Sujet
On considère les points A ( -1 ; 0 ), B ( 3 ; -2 ) et C ( 1 ; 4 ) dans un repère orthonormé ( O ; vecteur i ; vecteur j ) du plan.
- Quelle est la nature du triangle ABC ?
- Déterminer le centre I du cercle circonscrit au triangle ABC.
- Soit M ( x ; y ) un point du plan, établir une relation entre x et y afin que ABCM puisse être un trapèze de base [BC] et [AM].
Solution
1.
( D'après le graphique, le triangle ABC semble rectangle isocèle en A.)
AB = ||vecteur AB|| = √ x2 + y2 avec vecteur AB ( x ; y )
vecteur AB ( 4 ; -2 ) . vecteur AC ( 2 ; 6 ) . vecteur BC ( -2 ; 6 )
AB = √ 16 + 4 = √20
AC = √ 16 + 4 = √20
BC = √ 4 + 36 = √40
- AB = AC = √20 donc ABC est isocèle en A
- 20 + 20 = 40
(√20)2 + (√20)2 = (√40)2
AB2 + AC2 = BC2 donc ABC est rectangle en A
Le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
2.
ABC triangle rectangle isocèle, donc le milieu I du cercle circonscrit à ABC est le centre de l'hypoténuse [BC] du triangle ABC.
B ( 3 ; -2 ) . C ( 1 ; 4 )
I a pour coordonnées les demi-sommes des coordonnées des extrémités A et B du segment.
I ( (3+1)/2 ; (-2+4)/2 )
I ( 2 ; 1 )
3.
M ( x ; y ) tel que ABCM trapèze de base [BC] et [AM].
Les droites (AM) et (BC) sont parallèles et x < -1.
Donc les vecteurs AM et BC sont colinéaires.
vecteur AM ( x+1 ; y ) . vecteur BC ( -2 ; 6 )
Si deux vecteurs sont colinéaires alors leur déterminant est nul.
det ( vecteur AM ; vecteur BC ) = 0
6( x+1 ) - (-2)y = 0
2y = -6x - 6
y = -3x - 3 avec x < -2
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