Eléments de base à propos des trajectoires

Définition d'une trajectoire

  • Définition simplifiée : la trajectoire est le chemin suivi par un point lors de son déplacement.
  • Définition précise : la trajectoire est la courbe formée par l'ensemble des positions prises par un point au cours de son mouvement.

Remarque : la notion de "trajectoire" est définie pour un point et non pour un objet complet car rien n'implique que ses différents points aient des trajectoires identiques.

Trajectoire et référentiel

La trajectoire d'un point dépend du référentiel choisi pour étudier son mouvement, il faut donc toujours préciser le référentiel par rapport auquel est décrite une trajectoire.

Exemple n°1 : si le voyageur d'un train (qui avance en ligne droite à vitesse constante) jette une balle en l'air (verticalement) alors :

  • Dans le référentiel du train, le centre de la balle décrit une trajectoire rectiligne.
  • Dans le référentiel terrestre le centre de la balle décrit une courbe parabolique

Exemple n°2 : lorsqu'un vélo roule en ligne droite à vitesse constante, alors la valve de son pneu avant :

  • Possède une trajectoire circulaire dans le référentiel du centre de la roue avant.
  • Décrit une courbe appelée cycloïdale dans le référentiel terrestre.

Objet en translation rectiligne

Un système possède un mouvement de translation rectiligne si, à chaque instant de ce mouvement, l'ensemble de ses points sont caractérisés par des vitesses identiques : même direction et même valeur.

La vitesse peut varier au cours du temps mais de la même manière pour tous les points du système qui conservent simultanément la même vitesse.

Si un système possède un mouvement de translation rectiligne, alors tous ses points possèdent la même trajectoire, mais pour tout autre type de mouvement les différents points du système possèdent des trajectoires différentes.

Quelques exemples de systèmes en translation rectiligne :

  • Une voiture qui circule sur une route en ligne droite
  • Une nacelle de grande roue
  • Une cabine de téléphérique

 

Quelle est le mouvement des points d'une voiture sur cette route droite ?
Dans le référentiel terrestre, tous les points d'une voiture sur cette route sont animés d'un mouvement rectiligne

 

Trajectoire et mouvement

La trajectoire n'est qu'un paramètre du mouvement car celle-ci peut être parcourue à des vitesses ou dans des sens différents. Elle ne suffit donc pas, à elle seule, pour décrire un mouvement.

Lorsqu'on demande de décrire le mouvement d'un système, il ne faut donc pas se contenter de décrire la trajectoire mais aussi fournir, si c'est possible, des indications sur le sens dans lequel la trajectoire est parcourue ainsi que sur la vitesse (qui peut rester constante, augmenter ou diminuer).

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Visualisation d'une trajectoire

La trajectoire que possède un système peut être devinée lorsque ce système modifie le milieu dans lequel il se déplace (empreinte dans le sable, trace dans la neige, traînée de liquide ou de fumée, marquage par point etc.) ou bien lorsque le mouvement est soumis à certaines contraintes (suivre une piste, des rails, un guidage etc.).

En l'absence d'empreinte, il est possible de visualiser une trajectoire grâce à des systèmes d'enregistrement :

  • vidéo,
  • capteur
  • ou encore chronophotographie.

Prévoir une trajectoire

Le principe d'inertie permet de prévoir que dans le cas particulier d'un système isolé ou pseudo-isolé (c'est à dire qui n'est soumis à aucune force ou bien est soumis à des forces qui se compensent), sa trajectoire est rectiligne.

D'une manière plus générale, la trajectoire d'un point peut être prévue en déterminant l'évolution de ses coordonnées au cours du temps.

Or, le vecteur coordonnée d'un point peut être défini comme une intégrale du vecteur vitesse, qui lui même peut être défini comme une intégrale du vecteur accélération.

Par conséquent, connaitre l'accélération d'un système ou alors sa vitesse, ainsi que les conditions initiales permet donc prévoir la trajectoire de ce système.  Pour cela, il suffit de faire appels aux lois du mouvement (en particulier la seconde loi de Newton aussi appelée principe fondamental de la dynamique) ou aux lois de conservation de l'énergie mécanique.

Quelques conséquences de la relation entre les vecteurs coordonnées, vitesse et accélération :

  • Un système dont le vecteur vitesse est constant et non nul (en sens, en direction et en valeur) a forcément une trajectoire rectiligne.
  • Un système dont le vecteur vitesse est constant en valeur mais pas en direction a forcément une trajectoire circulaire.
  • Un système dont le vecteur accélération est constant et non nul a une trajectoire qui est soit rectiligne, soit parabolique.

Etude de différentes trajectoires

La trajectoire rectiligne

 

Quelle est la forme de cette trajectoire ?
Schématisation d'une ligne droite

La trajectoire rectiligne possède la forme d'une ligne droite.

Quelques exemples de trajectoires rectilignes :

  • Le centre d'inertie d'un objet en chute libre dans le champ de la pesanteur terrestre.
  • Le centre d'inertie d'un objet qui glisse sur la glace d'une patinoire.
  • Une voiture qui roule sur portion de route en ligne droite.

 La trajectoire circulaire

 

Quelle est la forme de cette trajectoire ?
Schématisation d'un cercle

La trajectoire circulaire possède une forme de cercle ou d'arc de cercle.

Quelques exemples de trajectoires circulaires :

  • Le centre d'inertie d'un satellite de communication qui tourne atour de la Terre
  • Le centre d'inertie d'une voiture qui empreinte un rond point.
  • Un point de la surface terrestre dans le référentiel terrestre.

La trajectoire elliptique

 

Quelle est la forme de cette trajectoire ?
Schématisation d'une ellipse

La trajectoire elliptique possède, comme son nom l'indique, une forme d'ellipse.

Remarque : une ellipse est une sorte de cercle plus ou moins aplati.

La plupart des astres du système solaire ne possèdent pas une trajectoire rigoureusement circulaire mais plutôt une trajectoire elliptique.

C'est par exemple le cas de la Lune (dans le référentiel géocentrique), de la Terre ainsi que des autres planètes, ou encore des comètes (dans le référentiel héliocentrique).

 

Quel est le mouvement de la Lune dans le référentiel géocentrique ?
Dans le référentiel géocentrique, la Lune est animée d'un mouvement elliptique

 

La trajectoire parabolique

 

Quelle est cette trajectoire ?
Schématisation d'une trajectoire parabolique

La trajectoire parabolique possède une forme de parabole.

Remarque : schématiquement, on peut dire que la parabole ressemble à la forme d'une cloche.

Les systèmes lancés dans le champ de la pesanteur terrestre avec un vecteur vitesse initial non vertical possèdent une trajectoire parabolique.

Quelques exemples de trajectoires paraboliques :

  • Boulet de canon
  • Particules d'un jet d'eau
  • Balle renvoyée par un joueur de tennis

 

Quel est la trajectoire d'une balle de tennis lorsque deux joueurs s'échangent des balles ?
Lors d'un échange entre deux joueurs de tennis, la balle est animée d'un mouvement parabolique.

 

La trajectoire curviligne

 

Quelle est cette trajectoire ?
Schématisation de la trajectoire curviligne

On qualifie de de curviligne une trajectoire ayant la forme d'une courbe quelconque.

Quelques exemples de trajectoires curvilignes :

  • L'extrémité de la baguette d'un chef d'orchestre.
  • Le point d'un bobsleigh lancé sur une piste.
  • Un des points d'une voiture de montage russe.
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Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).