Tous les exemples donnés font références au cube ABCDEFGH ci-dessous :

Détermination d'un plan

Un plan est déterminé de façon unique par :

  • trois points A, B et C non alignés ; on le note (ABC).
  • un droite d et un point A n'appartenant pas à d.
  • deux droites sécantes d et d'.

Définitions

  • On dit que des éléments (des points ou des droites) sont coplanaires lorsqu'ils sont situés dans un même plan.

Exemples :

F, D, B et H sont coplanaires ; (EF) et (DC) sont coplanaires.

  • Deux plans sont dits parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants : ainsi, soit ils sont confondus, soit ils n'ont pas de point d'intersection.

Exemple :

(ADE) et (BCF) sont parallèles.

  • Un plan et une droite sont dits parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants : ainsi soit la droite est incluse dans les plan, soit la droite n'a pas de point d'intersection avec le plan.

Exemple :

(EG) et (ABC) sont parallèles.

  • Deux droites de l'espace sont parallèles lorsqu'elle sont coplanaires et ne sont pas sécantes.

Remarque :

Deux droites parallèles distinctes d et d' déterminent un plan.

Positions relatives de plans et de droites de l'espace

Positions relatives de deux plans

Dans l'espace, deux plans peuvent être :

  • sécants ; leur intersection est une droite ;

Exemple :

(ADF) et (ABC) sont sécants suivant (AD).

  • parallèles, leur intersection est soit vide (plans disjoints), soit égale à l'un des plans (plans confondus)

Positions relatives d'une droite et d'un plan.

Dans l'espace, une droite et un plan peuvent être :

  • sécants ; leur intersection est un point

Exemple :

(EBG) et (DF) sont sécants.

  • parallèles ; leur intersection est :
    • soit vide (la droite est strictement parallèle au plan),
    • soit égale à la droite (la droite est contenue dans le plan).

Positions relatives de deux droites

Dans l'espace, deux droites peuvent être :

  • coplanaires, on retrouve alors les positions relatives de deux droites dans le plan (sécantes, confondues ou strictement parallèles)
  • non coplanaires, leur intersection est vide mais elle ne sont pas parallèles.

Exemple :

(AE) et (BH) ne sont pas coplanaires.

Remarque :

Dans l'espace, si deux droites ne sont pas sécantes alors elles sont soit parallèles, soit non coplanaires.

Incidence et parallélisme

Théorème 1 :

Il existe une droite et une seule passant par un point donné et parallèle à une droite donnée.

Exemple :

La droite parallèle à (AD) passant par F est (FG).

Théorème 2 :

Il existe un plan et un seul passant pas un point donné et parallèle à un plan donné.

Exemple :

Le plan parallèle à (ABC) passant par F est (EFG).

Théorème 3 :

Si deux droites sont parallèles alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

Exemple :

(AD) est parallèle à (BC), et (BC) est parallèle à (FG) donc (AD) et (FG) sont parallèles.

Théorème 4 :

Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

Théorème 5 :

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

Exemple :

(ABC) et (EFG) sont parallèles et (EBC) coupe (ABC) suivant (BC), donc (EBC) coupe (EFG) suivant une droite parallèle à (BC) ; comme E appartient à l'intersection, (EH) est donc la droite d'intersection de (EBC) avec (EFG).

Théorème 6 :

Si deux plans sécants sont parallèles à une droite d, alors leur droite d'intersection est parallèle à d.

Exemple :

(ADE) et (ABD) sont tous les deux parallèles à (FG) donc leur droite d'intersection (AD) est parallèle à (FG).

Théorème du toit :

Si deux plans sécants contiennent chacun une droite et si ces deux droites sont parallèles, alors la droite d'intersection des deux plans est parallèle à ces droites.

Théorème 7 :

Soit d une droite de l'espace et un plan. La droite d est parallèle au plan si et seulement s'il existe une droite d' du plan telle que d et d' soient parallèles.

Exemples :

  • sens direct : (EG) est parallèle à (ABC) donc il existe une droite de (ABC) parallèle à (EG).
  • sens indirect : (EH) est parallèles à (AD), or (AD) est incluse dans (ABD) donc (EH) est parallèle à (ABD).

Théorème 8 :

Deux plans sont parallèles si et seulement si l'un contient deux droites sécantes toute deux parallèles à l'autre plan.

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