Présentation

Le rotationnel est un opérateur mathématique.

Il s'agit d'un opérateur différentiel aux dérivées partielles. Son rôle est d'associer à un champ vectoriel tridimensionnel un autre champ que l'on appellera rotation du premier.

Son lien avec la rotation vient du fait que le rotationnel permet de calculer la direction des lignes de champ lors de la rotation autour d'un point.

Connaissiez-vous ce type de champ ?
Un champ rotationnel définit la direction que vont prendre des lignes de champs lors de la rotation autour d'un point.
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Notation et calcul

Prenons un champ dans un espace à 3 dimensions, le champ F.

 

    \[ F = ( F _ { x } , F _ { y } , F _ { z } ) \]

 

Alors son rotationnel, noté ∇ ˄ F se calculera de la façon suivante :

 

    \[ \left ( \begin {array} { c } \partial F _ { z } / \partial y - \partial F _ { y } / \partial z \\ \partial F _ { x } / \partial z - \partial F _ { z } / \partial x \\ \partial F _ { y } / \partial x - \partial F _ { x } / \partial y \end{array}\right) \]

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Le théorème de Stokes

Le théorème de Stokes est un théorème en rapport avec l'intégration des formes différentielles. Très utilisé par les physiciens en mécanique des fluide, il s'agit d'un outil très utile.

Ce théorème tient son nom de Sir George Gabriel Stokes, un mathématicien et physicien britannique du XIX ème siècle.

Voici son énoncé :

Soit M une variété différentielle orientée de dimension n, et oméga une (n-1)-forme différentielle à support compact sur M de classe  C1. On a alors :

 

    \[ \int _ { M } ^ { } \text { d } \omega = \int _ { \partial M } i ^ { * } \omega \]

Savez-vous énoncer le théorème de Stokes ?
Les calculs sur rotationnels s'effectuent sur des champs en trois dimensions. De même que le théorèmes de Stokes ne s'applique que sur ce type de champs également.

Remarques

Un champ vectoriel dont le rotationnel est nul est alors un champ irrotationnel.

L'unité utilisée pour représentée un rotationnel de champ dépend de l'unité du vecteur d'origine. Si'il s'agit d'un champ de vitesse alors l'unité du rotationnel sera le radian par unité de temps.

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Les usages de l'opérateur rotationnel

On utilise l'opérateur rotationnel sur des vecteurs champs dans de nombreux domaines.

Il est utilisé en physique dans la mécanique des fluides mais aussi en météorologie car il permet d'effectuer des calculs sur les tornades par exemple.

La mécanique des fluides

En mécanique des fluides, l'opérateur rotationnel peut s'appliquer sur des champs magnétiques et électriques.

Le champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ magnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.

On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.

D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique.

La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Analyse

  • Définition du rotationnel : c'est le théorème de Stokes qui sera le plus utilisé, on peut retenir la définition à partir de ce théorème
  • Calcul du rotationnel :
    • Seule l'expression en cartésiennes est exigible, un formulaire sera fourni pour les autres systèmes de coordonnées si nécessaire ;
    • Il est souvent plus élégant de calculer le rotationnel par analogie avec un champ connu dont on connait le rotationnel grâce à une loi physique.
Pouvez-vous calculer un champ et son rotationnel ?
Les calculs nécessaires à la définition du rotationnel peuvent s'avérer complexes. C'est pourquoi il est important que vous vous entraîniez régulièrement afin de savoir les effectuer rapidement;

Exercice

On considère un champ v purement divergent en deux dimensions.

  1. Déterminer le système d'équations différentielles vérifié par les composantes du champ v ;
  2. Donner un exemple simple de vecteur v ;
  3. Tracer le champ v.

Répondre maintenant aux mêmes questions pour un champ purement rotationnel.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.