Ecriture et signification d'une puissance de dix

Ecriture d'une puissance de dix

Un nombre correspondant à une puissance de dix s'écrit sous la forme 10a où a est un nombre relatif (c'est à dire un nombre entier qui peut être soit positif, soit négatif).

Ce nombre (10a) peut se lire de deux façons différentes : "10 puissance a" ou "10 exposant a".

Quelques exemples de puissances de dix : 102 ; 1036 ; 10-5

Signification d'une puissance de dix

Lorsque l'exposant (a) est positif, alors la puissance de dix 10a correspond au nombre 1 suivi d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a.

Quelques exemples :

  • 103 correspond au nombre 1 suivi de 3 zéros donc 103 = 1 000
  • 105 correspond au nombre 1 suivi de 5 zéros donc 105 = 100 000

Lorsque l'exposant (a) est négatif, alors la puissance de dix 10a correspond à un nombre décimal s'écrivant avec le chiffre 1 précédé d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a, le premier zéro se trouvant à gauche de la virgule.

Quelques exemples :

  • 10-3 correspond au nombre 1 précédé de 3 zéros donc 10-3 = 0,001
  • 10-5 correspond au nombre 1 précédé de 5 zéros donc 10-5 = 0,00001
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Méthode d'écriture d'un nombre sous forme d'une puissance de dix

Quelle est la méthode à suivre ?

Cette écriture n'est possible que pour des nombres qui ne sont composés que d'un seul chiffre "1" accompagné d'un ou plusieurs "0"

Cas où le nombre N est un entier
  • Etape 1 : compter le nombre de zéro qui suivent le chiffre "1". On notera ce nombre "b".
  • Etape 2 : écrire sous forme d'une puissance de dix, que l'on peut alors écrire sous la forme N = 10b

En résumé:
Ecrire un nombre entier sous forme de puissance de 10
Quelques exemples d'application de la méthode :

Exemple 1 : 10000

  • 10000 comporte quatre chiffres zéro, soit b = 4
  • ainsi, 1000 =  104

Exemple 2 : 1 000 000 000

  • 1 000 000 000 comporte neuf chiffres zéro, soit b = 9
  • donc 1 000 000 000 = 109
Cas où le nombre N est un décimal inférieur à 1
  • Etape 1 : compter le nombre de zéro qui précèdent le chiffre "1". On notera ce nombre "b"
  • Etape 2 : écrire sous forme d'une puissance de dix, que l'on peut alors écrire sous la forme N = 10-b

En résumé:
Ecrire un nombre décimal sous forme de puissance de 10
Quelques exemples :

Exemple 1 : 0,0001

  • Etape 1 : 0,0001 comporte quatre chiffres zéro, soit b = 4
  • Etape 2 : ainsi 0,0001 = 10-4

Exemple 2 : 0, 000000001

  • Etape 1 : 0,000000001 comporte neuf chiffres zéro, soit b = 9
  • Etape 2 : donc 0,000000001 = 10-9

Valeur des premieres puissances de dix

Le tableau ci-dessous reprend l'écriture des puissances de dix allant de 10 puissance -10 à 10 puissance 10 :

10 puissance 10 : 1010 = 10 000 000 000
10 puissance 9 : 109 = 1 000 000 000
10 puissance 8 : 108 = 100 000 000
10 puissance 7 : 107 = 10 000 000
10 puissance 6 : 106 = 1 000 000
10 puissance 5 : 105 = 100 000
10 puissance 4 : 104 = 10 000
10 puissance 3 : 103 = 1 000
10 puissance 2 : 102 = 100
10 puissance 1 : 101 = 10
10 puissance 0 : 100 = 1
10 puissance -1 : 10-1 = 0,1
10 puissance -2 : 10-2 = 0,01
10 puissance -3 : 10-3 = 0,001
10 puissance -4 : 10-4 = 0,0001
10 puissance -5 : 10-5 = 0,00001
10 puissance -6 : 10-6 = 0,000001
10 puissance -7 : 10-7 = 0,0000001
10 puissance -8 : 10-8 = 0,00000001
10 puissance -9 : 10-9 = 0,000000001
10 puissance -10 : 10-10 = 0,0000000001

Remarques :

  • 100 = 1 donne tout simplement le chiffre 1
  • l'utilisation des puissances de dix devient clairement intéressante dès que les valeurs manipulées sont très grandes ou très petites.

Les préfixes associés à des puissances de dix

Les préfixes qui permettent des définir les multiples et sous-multiples d'une unité de base sont tous associés à des puissances de dix.

Le tableau ci-dessous reprend les préfixes les plus connus et les puissances de dix qui leur sont associées :

Préfixe des multiples d'unité de base
Préfixes des sous-multiples d'unité de base
101 da (déca) 10-1 d (déci)
102 h (hecto) 10-2 c (centi)
103 k (kilo) 10-3 m (milli)
106 M (méga) 10-6 µ (micro)
109 G (giga) 10-9 n (nano)
1012 T (tera) 10-12 p (pico)
1015 P (peta) 10-15 f (femto)
1018 E (exa) 10-18 a (atto)
1021 Z (zetta) 10-21 z (zepto)
Quelle est la dimension de ces particules ?
Pour manipuler des valeurs très petites telles que les dimensions des nanoparticules, on privilégiera l'utilisation du préfixe "nano" ou la notation sous forme de puissances de dix (ci-dessus, extrait d'une analyse de nanoparticules de dioxyde de silicium)

Quelques règles de calculs faisant intervenir des puissances de dix

Multiplications faisant intervenir des puissances de dix

Lors d'une multiplication entre deux puissances de dix, les chiffres se trouvant en exposant sont tout simplement additionnés. Cela suit donc la règle suivante :


10a x 10b = 10a+ b


Quelques exemples d'applications :

Exemple 1 : 102 x 106 = 102+ 6 = 108 (car 2 + 6 = 8)

Exemple 2 : 10 -2 x 10 6 = 10 -2+ 6 = 10 4 (car -2 + 6 = 4)

Exemple 3 : 10-2 x 10-6 = 10 -2+(- 6) = 10 -2 -6 = 10 -8  (car -2 - 6 = -8)

Cas des puissances de dix élevées à un exposant

Lorsqu'une puissance de dix est élevée à un exposant, l'exposant de la puissance de dix est lui même multiplié par l'exposant auquel est élevée la puissance de dix. Cela suit donc la règle suivante :


(10 a )b = 10 a x b


Quelques exemples d'applications :

Exemple 1 : (10 3)2 = 10 3 x 2 = 10 6

Exemple 2 : (10 -3 )2 = 10 (-3) x 2 = 10 -6

Exemple 3 : (10 -3 )-2 = 10 (-3) x (-2) = 10 6

Divisions faisant intervenir des puissances de dix

Lors d'une division entre deux puissances de dix, il s'agit de soustraire l'exposant de la puissance de dix se trouvant au dénominateur à l'exposant de la puissance de dix se trouvant au numérateur. Cela suit donc la règle suivante :

10 a / 10 b = 10 a - b


Quelques exemples d'applications :
Exemple 1 : 10 2 / 10 6 = 10 2 -  6 = 10 -4
Exemple 2 : 10 -2 : 10 6 = 10 -2- 6 = 10 -8
Exemple 3 : 10 -2 : 10 -6 = 10 -2-(- 6) = 10 -2 + 6 = 10 4

Cas des inverses de puissances de dix

Lorsqu'il s'agit de calculer l'inverse d'une puissance de dix, il s'agit tout simplement de prendre l'opposé du chiffre se trouvant en exposant de la puissance de dix. Cela suit donc la règle suivante :

    \[\frac{1}{10^{a}} = 10^{-a}\]


Quelques exemples d'applications :
Exemple 1 :   

    \[\frac{1}{10^{5}} = 10^{-5}\]

Exemple 2 :   

    \[\frac{1}{10^{-5}} = 10^{-(-5)} = 10^{5}\]

Applications des puissances de dix

Ecriture scientifique des valeurs

Ainsi, l'ensemble des exemples cités dans ce chapitre montrent clairement l'un des grands intérêts de l'utilisation des puissances de dix : elles permettent de simplifier l'écriture de très grandes valeurs ou de très petites valeurs. Ainsi, elles apportent un gain de temps considérable dans l'écriture des petites et grandes valeurs, et limitent également le risque d'erreur lors de la manipulation de ces données.

Par conséquent, elles sont très utilisées lorsqu'il s'agit d'exprimer une grandeur en notation scientifique. L'écriture en notation scientifique consiste tout simplement à écrire une valeur sous la forme : a*10 b

  • a est un nombre compris entre 0 et 10 (0 ≤ a < 10)
  • b est un entier relatif
Pourquoi est-il préférable d'utiliser la notation scientifique pour évoquer les distances dans l'univers ?
Pour évoquer certaines distances, telles que les distances dans l'univers, il sera parfois préférable d'adopter la notation scientifique

Estimation d'un ordre de grandeur

Par ailleurs, elles présentent également un intérêt pour exprimer un ordre de grandeur. En effet, plutôt que de donner une valeur précise, on estime un ordre de grandeur pour cette valeur en lui attribuant la puissance de dix la plus proche.

En reprenant l'écriture de la notation scientifique : a*10 b

  • Si 0 ≤ a < 5 alors l'ordre de grandeur de a*10 b est 10 b
  • Si 5 ≤ a < 10 alors l'ordre de grandeur de a*10 b est 10 b+1

Prenons l'exemple du rayon du soleil : 695 700 km.

695 700 km = 6,957 *105 km = 6,957*108 m

L'ordre de grandeur pour le rayon du soleil sera 109 m.

Quel est l'ordre de grandeur du rayon du soleil ?
Le rayon du soleil est égal à 695 700 km soit 6,957*10^(9) mètres.

Remarques :

  • on pourra conclure que deux valeurs sont du même ordre de grandeur si le quotient entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite donne un résultat compris entre 1 et 10
  • pour comparer deux valeurs, veiller à ce qu'elles soient converties dans la même unité.
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Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).