Chapitres
- 01. Décomposer en facteurs premiers numérateur et dénominateur.
- 02. Exemple
- 03. Déterminer le PGCD du numérateur et du dénominateur.
- 04. Simplifier petit à petit
- 05. Utiliser les règles sur les fractions.
- 06. Utiliser les règles sur les puissances.
- 07. Utiliser les règles sur les radicaux.
- 08. Utiliser la notation scientifique.
- 09. Utiliser l'expression conjuguée.
Décomposer en facteurs premiers numérateur et dénominateur.
Principe
Appliquez la méthode 5 au numérateur et au dénominateur puis simplifiez.
(décomposez par exemple 8 en 2 * 2 * 2, 54 en 2 * 3 * 3 * 3, puis éliminez !).
Exemple
Simplifier "le plus possible" les fractions suivantes :
a) 432/192
b) 540/81
a) On décompose en facteurs premiers 432 (432 = 24 * 33) puis 192 (192 = 26 * 3) ce qui donne :
432/192 = (24*33)/(26*3) = 32/22 = 9/4
b) De même : 540/81 = (22*33*5)/34 = (22*5)/3 = 20/3
Déterminer le PGCD du numérateur et du dénominateur.
Principe
Là,
on fait appel à vos souvenirs de troisième, c'est à dire à l'algorithme
d'Euclide. Dans cet algorithme qui consiste à effectuer des divisions
euclidiennes successives, le PGCD est le dernier reste non nul.
Ensuite en divisant numérateur et dénominateur par ce PGCD obtenu, on obtient une fraction irréductible cherchée !
Exemple : (432)/(192)
Effectuons la division euclidienne de 432 par 192 ( c'est à dire avec le reste qu'on obtient). On obtient : 432 = 2 * 192 + 48.
Effectuons ensuite la division euclidienne de 192 par 48, on obtient : 192 = 4 * 48 + 0.
La division donne un reste nul, le dernier reste non nul est donc 48 : et donc PGCD(432.192) = 48.
On divise donc le numérateur et le dénominateur par 48, ce qui donne : 432/192 = (48*9)/(48*4) = 9/4. Terminé !
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Simplifier petit à petit
Principe
Divisez
(le plus possible ) numérateur et dénominateur par 2 puis par 3, puis
par 5, ... à la fin vous obtiendrez la simplification souhaitée !
Inconvénient de cette méthode : c'est parfois un peu long !
Exemple
a) 1104/716
b) 21603/144
a) 1106/716 = 552/358 = 276/179
b) 21603/144 = (3*7201)/(3*48) = 7201/48
Utiliser les règles sur les fractions.
Principe
Il s'agit d'utiliser les règles suivantes, pour a ≠ 0, b ≠0, c ≠0, d ≠ 0. (Je vous conseille de les ré-écrire sur un papier)
a) 1/(a/b) = b/a
b) (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c) = (a*d)/(b*c)
c) (a/b)/c = (a/b) * (1/c) = a/(b*c)
d) a/(b/c) = a* (c/b) = (a*c)/b
Utiliser les règles sur les puissances.
Principe
On utilise les règles suivantes, pour a ≠ 0, b ≠ 0 (et n, m entiers) :
a) a0 = 1
b) a-n = 1/(an)
c) anam = an+m
d) (an)/(am) = an-m
e) (an)m = anm
f) (ab)n = anbn
g) (a/n)n = (an)/(bn)
Utiliser les règles sur les radicaux.
Principe
On utilise les règles suivantes :
a) √ab = √a * √b
b) √(a/b) = (√a)/(√b) (si b ≠ 0)
Il est utile de bien connaître les racines carrées suivantes :
| a | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 |
| √a | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| a | 1 | 100 | 10.000 | 1.000.000 | 0.01 | 0.0001 | 0.000001 |
| √a | 1 | 10 | 100 | 1000 | 0.0 | 0.01 | 0.001 |
Utiliser la notation scientifique.
Principe
L'écriture sous la forme a•10n (voir Méthode 2) permet souvent de simplifier des expressions.
Utiliser l'expression conjuguée.
Principe
L'expression conjuguée de √a -√b est √a + √b (bien sûr celle de √a +√b est √a - √b).
Ensuite, on utilise le fait que (√a +√b)(√a - √b) =(√a)² - (√b)² = a-b
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