Pourquoi peut-on deviner le prix de 3 kg de tomates à partir de celui d’un kilo, mais pas la taille d’un enfant à partir de son âge ? Toute la définition de la proportionnalité tient dans cette différence : dans un cas, un même nombre relie toujours poids et prix ; dans l’autre, aucun ne fonctionne à tous les coups.
Ce nombre fait le lien entre des nombres rangés en lignes et une droite tracée dans un plan. Une fois que tu sais le trouver, tu complètes les cases vides, tu lis une courbe et tu déjoues les pièges.
Qu’est-ce que la proportionnalité ? 📏
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient les valeurs de l’une en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre, différent de zéro. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Le prix payé est proportionnel à la masse de tomates achetée ; la taille d’un enfant, elle, ne l’est pas à son âge.
Le programme de 6e demande de connaître cette définition et de la relier à des expressions courantes comme « prix au kilo ». Ne la confonds pas avec une proportion, qui désigne la part d’un tout, souvent en pourcentage : dans une classe de 30 élèves qui compte 12 filles, celle des filles vaut 12 ÷ 30 = 0,4, soit 40 %.
🔢 Grandeurs proportionnelles : exemples et tableaux
Les exemples sont partout : le prix et la quantité achetée, la distance parcourue à vitesse constante et la durée du trajet, ou le périmètre d’un disque et son diamètre, cité par le programme de 6e. Pour les étudier, on les range dans un tableau de proportionnalité à deux lignes.
Ci-dessous, chaque nombre du bas s’obtient en prenant 0,2 fois celui placé au-dessus :
| 12 | 4 | 28 | 1 | 10 |
| 2,4 | 0,8 | 5,6 | 0,2 | 2 |
Le coefficient vaut 0,2 car 12 × 0,2 = 2,4, 4 × 0,2 = 0,8 et 28 × 0,2 = 5,6. Dans l’autre sens, tu le retrouves en divisant : 5,6 ÷ 28 = 0,2 et 0,8 ÷ 4 = 0,2. Tous les quotients sont égaux : c’est exactement ce qui caractérise une telle grille.
Comment savoir si un tableau est proportionnel ? Divise chaque nombre du bas par celui situé juste au-dessus. Un exemple :
| 1,3 | 7 | 5 | 10 |
| 3,9 | 20 | 15 | 30 |
On a 3,9 ÷ 1,3 = 3, mais 20 ÷ 7 ≈ 2,86, différent de 3. La réponse est donc non : il aurait fallu 21 sous le 7, et un seul quotient différent suffit à conclure. Autre exemple :
| 2 | 3 | 7 |
| 3 | 4,5 | 10,5 |
Cette fois, 3 ÷ 2 = 1,5, 4,5 ÷ 3 = 1,5 et 10,5 ÷ 7 = 1,5. Les trois quotients sont identiques : la réponse est oui, avec un facteur 1,5.
Calcule le quotient bas ÷ haut dans toutes les colonnes. S’ils sont tous égaux, le test est réussi et ce quotient commun est le coefficient. Un seul qui diffère, et la réponse est non.
✖️ Le coefficient de proportionnalité, décimal ou non
Le coefficient est le nombre par lequel on multiplie la première ligne pour obtenir la deuxième. En 5e, il prend un sens concret : un prix unitaire (en euros par kilo), une vitesse moyenne (en km/h) ou une échelle (en km par centimètre de carte). Il est parfois décimal, comme 0,2 ou 1,5, mais pas toujours.
| 3 | 72 | 24 |
| 7 | 168 | 56 |
Ici, 7 ÷ 3 = 2,333… : la division ne s’arrête jamais. Ce facteur n’est pas décimal, on l’écrit donc en fraction, 7/3. Pour vérifier sans arrondir, commence par le produit, puis divise : 72 × 7 ÷ 3 = 504 ÷ 3 = 168 et 24 × 7 ÷ 3 = 56. Même principe ci-dessous :
| 9 | 99 | 72 | 90 |
| 11 | 121 | 88 | 110 |
Ici, c’est 11/9, car 72 × 11 ÷ 9 = 792 ÷ 9 = 88 et 99 × 11 ÷ 9 = 121. Pour remonter du bas vers le haut, il suffit de retourner la fraction : 9/11.
Comment représenter une situation de proportionnalité ? 📈
Une situation de proportionnalité se représente par des points alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère. L’inverse est vrai aussi : si des points tracés sont alignés avec l’origine, les deux grandeurs sont proportionnelles. Le tracé offre donc un autre moyen de la reconnaître, sans aucun calcul.
📍 Placer les points dans un repère
Le programme de 5e demande de « placer dans un repère orthogonal donné des points correspondant à un tableau de valeurs ». Chacune des colonnes devient un point : la première ligne donne l’abscisse, la deuxième l’ordonnée. Avec l’exemple du début (facteur 0,2), tu obtiens les points de coordonnées suivantes :
(1 ; 0,2)et(4 ; 0,8),(10 ; 2)et(12 ; 2,4),(28 ; 5,6).
Relie-les à la règle : ils sont tous sur une même droite, qui passe par le point (0 ; 0). C’est logique, puisque 0 fois 0,2 donne 0. On dit que la seconde grandeur est tracée en fonction de l’autre, une expression que tu emploies dès la 5e.
🔍 Lire un graphique : alignés et passant par l’origine
Pour « caractériser graphiquement la proportionnalité », comme le formule le programme, vérifie deux conditions. Des points dispersés (la taille d’un enfant année après année) ne conviennent pas. Des points alignés sur une droite qui coupe l’axe des ordonnées ailleurs qu’en 0 non plus : c’est le cas d’une course de taxi facturée 3 € de prise en charge plus 2 € par kilomètre, car 1 km coûte 5 € mais 2 km coûtent 7 €, pas 10 €.
Sur une droite qui passe bien par l’origine, le multiplicateur se lit directement : c’est l’ordonnée du point d’abscisse 1. Plus haut, le point (1 ; 0,2) redonne bien 0,2.
Un graphique traduit une proportionnalité seulement si les points sont alignés et si leur droite passe par l’origine. Alignés sans passer par 0, ils décrivent une hausse régulière, sans plus.
Comment calculer une quatrième proportionnelle ? 🧮
Une quatrième proportionnelle est la valeur manquante d’un tableau de proportionnalité dont tu connais les trois autres. Tu la calcules avec le facteur qui fait passer d’une ligne à l’autre, ou en combinant les cases par linéarité. La « déterminer » est un objectif du nouveau programme de 4e, mais les outils de 5e suffisent déjà à la trouver.
🧭 Quatre façons de trouver la valeur manquante
Prends une recette qui demande 200 g de farine pour 4 personnes, et adapte-la à d’autres tablées, comme le proposent les exercices d’automatismes de 5e :
- Linéarité multiplicative : pour 8 personnes, deux fois plus de monde, donc deux fois plus de farine, soit 400 g,
- Linéarité additive : pour 6 personnes, tu ajoutes la quantité pour 4 et celle pour 2, soit
200 + 100 = 300g, - Retour à l’unité : une personne demande
200 ÷ 4 = 50g, donc 6 personnes en demandent6 × 50 = 300g, - Coefficient : ici il vaut 50 g par personne, et il s’applique à n’importe quel nombre de convives.
Dans un tableau, cette dernière méthode est la plus rapide. Ici, on passe de la première ligne à l’autre avec le facteur 11/9 :
| 9 | 72 |
| 11 | X |
On obtient X = 72 × 11 ÷ 9 = 88. En 4e, tu verras que ce calcul revient à une égalité de rapports, 72/9 = X/11, qui fonde le produit en croix. En 5e, les méthodes ci-dessus suffisent.
✏️ Autres exemples corrigés
Ici, deux valeurs manquent, et le facteur qui fait descendre d’une ligne vaut 7/15 :
| 15 | X | 300 |
| 7 | 4,2 | Y |
Pour X, tu remontes : X = 15 × 4,2 ÷ 7 = 63 ÷ 7 = 9. Pour Y, tu descends : Y = 7 × 300 ÷ 15 = 2 100 ÷ 15 = 140. Les deux cas suivants ne tombent pas juste, et c’est normal.
| 7 | 6 |
| 23 | X |
Ici, X = 6 × 23 ÷ 7 = 138 ÷ 7. Le résultat exact est la fraction 138/7, dont une valeur approchée au centième vaut 19,71.
| 41 | Y |
| 6 | 7 |
De même, Y = 41 × 7 ÷ 6 = 287 ÷ 6, soit 287/6, environ 47,83. Garde la fraction tant que l’énoncé ne demande pas d’arrondi : c’est la seule écriture exacte.
Comment la proportionnalité s’apprend-elle du CM2 à la 4e ? 🏫
La notion se construit sur cinq années : au CM2, on raisonne avec des phrases ; en 6e, on la formalise ; en 5e arrivent le coefficient, le tableau et le tracé de points ; en 4e, le calcul de la valeur manquante ; en 3e, les fonctions linéaires. Les nouveaux programmes s’appliquent depuis la rentrée 2026 au CM2 et en 5e, et gagneront la 4e à la rentrée 2027, puis la 3e en 2028.
🧒 Au CM2 et en 6e : raisonner avant de calculer
Au CM2, tout passe par le langage courant : « Si j’achète 3 fois plus de pains aux raisins, alors je vais payer 3 fois plus. » Si 4 pains coûtent 7 €, 12 pains coûtent donc 21 €. Le programme est clair : « ni l’utilisation du coefficient de proportionnalité, ni le recours au « produit en croix » ne sont enseignés au cours moyen », et les élèves n’y utilisent pas de tableaux.
En 6e, on passe à l’écrit. Les élèves emploient la linéarité, le retour à l’unité, les tableaux et les flèches, mais toujours pas le produit en croix, écarté au CM2.
🎯 En 5e, en 4e et en 3e : du coefficient aux fonctions
En 5e, tu dois identifier les situations proportionnelles (achats, recettes, trajets, échelles), utiliser un coefficient, et les reconnaître sur un tableau ou une représentation graphique. En 4e, tu chercheras des valeurs manquantes, tu écriras des égalités de rapports ou des ratios et tu découvriras les grandeurs quotients. En 3e, les fonctions linéaires prolongent tout cela, avec un lien vers le théorème de Thalès.
Au cycle 4, la proportionnalité occupe toujours une place centrale.
Ministère de l’Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4, Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026
Voici cette progression, niveau par niveau :
| Niveau | Ce que tu apprends | Outils utilisés |
|---|---|---|
| CM2 | Raisonner par linéarité en langage courant | Phrases (« 3 fois plus, donc 3 fois plus cher »), sans outil formel |
| 6e | Connaître la définition et la relier au « prix au kilo » | Linéarité, retour à l’unité, tableau, flèches |
| 5e | Utiliser un coefficient, reconnaître des grandeurs liées | Tableau, coordonnées, pourcentages |
| 4e | Déterminer une quatrième proportionnelle | Égalités de rapports, ratios, grandeurs quotients |
| 3e | Connaître et utiliser les fonctions linéaires | Droites, lien avec le théorème de Thalès |
Quelles erreurs éviter avec la proportionnalité ? ⚠️
L’erreur la plus fréquente consiste à multiplier dans un problème qui ne s’y prête pas. La Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP) l’a mesuré en septembre 2025 auprès de 817 000 élèves entrant en 6e : 27,9 % d’entre eux font un produit là où il fallait simplement ajouter.
📊 Ce que révèle l’évaluation de début de 6e
Selon la DEPP (2025), les problèmes les plus familiers ne sont pas acquis par tous à l’entrée au collège. Sur une échelle de carte (1 cm pour 4 km, quelle distance réelle pour 10 cm ?), 75,7 % des élèves trouvent 40 km. Sur une recette (4 œufs pour 8 personnes, combien pour 24 ?), ils sont 67,0 % à répondre 12, et 18,7 % écrivent 32 en multipliant 8 par 4. Sur un trajet (80 km en une heure, quelle distance parcourue en un quart d’heure ?), le taux de réussite tombe à 56,0 %.
Élèves entrant en 6e qui adaptent la recette
% trouvent 12 œufs pour 24 personnes quand la recette en prévoit 4 pour 8 (Source : DEPP, évaluation de début de sixième, septembre 2025)
🚫 Repérer les situations non proportionnelles
Le piège le plus révélateur de l’évaluation met en scène deux coureurs qui tournent au même rythme : Carl a fait 6 tours quand Lucie en a fait 2. Combien Carl en aura-t-il fait quand Lucie en sera à 4 ? L’écart reste de 4 tours, donc la réponse est 8, trouvée par 49,1 % des élèves. Les 27,9 % qui répondent 12 multiplient par 3 sans raison ; la DEPP le résume ainsi : « L’élève applique la proportionnalité sans comprendre la situation de l’énoncé. »
Avant tout calcul, demande-toi donc si doubler une grandeur double vraiment l’autre. Ce n’est pas le cas pour la taille d’un enfant, pour un tarif qui inclut des frais fixes, ou pour l’aire d’un carré : quand le côté double, elle quadruple. Pour t’entraîner, rien ne vaut des énoncés variés : un professeur de maths à Rennes peut te proposer ces cas pièges jusqu’à ce que tu les repères au premier coup d’œil.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Comment savoir si un tableau est proportionnel ?
Divise chaque nombre du bas par celui du haut. Si tous les quotients sont égaux, la réponse est oui, et ce quotient commun est son coefficient ; s’il en diffère un seul, la réponse est non. Autre test : une fois tracés, les points doivent être alignés sur une droite passant par l’origine.
💡 Qu’est-ce qu’un coefficient de proportionnalité ?
C’est le nombre, toujours le même, par lequel on multiplie les valeurs d’une grandeur pour obtenir celles de l’autre. Il a souvent un sens concret : des euros par kilo, des km/h ou une échelle. Il peut être entier, décimal comme 0,2, ou s’écrire sous forme de fraction comme 7/3 lorsque la division ne tombe pas juste.
🔍 Le produit en croix est-il au programme de 5e ?
Non. Le programme de 5e met l’accent sur le coefficient et les tableaux, et celui du cycle 3 précise que cette technique n’est enseignée ni au cours moyen ni en 6e. Chercher une valeur manquante par ce biais devient un objectif en 4e, avec les égalités de rapports. D’ici là, la linéarité et le retour à l’unité suffisent.
📌 Quel lien entre proportionnalité et pourcentages ?
Un pourcentage est une proportionnalité de coefficient connu. Prendre 20 % d’un nombre revient à le multiplier par 0,2 : 20 % de 50 € font 50 × 0,2 = 10 €. À l’inverse, exprimer une proportion en pourcentage, c’est calculer le rapport entre la partie et le tout, puis le ramener à 100, comme 12 filles sur 30 élèves, soit 40 %.
Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale. "Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2 de l’arrêté du 18 février 2026)." Bulletin officiel n° 10, 5 mars 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Annexe%202%20%E2%80%93%20Programme%20de%20math%C3%A9matiques%20pour%20le%20cycle%204-480716.pdf.
- Ministère de l’Éducation nationale. "Programme de mathématiques pour le cycle 3 (annexe de l’arrêté du 10 avril 2025)." Bulletin officiel n° 16, 17 avril 2025, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/programme-de-math-matiques-pour-le-cycle-3-439827.pdf.
- DEPP. "Évaluation de début de sixième 2025 : analyses détaillées en mathématiques." Document de travail n° 2025-E12, janvier 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/-valuation-de-d-but-de-sixi-me-2025---analyses-d-taill-es-en-math-matiques-517538.pdf.
- Légifrance. "Arrêté du 18 février 2026 (programmes du cycle 4)." Journal officiel n° 0054, 4 mars 2026, https://www.legifrance.gouv.fr/jorf/id/JORFTEXT000053613385.
- Légifrance. "Arrêté du 10 avril 2025 (programmes du cycle 3)." Journal officiel, 2025, https://www.legifrance.gouv.fr/jorf/id/JORFTEXT000051468918.
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