introduite en CM1 selon les programmes officiels de l'Éducation nationale, vers 9 ans. La multiplication par un nombre à deux chiffres arrive en CM2, et la consolidation se poursuit en 6ème, où les élèves doivent maîtriser la multiplication à trois chiffres et son application dans les problèmes.
🤔 Comment poser une multiplication à deux chiffres correctement ?
Pour comment poser une multiplication à deux chiffres : aligner les deux nombres à droite, calculer le produit partiel avec le chiffre des unités du multiplicateur, puis le produit partiel avec le chiffre des dizaines en décalant d'une case vers la gauche. Additionner enfin les deux produits partiels en respectant l'alignement des colonnes. Le résultat obtenu est le produit final.
🤔 Pourquoi décale-t-on à gauche dans une multiplication écrite ?
Le décalage à gauche existe parce que chaque chiffre du multiplicateur correspond à un rang différent : unités, dizaines, centaines. Multiplier par le chiffre des dizaines revient à multiplier par ce chiffre puis par 10 : décaler d'une case à gauche équivaut à ajouter un zéro. C'est la traduction visuelle d'une multiplication par une puissance de 10.
🤔 Faut-il mémoriser toutes les tables avant de poser une multiplication ?
Idéalement, les tables de 2 à 9 doivent être automatisées avant d'aborder la multiplication écrite à plusieurs chiffres. Un élève qui hésite sur ses tables passera trop de temps sur chaque produit partiel et risque d'accumuler les erreurs. Si certaines tables ne sont pas encore solides, mieux vaut les afficher à côté du cahier le temps de la phase d'apprentissage.
🤔 Comment vérifier le résultat d'une multiplication posée ?
Trois méthodes simples : l'ordre de grandeur (arrondir les deux nombres et estimer le produit mentalement), la commutativité (refaire l'opération en inversant multiplicande et multiplicateur, le résultat doit être identique), et la preuve par neuf, enseignée dès le cycle 3 dans certaines classes. Ces vérifications repèrent la majorité des erreurs de retenue ou de décalage.
La multiplication posée est l'une des premières grandes techniques opératoires qu'un élève automatise vraiment. Une fois ses trois piliers maîtrisés (tables, retenues, décalage à gauche), elle devient un outil fiable pour tous les calculs du collège et du lycée. S'entraîner régulièrement sur des opérations de tailles variées, vérifier chaque résultat par un ordre de grandeur, et ne jamais sauter l'étape du calcul mental préparatoire : voilà la routine qui transforme cette compétence en réflexe. Pour un coup de pouce ciblé sur la méthode, un professeur particulier de mathématiques peut aussi accompagner les élèves de CM1, CM2 ou 6ème jusqu'à l'autonomie complète.
Sources 📚
- Ministère de l'Éducation nationale. "Programme du cycle 3 - Mathématiques." Bulletin officiel de l'Éducation nationale, n° 31, 30 juillet 2020, https://eduscol.education.fr/document/15918/download.
- Villani, Cédric et Charles Torossian. "21 mesures pour l'enseignement des mathématiques." Ministère de l'Éducation nationale, 12 février 2018, https://www.education.gouv.fr/21-mesures-pour-l-enseignement-des-mathematiques-3242.
- Brissiaud, Rémi. Comment les enfants apprennent à calculer : au-delà de Piaget et de la théorie des schèmes. Retz, Paris, 2013, https://www.editions-retz.com/pedagogie/domaines-transversaux/comment-les-enfants-apprennent-a-calculer-9782725632711.html.
- Charnay, Roland. "La place du calcul à l'école primaire." Académie de Paris - Ressources mathématiques cycle 3, 2017, https://www.ac-paris.fr/portail/jcms/p2_1683049/la-place-du-calcul-a-l-ecole-primaire-par-roland-charnay.
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