Le nombre −x n’a rien de forcément inférieur à zéro : si x vaut −4, alors −x vaut 4. Ce petit signe moins posé devant une lettre trompe une majorité d’élèves, et on le retrouve dès qu’il faut dire si une fonction positive ou négative l’est vraiment, sur quel intervalle, et à partir de quelle valeur elle change de camp.
Savoir où f(x) dépasse zéro ou tombe sous zéro sert ensuite à résoudre une inéquation, à situer une courbe par rapport à une autre grâce au signe de f − g, et à ne pas confondre croissance et signe.
Qu’est-ce qu’une fonction positive ou négative ? ➕
Une fonction f est positive sur un intervalle I si, pour tout x de I, f(x) ≥ 0 : sa courbe se situe alors au-dessus de l’axe des abscisses. Elle est négative sur I si f(x) ≤ 0 pour tout x de I, et sa courbe se trouve alors en dessous de cet axe.
Le « pour tout x » change tout : f(1) > 0 donne le signe de f en un point, alors que « f positive sur [0 ; 5] » décrit tout un intervalle. Si l’inégalité est stricte, f(x) > 0, on parle de fonction strictement positive.
La notation ℝ*₊ (lue « R étoile plus ») désigne l’ensemble des réels strictement positifs, soit l’intervalle ]0 ; +∞[ : le + garde les positifs, l’étoile retire le zéro. La fonction inverse est ainsi strictement positive sur ℝ*₊ et strictement négative sur ℝ*₋.
Le piège principal reste le signe moins. Au test de positionnement de début de Seconde de septembre 2025, la Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP) demandait : si −x est strictement positif, que dire de x ? Seuls 38,0 % des élèves ont répondu que x est négatif, et 25,1 % ont estimé qu’on ne pouvait rien conclure.
Signe de x quand −x est positif
% des élèves entrant en Seconde ont trouvé que x est négatif (DEPP, test de positionnement 2025)
Comment étudier le signe d’une fonction ? 📋
Pour étudier le signe de f, tu cherches les valeurs où elle s’annule, puis tu détermines de quel côté de zéro se trouve f(x) entre ces valeurs. Deux méthodes se complètent : la lecture graphique, rapide pour une estimation, et le tableau de signes, qui donne un résultat exact.
👀 La lecture graphique
Repère où le tracé coupe l’axe des abscisses : ces valeurs de x sont les solutions de f(x) = 0. Entre deux d’entre elles, le tracé reste du même côté de cette droite horizontale. Là où le tracé passe au-dessus, f est positive ; dans le cas contraire, elle est négative.
C’est la compétence la mieux installée : au même test de la DEPP, 89,2 % des élèves ont lu correctement un antécédent sur la courbe d’une fonction affine. Sa limite reste la précision de la lecture.
📊 Le tableau de signes
Commence par la fonction affinef(x) = ax + b, avec a ≠ 0. Elle s’annule en x = −b/a, prend le signe de a après cette valeur et le signe contraire avant. Ainsi, f(x) = 2x − 6 s’annule en 3 ; comme a = 2 est supérieur à zéro, f est négative sur ]−∞ ; 3] et positive sur [3 ; +∞[.
Pour reconnaître une expression affine, vérifie qu’elle s’écrit sous la forme ax + b, avec a et b constants : sa courbe est alors une droite. 3 − 5x est affine, x² + 1 et 1/x ne le sont pas.
Pour un produit ou un quotient, on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes. La présentation des programmes 2026 par l’académie de Normandie cite, en Seconde, le « tableau de signes pour une fonction produit ou quotient » pour résoudre f(x) > 0. Voici le tableau de f(x) = (x + 3)(x − 2) :
| Valeurs de x | Signe de x + 3 | Signe de x − 2 | Signe de (x + 3)(x − 2) |
|---|---|---|---|
| x < −3 | − | − | + |
| x = −3 | 0 | − | 0 |
| −3 < x < 2 | + | − | − |
| x = 2 | + | 0 | 0 |
| x > 2 | + | + | + |
Le produit s’annule en −3 et en 2. Il est strictement positif sur ]−∞ ; −3[ et sur ]2 ; +∞[, de signe contraire entre les deux. L’inéquation (x + 3)(x − 2) > 0 a donc pour solutions ]−∞ ; −3[ ∪ ]2 ; +∞[. Pour un quotient comme (x − 1)/(x + 2), la méthode est identique, avec une double barre en x = −2, valeur interdite.
Une fois ton tableau rempli, choisis une valeur simple dans chaque intervalle et calcule f. Avec x = 0 : f(0) = 3 × (−2) = −6, négatif, comme l’annonce la ligne du milieu. Si le signe obtenu contredit ton tableau, un facteur est à revoir.
Comparer deux fonctions avec le signe de f − g ⚖️
Pour comparer f et g sur un intervalle, on étudie le signe de f(x) − g(x). Si cet écart est positif, f(x) ≥ g(x) ; s’il est négatif, f(x) ≤ g(x). La comparaison de deux courbes revient ainsi à étudier le signe d’une seule expression.
🧮 La méthode en trois étapes
On dit que f est supérieure ou égale à g sur un intervalle I si, pour tout x de I, f(x) ≥ g(x). Plutôt que de confronter deux expressions, on les soustrait : la présentation de l’académie de Normandie résume cette idée de Seconde par la formule « comparer deux quantités en utilisant leur différence ».
- Calcule et simplifie f(x) − g(x), en factorisant si possible,
- Dresse le tableau de signes de cet écart,
- Conclus : f ≥ g là où l’écart vaut zéro ou plus, f ≤ g dans le cas contraire.
Prends f(x) = x² et g(x) = 2x + 3. L’écart vaut x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3). Ce produit s’annule en −1 et en 3, il est négatif entre ces valeurs, de signe opposé à l’extérieur. Donc f(x) ≤ g(x) sur [−1 ; 3] et f(x) ≥ g(x) ailleurs.
📍 La position relative de deux courbes
Si f(x) − g(x) est positif sur un intervalle, la courbe de f se situe au-dessus de celle de g ; dans le cas contraire, elle passe en dessous. Les valeurs qui annulent cet écart donnent les x où les deux tracés se croisent.
Dans l’exemple, la parabole et la droite se croisent en x = −1, où f(−1) = g(−1) = 1, et en x = 3, où f(3) = g(3) = 9. Entre les deux, c’est la droite qui domine. Le cas g = 0 retrouve la définition de départ : étudier le signe de f revient à situer sa courbe par rapport à la droite d’équation y = 0.
Les deux différences fonctionnent, à condition de garder le même ordre jusqu’au bout. Si tu calcules g − f, un résultat positif signifie que la courbe de g est au-dessus : toutes les conclusions s’inversent.
Signe et sens de variation : ne pas confondre 📈
Le signe dit si f(x) est supérieur ou inférieur à zéro ; le sens de variation dit si f(x) augmente ou diminue quand x augmente. Ce sont deux informations indépendantes : une fonction peut être positive et décroissante, ou négative et croissante.
🔄 Deux questions distinctes
Sur [−3 ; −1], la fonction carré prend des valeurs allant de 9 à 1 : elle ne descend jamais sous zéro, et pourtant décroît. À l’inverse, h(x) = x − 5 est croissante sur [0 ; 2] tout en restant sous zéro, de −5 à −3.
Certains élèves s’appuient sur les propriétés et relations ponctuelles pour inférer des propriétés globales. Par exemple : si f(2) < f(3) alors f est une fonction croissante sur [2;3].
Inspection pédagogique régionale de mathématiques, académie de Guyane, « Zoom sur la partie Analyse »
Entre 2 et 3, la courbe peut descendre puis remonter : deux images ne renseignent pas sur tout l’intervalle.
🧠 Le signe de la dérivée en Première
En Première, le lien entre les deux notions passe par la dérivée : si f′(x) ≥ 0 sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle ; si f′(x) ≤ 0, elle y est décroissante.
Prends f(x) = x² − 4x. Sa dérivée f′(x) = 2x − 4 est négative avant 2 et positive après : f décroît puis croît, avec un minimum f(2) = −4. Son signe, lui, se lit sur f(x) = x(x − 4) : f est négative sur [0 ; 4] et positive ailleurs. Sur [0 ; 2], f décroît en restant sous zéro ; sur [2 ; 4], elle croît sans en sortir.
| Ce que tu étudies | Question posée | Outil | Résultat pour f(x) = x² − 4x |
|---|---|---|---|
| Signe de f | f(x) est-il positif ou négatif ? | Tableau de signes de x(x − 4) | Négative sur [0 ; 4], positive ailleurs |
| Position par rapport à g(x) = −x | La courbe de f est-elle au-dessus de celle de g ? | Signe de f − g = x(x − 3) | Courbe de f sous celle de g sur [0 ; 3], au-dessus ailleurs |
| Sens de variation de f | f(x) augmente-t-il quand x augmente ? | Signe de f′(x) = 2x − 4 | Décroissante sur ]−∞ ; 2], croissante sur [2 ; +∞[ |
Selon la DEPP, 75,3 % des élèves entrant en Seconde en 2025 maîtrisaient de façon satisfaisante l’ensemble du test d’automatismes, loin devant les 38,0 % de la question du −x : le signe reste un point fragile.
Signe, comparaison, variations : trois questions, un même support, le tableau. Entraîne-toi sur des fonctions affines, puis sur des produits, avant de passer aux dérivées. Pour un regard extérieur sur tes tableaux, sache qu’à Paris, la communauté maths est particulièrement riche : un professeur de maths à Paris peut reprendre avec toi chaque étape sur tes propres exercices.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Une fonction peut-elle être à la fois positive et négative ?
Oui, sur des intervalles distincts. L’expression f(x) = 2x − 6 change de signe en 3 : elle est négative avant, positive après. Sur un même intervalle, seule la fonction nulle cumule les deux, puisque f(x) ≥ 0 et f(x) ≤ 0 imposent f(x) = 0. Ailleurs, un tableau de signes découpe l’ensemble de définition en zones de signe constant.
💡 Quel lien entre le signe d’une fonction et les intégrales ?
Si f est continue et positive sur [a ; b], son intégrale de a à b mesure l’aire comprise entre sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b. Le signe de f reste donc utile bien après l’étude des tableaux de signes.
💬 Comment dire « je t’aime » en mathématiques ?
Avec une courbe en forme de cœur : l’équation (x² + y² − 1)³ − x²y³ = 0 en dessine un, bien connu des amateurs de tracés. Un clin d’œil assez loin du chapitre, mais une jolie façon de mettre ses sentiments en équation.
Sources 📚
- Académie de Normandie. « Nouveaux programmes au lycée. » Site disciplinaire de mathématiques de l’académie de Normandie, juin 2026, https://mathematiques.ac-normandie.fr/IMG/pdf/nouveaux_programmes_lyce_es_r26_pre_sentation_ens.pdf.
- Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP). « Test de positionnement de début de Seconde générale et technologique 2025. Test spécifique d’automatismes. Résultats nationaux et analyses détaillées. » Ministère de l’Éducation nationale, janvier 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/evaluation-de-debut-de-seconde-gt-2025-analyses-detaillees-en-mathematiques-517658.pdf.
- Inspection pédagogique régionale de mathématiques, académie de Guyane. « Zoom sur la partie Analyse. » Académie de Guyane, https://maths.dis.ac-guyane.fr/IMG/pdf/zoom_sur_analyse.pdf.
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