Avant tout chose, il est indispensable de produire un schéma sur la copie pour chaque exercice afin de faciliter la compréhension du correcteur.

Exercice 1

Dans tout l’exercice, on travaillera dans un Référentiel terrestre dit galiléen et dans le système R.

Que faut-il faire si on ne comprend rien à la mécanique physique ?
Le type de support, s'il existe, est important à prendre en compte car il peut provoquer des réactions particulières vis à vis de l'objet et de la trajectoire que l'on étudie.

Partie A

Commençons tout d’abord par un bilan des forces. Ici, M subit :

  •     \[ \overrightarrow { P } = m \times \overrightarrow { g } \]

    C’est-à-dire son poids qui correspond à une force conservative

  •     \[ \overrightarrow { R } \]

    C’est-à-dire la réaction perpendiculaire au support.

On peut alors définir le système S comme étant un système conservatif puisque la somme de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique donne une constante en sachant que

    \[ E _ p = - m \times g \times x + K \]

Ainsi, dans la partie AB du mouvement, on obtient

    \[ x = R _ 1 \times \cos \left( \theta \right) \]

  (origine de

    \[ \overrightarrow { ox } \]

  en C1). On obtient alors de façon triviale 

    \[ E _ c \left( \theta \right) + E _ p \left( \theta \right) = E _ c \left( E \right) + E _ p \left( E \right) = \frac { 1 }{ 2 } \times m \times v_0^2\]

Ainsi, puisque 

    \[ \overrightarrow{ C _ 1 M } = R _ 1 \overrightarrow{ u _ r } \space \text { et } \overrightarrow { v } = R _ 1 \times \theta\cdot \times \overrightarrow { u _ \theta } \]

donc

    \[ \begin{cases} E _ c = \frac { 1 } { 2 } \times m \times R _ 1 ^2 \times \theta \cdot ^ 2 \\ E _ p \left( E \right) = \frac { 1 } { 2 } \times m \times R _ 1 ^ 2 \times \theta \cdot _ 0 ^ 2 \end{cases} \]

Ainsi 

    \[ \frac { 1 } { 2 } \times m \times R _ 1 ^ 2 \times \theta \cdot ^ 2 - m \times g \times R _ 1 \times \cos \left( \theta \right) + K = \frac { 1 } { 2 } \times m \times R _ 1 ^ 2 \times \theta \cdot _ 0 ^ 2 - m \times g \times R _ 1 + K \]

et 

    \[ \theta \cdot ^ 2 = \theta \cdot _ 0 ^ 2 + \frac { 2 g } { R _ 1 } \times \left( \cos \left( \theta \right) - 1 \right) \]

En dérivant la relation déduite ci-dessus par rapport à t, on obtient alors

    \[ 2 \times \theta \cdot \times \theta \cdot \cdot = \frac { 2 g } { R _ 1 } \times \left( - \sin \left( \theta \right) \right) \times \theta \cdot \]

 c’est-à-dire

    \[ \theta \cdot \cdot + \frac { g } { R _ 1 } \times \sin \left( \theta \right) = 0 \]

.

On en déduit alors θ(t)

    \[ \theta \left( t \right ) = A \times \cos \left( w _ 0 \times t \right) + B \times \sin \left( w _ 0 \times t \right) \space \text { avec } w _ 0 = \sqrt \frac { g } { R _ 1 } \]

.

Or

    \[ \begin{cases} \theta \left( 0 \right) = 0 \\ \theta \cdot \left( 0 \right) = \theta \cdot _0 \end{cases} \]

d'où 

    \[ \begin{cases} 0 = A \\ \theta \cdot _0 = B \times w _ 0 \end{cases} \]

Donc 

    \[ \theta \left( t \right) = \frac { \theta \cdot _ 0 } { w _ 0 } \times \sin \left( w _ o \times t \right) \]

Que faire pour gagner un maximum de point aux examens ?
Il est important de répondre au problème posé progressivement, étape par étape, afin de permettre au correcteur de comprendre le raisonnement et de vous attribuer tout de même certains points si vos calculs sont faux mais la démarche correcte.

On va maintenant chercher à déterminer la valeur maximale de θ :

    \[ \theta _ \text { max } = \frac { \theta \cdot _ 0 } { w } \]

en sachant que 

    \[ \begin{cases}w_0 = 100 \space s ^ \text { - 1 } \\ T = \frac { 2 \times \pi } { w _ 0 } = 6,28 . 10 ^ \text { - 2} s \\ \theta _ \text { max } = 0,01 \space rad \end{cases} \]

et 

    \[ \sin \left( \theta \right) _ \text { max } = 9,999 . 10 ^ \text { - 3 } \]

donc 

    \[ \sin \left( \theta \right) _ \text { max } = \theta _ \text { max } \]

Sans oublier d’arrondir à deux chiffres après la virgule.

Partie B

    \[ \text { Soit } \space E _ p \left( \theta \right) = - m \times g \times x + K \]

    \[ \text { Pour } \space - \frac { \pi } { 2 } \leq \theta \leq \pi \space \text { on a } E _ p = - m \times g \times R _ 1 \times \cos \left( \theta \right) + K \]

    \[ \text { Et } \space E _ p \left( \pi \right) = 0 \space \text { donc } E _ p \left( \theta \right) = - m \times R _ 1 \times \left( 1 + \cos \left( \theta \right) \right) \]

    \[ \text { Pour } \space  \pi  \leq \theta \leq 2 \times \pi \space \text { et } x = \overline {C _ 1 H } + \overline { C _ 1 C _ 2} + \overline { C _ 2 H} = R _ 2 R _ 1 + R _ 2 \cos \left( \theta \right) \]

    \[ \text { on a } E _ p = - m \times g \times \left( R _ 1 - R _ 2 + R _ 2 \times \cos \left( \theta \right) \right) - m \times g \times R _ 1 \]

    \[ \text { donc } E _ p \left( \theta \right) = - m \times g \times R _ 2 \times \left( 1 + \cos \left( \theta \right) \right) \]

On a donc :

  • Si θ = 0 et θ = 2π on retrouve les valeurs minimales de l’énergie potentielle. Cela correspond donc aux positions d’équilibre stables.
  • Si θ = π on retrouve la valeur maximale de l’énergie potentielle. Cela correspond donc à une position d’équilibre instable.

    \[ \text { Soit } \space E _ c + E _ p = E _ m = \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ 0 ^ 2 - m \times g \times R _ 1 \space \text { avec } \space E _ c \left( A \right) = \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ 0 ^ 2 \space \text { et } \space E _ p \left( A \right) = - m \times g \times R _ 1 \]

Ainsi, si M effectue un trajet complet du point A à F si, pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 2π et pour une valeur de l’énergie cinétique positive. Cela signifie donc qu’il faut que le minimum de l’énergie cinétique soit supérieur à 0 pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 2π et donc que la valeur minimale de la différence de l’énergie mécanique par l’énergie potentielle est positive.

Ainsi, finalement, on retrouve comme conditions :

  •     \[ E _ \text { p max } \leq E _ m \]

  •     \[ 0 \leq \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ 0 ^ 2 - m \times g \times R _ 1 \]

  •     \[ v _ 0 \geq \sqrt { 2 \times g \times R _ 1 } \]

On peut alors déterminer vF

    \[ \text { En effet } \space \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ F ^ 2 - 2 \times m \times g \times R _ 2 = \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ 0 ^ 2 - m \times g \times R _ 1 \]

    \[ \text { Donc } \space v _ F = \sqrt { v _ 0 ^ 2 + 4 \times g \times R _ 2 - 2 \times g \times R _ 1 } \]

Ainsi, pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 5π/2

    \[ \text { on a } \space E _ p \leq E _ p \left( B \right) \]

    \[ \text { d'ou } \space E _ m - E _ p \left( B \right) \leq E _ m - E _ p \left( \theta \right) \]

    \[ \text { donc } \space E _ c \left( B \right) \leq E _ c \left( \theta \right) \]

Or, Ec (B) > 0 donc Ec (θ) > 0 sur tout le trajet de A vers S.

Ainsi, on a donc M qui parcourt entièrement le trajet de A vers S et qui quittera la piste en S.

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Exercice 2 : Jouons au Jokari !

Que faire si l'on est seul ?
Le jokari est un jeu similaire à la pelote basque. Ce jeu peut se pratiquer seul ou à deux à l'aide d'un équipement composé d'une balle en caoutchouc elle-même attachée à un socle par un élastique. Ainsi, la balle, après avoir été frappée avec une raquette en bois, revient ainsi vers le ou les joueurs comme si elle avait rebondi.

    \[ \text {Nous allons travailler dans un referentiel terrestre suppose galileen où } \space \left( o, \overrightarrow { o x } , \overrightarrow { o y } , \overrightarrow { o z } \right) \space \text {est lié à ce référentiel.}\]

Pour commencer, nous allons appliquer à la balle M, que nous assimilerons à un point matériel, le Principe Fondamental de la Dynamique (abrégé PFD).

    \[ \overrightarrow { P } + \overrightarrow { T } = m \times \overrightarrow { a } \]

    \[ \text { Avec } \space \begin{cases} \overrightarrow { P } = m \times \overrightarrow { g } \\ \overrightarrow { T } = - k \times \overrightarrow {OM } \space \text { la tension du fil } \end{cases} \]

    \[ \text { Donc } \space m \times \frac { \text{ d} ^ 2 \space \overrightarrow { O M } } { \text { d } t ^2 } = - k \times \overrightarrow { O M } + m \times \overrightarrow { g } \]

    \[ \text { Et } \space \frac { \text{ d} ^ 2 \space \overrightarrow { O M } } { \text { d } t ^2 } + \frac { k } { m } \times \overrightarrow { O M } = \overrightarrow { g } \]

Ainsi

    \[ \overrightarrow { O M } \]

 correspond donc à la somme de la solution générale de l’équation sans second membre

    \[ \text { Et } \space \frac { \text{ d} ^ 2 \space \overrightarrow { O M } } { \text { d } t ^2 } + \frac { k } { m } \times \overrightarrow { O M } = 0 \]

 et d’une solution particulière, d’où

    \[ \begin{cases} \overrightarrow { O M } = \overrightarrow { A } \times \cos \left( w \times t \right) + \overrightarrow { B } \times \sin \left( w \times t \right) + \frac { m } { A } \times \overrightarrow { g } \\ \text { avec } \space w = \sqrt { \frac { k } { m } } \end{cases} \]

.

    \[\text { Nous allons ensuite determiner } \space \overrightarrow { A } \text { et } \overrightarrow { B } \space \text { grâce aux conditions initiales : } \]

    \[ \begin{cases} \overrightarrow { O M } \left( 0 \right) = \overrightarrow { O M } _ 0 = h\overrightarrow { j } \\ \overrightarrow { v } \left( 0 \right) = \overrightarrow { v } _ 0 = v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) \times \overrightarrow { j } + v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) \times \overrightarrow { i } \end{cases} \]

    \[ \text { d'ou } \space \begin{cases} \overrightarrow { O M } _ 0 = \overrightarrow { A } + \frac { m } { k } \times \overrightarrow { g } \\ \overrightarrow { B } \times w = \overrightarrow { v } _ 0 \end{cases} \]

    \[ \text { et } \space \begin{cases} \overrightarrow { A } = \overrightarrow { O M } _ 0 - \frac { m } { k } \times \overrightarrow { g } \\ \overrightarrow { B } = \frac { \overrightarrow { v } _ 0 } { w } \end{cases} \]

    \[ \text { On obtient donc } \space \overrightarrow { O M } = \left( \overrightarrow { O M } _ 0 - \frac { m } { k } \times \overrightarrow { g } \right) \times \cos \left( w \times t \right) + \frac { \overrightarrow { v } _ 0 } { w } \times sin \left( w \times t \right) + \frac { m } { k } \times \overrightarrow { g } \]

En projetant sur les axes définis au début de l’exercice, on obtient

    \[ \begin{cases} x \left( t \right) = \frac { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } { w } \times \sin \left( w \times t \right) \\ y \left( t \right) = \left( h + \frac { m \times g } { k } \right) \times \cos \left( w \times t \right) + \frac { v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) } { w } \times \sin \left( w \times t \right) - \frac { m \times g } { k } \\ z \left( t \right) = 0 \end{cases} \]

Nous allons maintenant procéder à la détermination de la nature de la trajectoire de la balle

    \[ \begin{cases} \sin \left( w \times t \right) = \frac { w } { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } \times x \\ \cos \left( w \times t \right) = \frac { 1 } {h + \frac { m \times g } {k } } \times \left( y - \frac { v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) } { w } \times \frac { w } { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } \times x + \frac { m \times g } { k } \right) \end{cases} \]

    \[ \text { Donc } \space \cos ^ 2 \left( w \times t \right) + \sin ^ 2 \left( w \times t \right) = 1 \]

    \[ \text { D'ou } \space \left( \frac { w } { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } \right) ^ 2 \times x ^ 2 + \frac { 1 } { \left( h + \frac { m \times g } { k } \right) ^2 } \times \left( y - \cos \left( \tan \left( \alpha \right) \right) \times x + \frac { m \times g } { k } \right) ^ 2 = 1\]

    \[ \text { On peut alors declarer que la trajectoire correspond à une ellipse contenue dans le plan xoy de centre } \space C \left( 0 , \frac { - m \times g } { k } , 0 \right) \]

    \[ \text { Nous allons maintenant calculer α et v<sub>0</sub> pour } \space  t = \frac { T } { 4 } = \frac { 2 \times \pi } { 4 \times w } \space \text { et } \space w t = \frac { \pi } { 2 } \]

    \[ \text { On obtient } \space x = \frac { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } { w } \space \text { et } \space y = \frac { v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) } { w } - \frac { m \times g } { k } \]

    \[ \text { Il faut donc } \space \begin{cases} d = \frac { v _ 0 \sin \left( \alpha \right) } {w } \\ \frac { m \times g } { k } = \frac { v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) } { w } \space \text { soit } \space v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) = \frac { g } { w } \end{cases} \]

    \[ \text { On peut ainsi en deduire } \space \begin{cases} v _ 0 = \sqrt { \left( d \times w \right) ^ 2 + \left( \frac { g } { w } \right) ^ 2 } \\ \tan \left( \alpha \right) = \frac { d } { g } \times w ^ 2 \space \text { avec } \space \cos \left( \alpha \right) \geq 0 \end{cases} \]

Application Numérique

    \[ \begin{cases} v _ 0 = 14,1 \space m . s ^ \text { - 1 } \\ \alpha = \frac { \pi } { 4 } \end{cases} \]

    \[ \text { Si } \space \begin{cases} v _ 0 ^ 2 = w ^ 2 \times d ^ 2 + \frac { g ^ 2 } { w ^ 2 } \\ w ^ 2 = \frac { k } { m } \end{cases} \]

Nous allons maintenant chercher à déterminer les valeurs de w² permettant d’obtenir les valeurs minimales de v0² et donc de v0

    \[\frac { \text { d } v _ 0 ^ 2 } { \text { d } w ^ 2} = d ^ 2 - \frac { g ^ 2 } { w ^ 4}\]

    \[ \text { Donc } \space \frac { \text { d } v _ 0 ^ 2 } { \text { d } w ^ 2} = 0 \space \text { pour } \space w ^ 2 = \frac { g } { d } \]

    \[\text { Ainsi, la valeur de } \space v _ 0 ^ 2 \space \text { atteint sa valeur minimale pour } \space w = \sqrt { \frac { g } { d } } \]

On dit que c’est un minimum car, la limite de v0 tend vers l'infini positif quand w tend vers 0

Finalement, il faut choisir

    \[ m = \frac { k \times d } { g } \]

Ainsi, on retrouve les mêmes valeurs que dans les calculs précédents

    \[ \text { C'est-a-dire } \space \begin{cases} m = 0,1 \space \text { kg } \\ v _ 0 = 14,1 \space \text { m.s } ^ \text { - 1 } \\ \alpha = 45 \space \text { degrés } \end{cases} \]

 

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Joy

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