Chapitres
- 01. Définition
- 02. Valeur absolue d'un réel
- 03. Propriétés
Définition
La distance entre deux réels x et y est la différence entre le plus grand et le plus petit.
Cette distance entre deux réels est toujours un nombre positif.
Exemple :
a = 1
b = 4
c = –1
AB = 4 – 1 = 3
BC = 4 – (–1) = 5
Valeur absolue d'un réel
Définition :
En cours de math, la valeur absolue d'un réel x notée | x | (on lit "valeur absolue de x") est la disance entre x et 0.
Exemples :
- | 5 | = 5
- |–9 | = 9
- | π – 4 |
π – 4 < 0
donc | π – 4 | = –(π – 4)
= 4 – π
Remarques :
- Tout nombre a une valeur absolue.
- Une valeur absolue est toujours positive.
- d (A ; B) = AB = | b – a |
Propriétés
Propriété 1 :
| x | = 0 équivaut à x = 0
Propriété 2 :
Pour tout réel x, | –x | = | x |
Démonstration :
x et –x sont à la même distance de 0.
Propriété 3 :
Pour tous réels x et y,
| x | = | y | équivaut à x = y ou x = –y.
Démonstration :
Si | x | = | y |, alors x et y sont à la même distance de 0 donc ils sont égaux ou opposés.
Propriété 4 :
Soit r un réel positif.
| x – a | ≤ r signifie que x ∈ [ a – r ; a + r ]
Démonstration :
| x – a | ≤ r signifie d (x ; a) ≤ r
c'est à dire x ∈ [ a – r ; a + r ]
Remarques :
- | x – a | < r signifie que x ∈ ] a – r ; a + r [
- | x | ≤ r signifie que x ∈ [ –r ; r ]
Exemples :
- | x | < 2 signifie x ∈ ] –2 ; 2 [
- | x + 2 | < 5
a = –2 et b = 5
| x + 2 | < 5 signifie x ∈ ] –7 ; 3 [
Propriété 5 :
Soit r un réel positif. x ∈ ] a – r ; a + r [
| x – a | ≥ r signifie que x ∈ ] –∞ ; a – r ] ∪ [ a + r ; +∞ [
Démonstration :
Puisque | x – a | < r signifie que x ∈ ] a – r ; a + r [
alors | x – a | ≥ r signifie que x ∈ ] –∞ ; a –r ] ∪ [ a + r ; +∞ [
Exemples :
- | x – 2 | > 3 signifie x ∈ ] –∞ ; 2 – 3 ] ∪ [ 2 + 3 ; +∞ [
Donc x ∈ ] –∞ ; –1 ] ∪ [ 5 ; +∞ [ - | x | ≥ 4
| x | = d (x ; 0)
signifie x∈ ] –∞ ; –4 ] ∪ [ 4 ; +∞ [
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