Sujet
(d) et (d') sont deux droites parallèles. A et B appartiennent à (d) et A' et B' appartiennent à (d') tel que (BB') soit la médiatrice de [AA']. I est le milieu de [AA'].
Quelle est la nature du quadrilatère ABA'B' ?
Solution
Soit SI la symétrie centrale de centre I.
I milieu de [AA'] donc SI (A) = A'
(BB') passe par I donc elle est sa propre image par SI.
L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.
Or (d)//(d'), SI (A) = A' tel que A sur (d) et A' sur (d').
Donc (d') est l'image de (d) par SI.
B intersection de (d) et de (BB').
Or la symétrie conserve l'alignement des points donc l'image de B est l'intersection de (BB') et de l'image de (d') en l'occurence (d').
B' intersection de (d') et (BB') donc r(B) = B'.
Ainsi I milieu de [BB'].
(BB') est la médiatrice de [AA'] donc les doites (AA') et (BB') sont perpendiculaires.
Les diagonales [AA'] et [BB'] du quadrilatère ABA'B' se coupent perpendiculairement en leur milieu donc ABA'B' est un losange.
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