Dans la vie, vous serez confronté tous les jours à des phénomènes physiques qui peuvent parfois vous sembler simples à première vue mais qui reposent pourtant sur des phénomènes beaucoup plus complexes. C'est ce que nous allons montrer au fil de cet article.

Généralités

Comment rendre les cheveux électriques ?
Tout le monde connaît l'électricité statique car celle-ci se manifeste fréquemment dans la vie de tous les jours.
Mais savez-vous exactement pourquoi se produisent de tels phénomènes ?
Photographie réalisée par Christophe Finot

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow{f} = q \left ( \overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B} \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow{E} \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow{B} \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

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Champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Loi de Coulomb

Qui est Coulomb ?
Connaissiez-vous cet appareil et sauriez-vous expliquer de façon claire et précise son fonctionnement ?
Photographie réalisée par Christophe Finot

Coulomb, un physicien français, a établi en 1758 que le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :

  • La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
  • Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
  • Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.

Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 :

    \[ \overrightarrow{f_{e}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }\frac{ q_{1} q_{2} }{ r^{2} }\overrightarrow{ e_{r} } \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow{ e_{r} } \]

    le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2

  •     \[ \epsilon_{0} \]

    la permittivité diélectrique du vide

Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare.

Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante :

    \[\begin{cases}\overrightarrow{f} = q_{2} \left[\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ q_{1} }{ r^{2} } \overrightarrow{ e_{r} } \right] = q_{2} \overrightarrow{E} \\ \overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon } \frac{ q_{1} }{ r^{2} } \overrightarrow{ e_{r}} \end{cases} \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow{E}  \]

    un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2

Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q1, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.

Méthodes pour calculer les espaces électriques

Comment survivre à la CPGE ?
Il existe de nombreuse façon de calculer un champ électrique. Nous allons ici faire la liste des différentes méthodes à utiliser afin que vous soyez prêt pour vos concours.

Les méthodes sont numérotées par ordre de priorité.

Lorsqu'une action proposée est impossible, passer à la méthode suivante.

Méthode 1 : Théorème de superposition

  • Décomposer la distribution de charge en quelques distributions simples.
  • Pour chaque distribution, calculer le champ électrique au point M considéré en utilisant éventuellement les méthodes qui suivent.
  • Additionner les champs en indiquant qu'il s'agit du théorème de superposition.

Attention :

Les champs s'ajoutent en un même point de l'espace.

Il s'agit d'une somme vectorielle

Rappel : Somme vectorielle

Méthode 1

Utiliser la relation de Chasles en utilisant une notation intrinsèque pour les champs.

Méthode 2

Déterminer la direction du champ total au point M :

Méthode 1 : associer deux par deux des champs symétriques.

Méthode 2 : trouver un plan antisymétrique ou deux plans de symétrie de la distribution de charge, passant par M.

  • Projeter les champs à additionner dans cette direction.
  • Sommer ces différentes projections.

Méthode 3

Faire la somme des composantes dans une base orthonormée bien choisie.

Méthode 4

Somme graphique.

Méthode 2 : Théorème de Gauss

  • Déterminer l'allure du spectre dans tout l'espace d'étude :
    • Déterminer la direction du champ en un point M quelconque de l'espace :
      • Méthode 1 : associer deux par deux des champs élémentaires symétriques.
      • Méthode 2 : trouver un plan d'antisymétrie ou deux plans de symétrie de la distribution de charge, passant par M.
    • Déterminer les variables dont dépend la norme du champ dans l'espace, en invoquant des arguments d'invariance du problème vu par l'observateur par translation ou rotation du point M.
  • Choisir une surface de Gauss passant par le point où on cherche le champ. Pour simplifier le calcul ultérieur du flux, la surface doit suivre les lignes de champ ou les couper orthogonalement.
  • Appliquer le théorème de Gauss.
  • Remarque : dans le cas d'une distribution volumique, et des symétries simples, on peut utiliser l'équation de Maxwell-Gauss au lieu du théorème de Gauss :
    • Ecrire l'équation de Maxwell-Gauss et la simplifier dans un système de coordonnées adapté à l'allure du spectre.
    • Intégrer l'équation si la simplification était suffisante.
    • Déterminer la constante d'intégration en considérent une position particulière du point M.

Méthode 3 - Loi de Coulomb et calcul intégral

Voir le document "Calcul d'intégrales multiples vectorielles ou scalaires"

Méthode 4 - Passage par le potentiel

  • Déterminer la direction du champ en M.
  • Ecrire la relation qui permettra de passer du potentiel au champ
    • en exprimant le gradient du champ électrique dans le système de coordonnées adapté,
    • ou en calculant une circulation élémentaire du champ électrique.
  • Calculer le potentiel par superposition ou par intégrale.
  • Passer au champ électrique.

Remarque

Il existe de nombreuses méthodes astucieuses et élégantes. Ne pas hésiter à les utiliser.

  • Utilisation de l'angle solide dans le cas d'une distribution surfacique de charge plane.
  • Utilisation de l'équivalence entre une distribution linéique rectiligne et une distribution circulaire.
  • etc.
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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !