Soit un dièdre d’angle α à l’intérieur duquel s’écoule un fluide parfait incompressible. Cet écoulement sera supposé irrotationnel et permanent.
On donne l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques :

On suppose que le potentiel des vitesses peut être mis sous la forme φ(r,θ) = f(r).g(θ)

Les parois étant de grande hauteur, on poura raisonner dans un plan z = cte.

1 - Etablir une équation différentielle satisfaite par φ. Déduire celle satisfaite par f et g.

Mettre cette équation sous la forme :

2 - Quelles sont a priori toutes les formes possibles pour g(θ) ?

3 - Chercher f sous la forme f(r) = C.r n et et donner l’expression de n en fonction de α.

4 - En déduire le champ des vitesses à l’intérieur du dièdre. Montrer que le module de la vitesse est indépendant de θ.

5 - Déterminer l’équation des lignes de courant. Tracer l’allure de ces lignes pour α = 3π/2.

Tracer l’allure des trajectoires des particules.

6 - Comment évolue le module de la vitesse d’une particule de fluide le long d’une ligne de courant pour α < π , et  α > π ? Vers quelle valeur tend ce module au voisinage de l’arête ?

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.