Introduction

Nous savons comment résoudre une équation à une inconnue. Apprenons maintenant à résoudre les équations à deux inconnues. Pour cela, il est nécessaire d'avoir au moins deux équations. On appelle ça un système. Apprenons différentes méthodes à travers différents exemples.

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Rappels sur les équations

Comment résoudre une équation ?
Commençons par rappeler quelques définitions sur les équations.

Une équation est une relation, une égalité contenant une ou plusieurs variables, aussi appelées inconnues. Par exemple,

    \[2x+3=5\]

est une équation à une inconnue, où x est l'inconnue. C'est une équation de degré 1 c'est à dire que l'équation admet uniquement

    \[x\]

et n'admet pas de

    \[x^2, x^3, ...\]

Par exemple,

    \[x^5-x^3+4x^2-2\]

est une équation de degré 5 et

    \[x+y+z=0\]

est une équation à trois inconnues.

Une équation de droite, qui est de la forme

    \[y=ax+b\]

où a et b des réels, est une équation de degré 1 à deux inconnues : x et y. Une équation de cercle, qui est de la forme

    \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]

où a,b,r des réels avec r le rayon de cercle, est une équation de degré 2 à deux inconnues : x et y.

Nous avons appris précédemment à résoudre les équations de degré 1 à une inconnue  :

    \[2x+3=5\]

    \[2x=5-3\]

    \[2x=2\]

    \[x=\frac{2}{2}\]

    \[x=1\]

Les équations de degré 1 à une inconnue admettent une unique solution. Il n'existe qu'une seule valeur pour laquelle l'égalité est vraie.

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Définitions et propriétés sur les systèmes

Qu'est ce qu'un système d'équation ?
Définissons ce qu'est un système d'équations à deux inconnues.

Un système d'équations est un ensemble d'équations utilisant les mêmes variables. Un système peut être résolu s'il y a au moins autant d'équations que d'inconnues.

Nous allons donc apprendre à résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

Par exemple,

    \[\begin{cases}2x+3y = 0\\4x+y=5\end{cases}\]

Pour cela deux méthodes sont possibles : la méthode par substitution et la méthode par combinaison.

Méthode par substitution :

Commençons par essayer de résoudre ce système par la méthode de substitution. Elle consiste à isoler l'une des variable, à l'exprimer en fonction de l'autre, puis de remplacer dans la deuxième équation. Regardons ce que cela donne :

    \[\begin{cases}2x+3y = 0\\4x+y=5\end{cases}\]

On isole x dans la première équation :

    \[\begin{cases}2x = -3y\\4x+y=5\end{cases}\]

    \[\begin{cases}x = \frac{-3}{2}y\\4x+y=5\end{cases}\]

On remplace alors la valeur trouvée pour x dans la seconde équation :

    \[\begin{cases}x = \frac{-3}{2}y\\4(\frac{-3}{2}y)+y=5\end{cases}\]

    \[\begin{cases}x = \frac{-3}{2}y\\-6y+y=5\end{cases}\]

    \[\begin{cases}x = \frac{-3}{2}y\\-5y=5\end{cases}\]

    \[\begin{cases}x = \frac{-3}{2}y\\y=-1\end{cases}\]

Maintenant que l'on a trouvé y, on remplace sa valeur dans la première équation :

    \[\begin{cases}x = \frac{-3}{2}\times (-1)\\y=-1\end{cases}\]

    \[\begin{cases}x = \frac{3}{2}\\y=-1\end{cases}\]

La solution de l'équation est le couple

    \[(\frac{3}{2},-1)\]

Le choix de la variable à isoler est libre. Dans ce système, on aurait pu choisir d'isoler y dans la deuxième équation (ce qui est simple car y n'admet aucun facteur devant lui). Cela donne :

    \[\begin{cases}2x+3y = 0\\y=5-4x\end{cases}\]

On remplace alors la valeur de y dans la première équation :

    \[\begin{cases}2x+3(5-4x) = 0\\y=5-4x\end{cases}\]

    \[\begin{cases}2x+15-12x = 0\\y=5-4x\end{cases}\]

    \[\begin{cases}15-10x = 0\\y=5-4x\end{cases}\]

    \[\begin{cases}15=10x\\y=5-4x\end{cases}\]

    \[\begin{cases}x=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\\y=5-4x\end{cases}\]

Maintenant que l'on a trouvé x, on remplace sa valeur dans la seconde équation :

    \[\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=5-4\times \frac{3}{2}=5-6=-1\end{cases}\]

On retrouve bien la même solution qui est

    \[(\frac{3}{2},-1)\]

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Méthode par combinaison :

Comment résoudre un système ?
Passons maintenant à la seconde méthode pour apprendre à résoudre un système de deux équation à deux inconnues : la méthode par combinaison.

La deuxième méthode pour résoudre un système consiste à multiplier ou diviser les équations afin que l'une des inconnues est le même nombre qui la multiplie dans chacune des deux équations. On pourra alors soustraire les deux équations afin d'éliminer l'une des inconnues et trouver la valeur de la seconde inconnue.

Regardons un exemple en reprenant notre système de départ :

    \[\begin{cases}2x+3y = 0\\4x+y=5\end{cases}\]

Deux solutions s'offre à nous : multiplier la première équation par 2, afin que, dans chaque équation, on est bien le chiffre "4" devant le "x", ou bien multiplier la deuxième équation par 3 afin que, dans chacune des équations, on est le chiffre "3" dans le "y".

Essayons la première solution :

    \[\begin{cases}2(2x+3y) = 2\times 0\\4x+y=5\end{cases}\]

    \[\begin{cases}4x+6y =0\\4x+y=5\end{cases}\]

On soustraie maintenant la première équation par la deuxième :

    \[4x-4x+6y-y=0-5\]

    \[5y=-5\]

    \[y=-1\]

Il ne reste plus qu'a remplacer la valeur de y dans l'une des deux équations :

    \[2x+3\times (-1) = 0\]

    \[2x=3\]

    \[x=\frac{3}{2}\]

La solution du système est

    \[(\frac{3}{2},-1)\]

Lorsqu'il est facile de trouver un facteur multiplicatif, la méthode par combinaison est plus simple et plus rapide.

Récapitulons les étapes des deux méthodes dans un tableau :

Résoudre un systèmePar substitutionPar combinaison
Etape 1Isoler l'une des variables dans l'une des équations.Multiplier les équations afin que l'une des variables est le même facteur dans chaque équation.
Etape 2Remplacer la valeur obtenue pour cette variable dans l'autre équation et la résoudre.Soustraire les deux équations afin d'obtenir une équation à une inconnue et résoudre.
Etape 3Déterminer la seconde variable.Déterminer la seconde variable.

 

Exercices d'applications sur les systèmes d'équations

Comment déterminer les inconnues dans une équation ?
Regardons à présent des exemples d'applications.

Exercice 1 :

Lucie achète deux croissants et un pain au chocolat. Elle paie 2 euros 10. Dans la même boulangerie, Jeremy achète un croissant et trois pains au chocolat, il paie 3 euros 05. Combien coûte un croissant et combien coute un pain au chocolat dans cette boulangerie ?

Pour le savoir nous aurons besoin de résoudre un système d'équations. Ici on cherche deux "choses" différentes, le prix du croissant et le prix du pain au chocolat. On a donc besoin de deux inconnues. On pose alors x = "le prix d'un croissant" et y = "le prix d'un pain au chocolat". Il va falloir déterminer x et y à l'aide d'un système.

On écrit maintenant les équations qui correspondent au problème. Lucie achète deux croissants et un pain au chocolat pour 2,10 euros ce qui donne l'équation

    \[2x+y=2,10\]

Jeremy achète un croissant et trois pains au chocolat pour 3,05 euros ce qui donne l'équation

    \[x+3y=3,05\]

C'est un système de deux équations à deux inconnues.

    \[\begin{cases}2x+y=2,10\\x+3y=3,05\end{cases}\]

On résout le système. Il y a 2 méthodes pour cela, nous présenterons ici les deux méthodes.

Commençons par substitution :

    \[\begin{cases}2x+y=2,10\\x+3y=3,05\end{cases}\]

On choisi par exemple d'isoler le y dans la première équation.

    \[\begin{cases}y=2,10-2x\\x+3y=3,05\end{cases}\]

On remplace la valeur de y dans la seconde équation.

    \[\begin{cases}y=2,10-2x\\x+3(2,10-2x)=3,05\end{cases}\]

    \[\begin{cases}y=2,10-2x\\x+6,30-6x=3,05\end{cases}\]

    \[\begin{cases}y=2,10-2x\\-5x=3,05-6,30\end{cases}\]

    \[\begin{cases}y=2,10-2x\\x=\frac{-3,25}{-5}=0,65\end{cases}\]

Maintenant que l'on a déterminé x, on peut trouver y.

    \[\begin{cases}y=2,10-2\times 0,65=0,80\\x=0,65\end{cases}\]

Ainsi, un croissant coûte 0,65 euros et un pain au chocolat coûte 0,80 euros.

Résolvons cette fois le système par combinaison :

    \[\begin{cases}2x+y=2,10\\x+3y=3,05\end{cases}\]

On multiplie la deuxième équation par 2 :

    \[\begin{cases}2x+y=2,10\\2x+6y=6,10\end{cases}\]

On soustraie la première équation par la deuxième :

    \[2x-2x+y-6y=2,10-6,10\]

    \[-5y=-4\]

    \[y=0,80\]

Maintenant que l'on a trouvé y, il suffit de déterminer x grâce à la première équation.

    \[2x+0,80=2,10\]

    \[2x=1,30\]

    \[x=0,65\]

On trouve bien la même solution ! Un croissant coûte 0,65 euros et un pain au chocolat coûte 0,80 euros.

Exercice 2 :

Comment déterminer l'intersection de deux droites ?
Terminons avec un dernier exercice avec cette fois une application géométrique.

On cherche à déterminer le point d'intersection des deux droites suivantes :

    \[y=3x-4\]

et

    \[y=-2x+1\]

Les deux droites s'intersectent au point qui vérifie les deux équations. Pour cela, il nous suffit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

    \[\begin{cases}y=3x-4\\y=-2x+1\end{cases}\]

y étant exprimer en fonction de x dans les deux cas, on peut soustraire la deuxième équation à la première :

    \[y-y=3x+2x-4-1\]

On obtient alors

    \[0=5x-5\]

c'est à dire

    \[x=\frac{5}{5}=1\]

Il suffit maintenant de réutiliser l'une des équations pour déterminer y :

    \[y=3-4=-1\]

Donc le point d'intersection de ses deux droites est le point (1,-1).

Remarquons qu'il y a bien une unique solution au système ce qui est tout à fait cohérent avec le fait que deux droites non parallèles s'intersectent en un unique point. De plus, il n'est pas nécessaire de réaliser un système, nous aurions pu résoudre plus simplement

    \[3x-4=-2x+1\]

, mais l'idée de départ reste la même : déterminer un point qui vérifie les deux équations.

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Elise

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