Chapitres
Le bloc 2 étudie les lois de l’électrostatique et quelques applications. Les calculs de champs doivent être motivés par l’utilisation de ces champs pour étudier des situations d’intérêt pratique évident. Ces calculs ne s’appuient sur la loi de Coulomb que pour des distributions de charges discrètes. Dans le cas des distributions continues, on se limite aux situations de haute symétrie permettant de calculer le champ par le théorème de Gauss et aux superpositions de champs ainsi obtenus. Cette rubrique permet aussi d’introduire et d’exploiter des analogies avec le champ gravitationnel qui a été étudié en PCSI dans le seul cas d’astres ponctuels.
Notion maîtresse
Électrostatique
Sous notion 1 et contenu
- Champ électrostatique
- Loi de Coulomb.
- Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle : relation E = - grad V.
- Principe de superposition.
- Circulation conservative du champ électrique et signification physique : énergie potentielle d’une charge q dans un champ E. Équation locale rot E = 0.
- Propriétés de symétrie.
- Théorème de Gauss et équation locale div E = ρ/ε0.
- Propriétés topographiques.
Capacités exigibles
- Citer l’ordre de grandeur du champ créé par le noyau sur l’électron dans un atome d’hydrogène.
- Associer la circulation de E au travail de la force qE.
- Utiliser le théorème de Stokes. Associer les propriétés locales rot E = 0 dans tout l’espace et E = -grad V.
- Associer la relation E = - grad V au fait que les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants.
- Exploiter les propriétés de symétrie des sources (translation, rotation, symétrie plane, conjugaison de charges) pour prévoir des propriétés du champ créé.
- Choisir une surface adaptée et utiliser le théorème de Gauss.
- Justifier qu’une carte de lignes de champs puisse ou non être celle d’un champ électrostatique ; repérer d’éventuelles sources du champ et leur signe.
- Associer l’évolution de la norme de E à l’évasement des tubes de champ loin des sources.
- Déduire les lignes équipotentielles d’une carte de champ électrostatique, et réciproquement.
- Évaluer le champ électrique à partir d’un réseau de lignes équipotentielles.
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Sous notion 2 et contenu
- Exemples de champs électrostatiques
- Dipôle électrostatique.
- Moment dipolaire
- Potentiel et champ créés.
- Actions subies par un dipôle placé dans un champ électrostatique d’origine extérieure: résultante et moment.
- Énergie potentielle d’un dipôle rigide dans un champ électrostatique d’origine extérieure.
- Approche descriptive des interactions ion- molécule et molécule-molécule.
- Dipôle induit.
- Polarisabilité.
- Plan infini uniformément chargé en surface.
- Condensateur plan modélisé par deux plans parallèles portant des densités superficielles de charges opposées et uniformes.
- Capacité.
- Densité volumique d’énergie électrostatique.
- Noyau atomique modélisé par une boule uniformément chargée : énergie de constitution de la distribution.
Capacités exigibles
- Décrire les conditions de l’approximation dipolaire.
- Établir l’expression du potentiel V.
- Comparer la décroissance avec la distance du champ et du potentiel dans le cas d’une charge ponctuelle et dans le cas d’un dipôle.
- Tracer l’allure des lignes de champ.
- Utiliser les expressions fournies de l’énergie potentielle Ep, de la résultante F et du moment M.
- Prévoir qualitativement l’évolution d’un dipôle dans un champ d’origine extérieure E.
- Expliquer qualitativement la solvatation des ions dans un solvant polaire.
- Expliquer qualitativement pourquoi l’énergie d’interaction entre deux molécules polaires n’est pas en 1/r3.
- Exprimer la polarisabilité d’un atome en utilisant le modèle de Thomson.
- Associer la polarisabilité et le volume de l’atome en ordre de grandeur.
- Établir l’expression du champ créé.
- Établir l’expression du champ créé.
- Déterminer la capacité du condensateur.
- Citer l’ordre de grandeur du champ disruptif dans l’air.
- Associer l’énergie d’un condensateur apparue en électrocinétique à une densité volumique d’énergie.
- Exprimer l’énergie de constitution du noyau à un préfacteur numérique près par analyse dimensionnelle.
- Obtenir le préfacteur numérique en construisant le noyau par adjonction progressive de charges apportées de l’infini.
- Relier les ordres de grandeur mis en jeu : rayons et énergies. Justifier la nécessité de l’interaction forte.
Sous notion 3 et contenu
- Analogies avec le champ gravitationnel
- Analogies formelles entre champ électrostatique et champ gravitationnel.
Capacités exigibles
En cour de physique chimie, mettre en évidence les analogies formelles entre les forces électrostatique et gravitationnelle pour en déduire l’analogie des propriétés des champs.
Rappels associés au programme
La densité volumique d'énergie
On définit la densité d'énergie comme l'énergie présente par unité de volume en un point. Aussi appelée densité énergétique, elle sert à travailler sur des phénomènes physiques complexes comme la cosmologie ou encore la relativité générale, sans oublier l'électromagnétisme et la mécanique.
Fonctionnement de la densité d'énergie
La densité d'énergie est expliquée par des phénomènes physiques dictés par plusieurs équations dont celles de Maxwell-Gauss.
Équations de Maxwell-Gauss
James Clerk Maxwell est un physicien d’origine écossaise. Toute sa vie il a travaillé sur les champs électriques et magnétiques et il a également contribué à l’élaboration de nombreuses lois physiques dans son domaine. Il est considéré comme l’un des scientifiques les plus influents du XIXème siècle.
Les équations de Maxwell-Gauss, aussi connues sous le noms d’équations de Maxwell-Lorenz sont des équations fondamentales de la physique. En effet, ces sont elles qui régissent l’électromagnétisme. Elles tiennent leur nom du physicien James Clerk Maxwell d’origine écossaise. Toute sa vie il a travaillé sur les champs électriques et magnétiques et il a également contribué à l’élaboration de nombreuses lois physiques dans son domaine. Il est considéré comme l’un des scientifiques les plus influents du XIXèmesiècle. Elle réunit sous la forme d’équations intégrales des lois déjà connues telles que celles de théorèmes de Gauss, Ampère et Faraday. Les équation de Maxwell sont essentielles puisqu’elles démontrent qu’en régime stationnaire, les champs électrique et magnétiques sont indépendants l’un de l’autre, ce qui n’est pas nécessairement le cas lorsque l’on se trouve en régime variable. En effet, dans le cas le plus général, il faut alors parler du champ électromagnétique puisque la séparation entre l’électrique et le magnétique n’est qu’un aspect visualisé par l’Homme.
Notions importantes à retenir
- L'énergie reçue pendant un intervalle de temps par un condensateur dans un circuit électrique est l'intégrale de la puissance reçue sur cet intervalle de temps ;
- Il faut fournir de l'énergie car des charges sont amenées dans le condensateur à des potentiels non nuls ;
- Cette énergie est en fait l'énergie qu'il faut apporter pour créer le champ électrique dans le condensateur ;
- L'énergie stockée dans un condensateur donc dans le champ électrique est récupérable, il s'agit donc d'une énergie potentielle.
Densité d'énergie et électromagnétisme
La planète Terre possède un champ magnétique. Celui-ci est essentiel pour de nombreuses espèces vivantes. Par exemple, les pigeons voyageurs repèrent le nord terrestre grâce à des particules ferreuses (ferrite) présentes au dessus de leur bec provoquant une coloration violette dans leur champ de vision au niveau du nord.
Quelques formules à connaître
Il est possible de définir la densité d'énergie en électrostatique ainsi que la densité d'énergie en magnétostatique, le tout dans le vide, à l'aide des expressions suivantes : [ rho _ text { e s } = \frac { 1 } { 2 } times epsilon _ 0 times E ^2 ] [ rho _ text { m s } = \frac { B ^2 } { 2 mu _ 0 } ] Avec :
- E le module du champ électrique
- B le module du champ magnétique
- ε0 la permittivité du vide
- et µ0 la perméabilité du vide
Sachez également qu'il est possible de combiner ces formules afin d'obtenir l'expression suivante : [ rho _ text { E M } = \frac { 1 } { 2 } left( epsilon _ 0 times E ^2 + \frac { 1 } { mu _ 0 } times B ^ 2 right) ] Ainsi, lorsqu'il y a présence d'ondes électromagnétiques, il est possible d'utiliser ces expressions afin de calculer la densité d'énergie qui est associée à ces ondes. On peut alors facilement trouver la densité d'énergie d'un gaz de photon, notamment celle associée à un corps noir de température T en utilisant la formule suivante : [ rho _ text { C N } = \frac { pi ^2 } { 15 } \frac { left( k _ B times T right) ^ 4 } { left( h times c right) ^3 } ] Avec :
- kB la constante de Boltzmann
- h la constante de Placnk réduite
- Et c la vitesse de la lumière
Champs électrique et champs gravitationnel
Champ électrique
En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locales de l'espace défini sont alors modifiées ce qui permet de définir la notion de champ.
En effet, si une autre charge se trouve être dans ledit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de ladite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz.
Cette force se décompose ainsi : [ overrightarrow { f } = q left ( overrightarrow { E } + overrightarrow { v } wedge overrightarrow { B } right) ] Avec :
- [ overrightarrow { E } ] le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge
- [ overrightarrow { B } ] le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.
De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes. Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.
On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacements des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.
Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.
Le champ électrique est donc une composante à part entière du champ électrostatique, mais aussi du champ électromagnétique !
Le champ électromagnétique
En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen. On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante : [ overrightarrow { f } = q left ( overrightarrow { E } + overrightarrow { v } wedge overrightarrow { B } right) ]
Avec : [ overrightarrow { E } ] le champ électrique.
Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge [ overrightarrow { B } ] le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi. En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.
De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante. D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique. La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.
Le champ électrostatique
On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.
Champ gravitationnel
En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tous les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non. On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien. En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle. On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable. On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.
Principe de l'analogie
- L'analogie repose sur la similitude des lois de Coulomb (électromagnétisme) et loi de Newton (gravitation).
- Il est souvent inutile de faire les calculs de champs gravitationnels à partir de répartitions de masses, on procède plutôt par analogie avec les résultats connus de l'électrostatique.
La force d'interaction gravitationnelle, tout comme la force d'interaction électrostatique, est une force conservative. Ainsi, elles représentent toutes les deux le gradient d'une énergie potentielle. Dans ce cas, il est alors possible d'adapter absolument tous les calculs de champ et de potentiel étudiés dans le cadre du cours sur la distribution de masses dans le but de calculer le champ et le potentiel gravitationnels en un point définis de l'espace. Il en va de même avec le théorème de Gauss.
Remarque
Il peut être intéressant de mentionner que la force électrique fondamentale, également appelée force de Coulomb, peut être utilisée comme fondement de l'électrostatique. Ainsi, on peut déduire de ce fondement le théorème de Gauss. C'est donc pour cela que l'on peut dire que la ressemblance formelle, c'est-à-dire les similarités des formules mathématiques, entre la force de Coulomb et la force gravitationnelle est une base solide permettant de fonder l'analogie entre les deux classes de phénomènes énoncés dans ce cours. Ainsi, à partir de la force de Coulomb et par superposition, on peut être capable d'établir des expressions intégrales du champ électrique en fonction de la distribution de charge. Bien que ces calculs soient trop complexes pour être utiles dans les calculs analytiques, ils peuvent être très utiles afin de déterminer un champ électrique par résolution numérique, c'est-à-dire par ordinateur. Notons qu'il est possible de démontrer ces formules en utilisant le théorème de superposition.
La loi de Coulomb
Coulomb, un physicien français, a établi en 1758 que le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :
- La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
- Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
- Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.
Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 : [ overrightarrow{ f _ { e } } = \frac { 1 } { 4 pi epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } }{ r ^ { 2 } } overrightarrow { e _ { r } } ] Avec :
- [ overrightarrow { e _ { r } } ] le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2
- [ epsilon _ { 0 } ] la permittivité diélectrique du vide
Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare. Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante : [ \begin{cases} overrightarrow { f } = q _ { 2 } left[ \frac { 1 } { 4 pi epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } overrightarrow { e _ { r } } right] = q _ { 2 } overrightarrow { E } overrightarrow{ E } = \frac { 1 } { 4 pi epsilon }frac { q _ { 1 } } { r ^ { 2 } }overrightarrow { e _ { r } } \end{cases} ] Avec :
- [ overrightarrow { E } ] un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2
Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q1, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.
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