I ) Nombres entiers et nombres premiers
Définiton : On appelle nombre premier tout entier nbaturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Remarque : tout entier naturel (différent de 1) qui n'est pas premier, est dit composé.
Théorème : Tout nombre entier supérieur à 2 admet un diviseur premier.
Crible d'Erathostène :
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
| 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
| 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |
| 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 |
| 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |
| 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 |
| 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 21 |
| 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 |
Crible d'Erathostène (2) suite :
| 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | |
| 99 | 100 |
Tout les nombres en verts sont des nombres premiers.
En cours de mathématiques, comment savoir si un nombre et premier ?
- A l'aide des crières de divisibilité : si un nombre est pair alors il est divisible par 2, et s'il se termine par 5 ou 0, il est divisble par 5. Si la somme des chiffres d'un nombre est un multiple de 3 alors il est divisible par 3 et si la somme des chiffres est un multiple de 9, alors il est divisle par 9.
N = 23 583
2 + 3 + 5 + 8 + 3 = 21 donc, 21 est divisible par 3 ; on en déduit que N est divisble par 3 et que N n'est pas un entier.
- On calcule la racine carrée du nombre N et on vérifie si les nombres premiers inférieurs à la raciné de N divise N.
N = 51
V(N) = V(51) = 7,14...
51 est divisible par 3 donc N n'est pas un nombre permier.
Théorème : Tout entier N supérieur à 2 se décompose en un produit de nombres permiers.
II ) Définitions et caractérisation des ensembles de nombres
A) L'ensemble des entiers naturels
L'ensemble des entiers naturels est formé de tous les entiers positifs ou nuls, il est noté |N : il contient les nombres 0, 2, 3, 4, ...
B) L'ensemble des entiers relatifs
L'ensemble des entiers relatifs est formé de tous les nombres appartenant aux entiers naturels et de leur opposés, il est noté Z/ : il contient les nombres -1000, ..., -3, -2, 0, 1, 2, 3, ...
C) L'ensemble des nombres décimaux
L'ensemble des nombrse décimaux contient tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme a/10(p), a appartenant à Z/ et p appartenant à |N. Cet ensemble est noté |D.
D) L'ensemble de nombres rationnels
L'ensemble des nombres rationnels contient tous les nombres de la forme a/b, où a appartient à Z/ et b appartient à |N. Cet ensemble est noté Q.
E) L'ensemble des nombres réels
L'ensemble des nombres réels contient tous les nombres rationnels et contient d'autres nombres appelés irrationnels comme pie, cos (35)°, etc... Cet ensemble se note |R.
Propriété : Soit a et b, deux nombres réels non nuls et soit n et p deux entiers relatifs.
exemples :
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