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Où trouver la correction d’un sujet type baccalauréat sur la mécanique ?

Par Joy

Rédigé le 5 février 2019

12 minutes de lecture

Chapitres

Exercice 1
Exercice 2 : Jouons au Jokari !

Avant tout chose, il est indispensable de produire un schéma sur la copie pour chaque exercice afin de faciliter la compréhension du correcteur.

Exercice 1

Dans tout l’exercice, on travaillera dans un Référentiel terrestre dit galiléen et dans le système R.

Que faut-il faire si on ne comprend rien à la mécanique physique ? — Le type de support, s'il existe, est important à prendre en compte car il peut provoquer des réactions particulières vis à vis de l'objet et de la trajectoire que l'on étudie.

Partie A

Commençons tout d’abord par un bilan des forces. Ici, M subit :

$\overrightarrow { P } = m \times \overrightarrow { g }$

C’est-à-dire son poids qui correspond à une force conservative
$\overrightarrow { R }$

C’est-à-dire la réaction perpendiculaire au support.

On peut alors définir le système S comme étant un système conservatif puisque la somme de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique donne une constante en sachant que

$E _ p = - m \times g \times x + K$

Ainsi, dans la partie AB du mouvement, on obtient

$x = R _ 1 \times \cos \left( \theta \right)$

(origine de

$\overrightarrow { ox }$

en C₁). On obtient alors de façon triviale

$E _ c \left( \theta \right) + E _ p \left( \theta \right) = E _ c \left( E \right) + E _ p \left( E \right) = \frac { 1 }{ 2 } \times m \times v_0^2$

Ainsi, puisque

$\overrightarrow{ C _ 1 M } = R _ 1 \overrightarrow{ u _ r } \space \text { et } \overrightarrow { v } = R _ 1 \times \theta\cdot \times \overrightarrow { u _ \theta }$

donc

$\begin{cases} E _ c = \frac { 1 } { 2 } \times m \times R _ 1 ^2 \times \theta \cdot ^ 2 \\ E _ p \left( E \right) = \frac { 1 } { 2 } \times m \times R _ 1 ^ 2 \times \theta \cdot _ 0 ^ 2 \end{cases}$

Ainsi

$\frac { 1 } { 2 } \times m \times R _ 1 ^ 2 \times \theta \cdot ^ 2 - m \times g \times R _ 1 \times \cos \left( \theta \right) + K = \frac { 1 } { 2 } \times m \times R _ 1 ^ 2 \times \theta \cdot _ 0 ^ 2 - m \times g \times R _ 1 + K$

$\theta \cdot ^ 2 = \theta \cdot _ 0 ^ 2 + \frac { 2 g } { R _ 1 } \times \left( \cos \left( \theta \right) - 1 \right)$

En dérivant la relation déduite ci-dessus par rapport à t, on obtient alors

$2 \times \theta \cdot \times \theta \cdot \cdot = \frac { 2 g } { R _ 1 } \times \left( - \sin \left( \theta \right) \right) \times \theta \cdot$

c’est-à-dire

$\theta \cdot \cdot + \frac { g } { R _ 1 } \times \sin \left( \theta \right) = 0$

On en déduit alors θ(t)

$\theta \left( t \right ) = A \times \cos \left( w _ 0 \times t \right) + B \times \sin \left( w _ 0 \times t \right) \space \text { avec } w _ 0 = \sqrt \frac { g } { R _ 1 }$

$\begin{cases} \theta \left( 0 \right) = 0 \\ \theta \cdot \left( 0 \right) = \theta \cdot _0 \end{cases}$

d'où

$\begin{cases} 0 = A \\ \theta \cdot _0 = B \times w _ 0 \end{cases}$

Donc

$\theta \left( t \right) = \frac { \theta \cdot _ 0 } { w _ 0 } \times \sin \left( w _ o \times t \right)$

Que faire pour gagner un maximum de point aux examens ? — Il est important de répondre au problème posé progressivement, étape par étape, afin de permettre au correcteur de comprendre le raisonnement et de vous attribuer tout de même certains points si vos calculs sont faux mais la démarche correcte.

On va maintenant chercher à déterminer la valeur maximale de θ :

$\theta _ \text { max } = \frac { \theta \cdot _ 0 } { w }$

en sachant que

$\begin{cases}w_0 = 100 \space s ^ \text { - 1 } \\ T = \frac { 2 \times \pi } { w _ 0 } = 6,28 . 10 ^ \text { - 2} s \\ \theta _ \text { max } = 0,01 \space rad \end{cases}$

$\sin \left( \theta \right) _ \text { max } = 9,999 . 10 ^ \text { - 3 }$

donc

$\sin \left( \theta \right) _ \text { max } = \theta _ \text { max }$

Sans oublier d’arrondir à deux chiffres après la virgule.

Partie B

$\text { Soit } \space E _ p \left( \theta \right) = - m \times g \times x + K$

$\text { Pour } \space - \frac { \pi } { 2 } \leq \theta \leq \pi \space \text { on a } E _ p = - m \times g \times R _ 1 \times \cos \left( \theta \right) + K$

$\text { Et } \space E _ p \left( \pi \right) = 0 \space \text { donc } E _ p \left( \theta \right) = - m \times R _ 1 \times \left( 1 + \cos \left( \theta \right) \right)$

$\text { Pour } \space \pi \leq \theta \leq 2 \times \pi \space \text { et } x = \overline {C _ 1 H } + \overline { C _ 1 C _ 2} + \overline { C _ 2 H} = R _ 2 R _ 1 + R _ 2 \cos \left( \theta \right)$

$\text { on a } E _ p = - m \times g \times \left( R _ 1 - R _ 2 + R _ 2 \times \cos \left( \theta \right) \right) - m \times g \times R _ 1$

$\text { donc } E _ p \left( \theta \right) = - m \times g \times R _ 2 \times \left( 1 + \cos \left( \theta \right) \right)$

On a donc :

Si θ = 0 et θ = 2π on retrouve les valeurs minimales de l’énergie potentielle. Cela correspond donc aux positions d’équilibre stables.
Si θ = π on retrouve la valeur maximale de l’énergie potentielle. Cela correspond donc à une position d’équilibre instable.

$\text { Soit } \space E _ c + E _ p = E _ m = \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ 0 ^ 2 - m \times g \times R _ 1 \space \text { avec } \space E _ c \left( A \right) = \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ 0 ^ 2 \space \text { et } \space E _ p \left( A \right) = - m \times g \times R _ 1$

Ainsi, si M effectue un trajet complet du point A à F si, pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 2π et pour une valeur de l’énergie cinétique positive. Cela signifie donc qu’il faut que le minimum de l’énergie cinétique soit supérieur à 0 pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 2π et donc que la valeur minimale de la différence de l’énergie mécanique par l’énergie potentielle est positive.

Ainsi, finalement, on retrouve comme conditions :

$E _ \text { p max } \leq E _ m$
$0 \leq \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ 0 ^ 2 - m \times g \times R _ 1$
$v _ 0 \geq \sqrt { 2 \times g \times R _ 1 }$

On peut alors déterminer v_F

$\text { En effet } \space \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ F ^ 2 - 2 \times m \times g \times R _ 2 = \frac { 1 } { 2 } \times m \times v _ 0 ^ 2 - m \times g \times R _ 1$

$\text { Donc } \space v _ F = \sqrt { v _ 0 ^ 2 + 4 \times g \times R _ 2 - 2 \times g \times R _ 1 }$

Ainsi, pour toute valeur de θ comprise entre -π/2 et 5π/2

$\text { on a } \space E _ p \leq E _ p \left( B \right)$

$\text { d'ou } \space E _ m - E _ p \left( B \right) \leq E _ m - E _ p \left( \theta \right)$

$\text { donc } \space E _ c \left( B \right) \leq E _ c \left( \theta \right)$

Or, E_c (B) > 0 donc E_c (θ) > 0 sur tout le trajet de A vers S.

Ainsi, on a donc M qui parcourt entièrement le trajet de A vers S et qui quittera la piste en S.

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Exercice 2 : Jouons au Jokari !

Que faire si l'on est seul ? — Le jokari est un jeu similaire à la pelote basque. Ce jeu peut se pratiquer seul ou à deux à l'aide d'un équipement composé d'une balle en caoutchouc elle-même attachée à un socle par un élastique. Ainsi, la balle, après avoir été frappée avec une raquette en bois, revient ainsi vers le ou les joueurs comme si elle avait rebondi.

$\text {Nous allons travailler dans un referentiel terrestre suppose galileen où } \space \left( o, \overrightarrow { o x } , \overrightarrow { o y } , \overrightarrow { o z } \right) \space \text {est lié à ce référentiel.}$

Pour commencer, nous allons appliquer à la balle M, que nous assimilerons à un point matériel, le Principe Fondamental de la Dynamique (abrégé PFD).

$\overrightarrow { P } + \overrightarrow { T } = m \times \overrightarrow { a }$

$\text { Avec } \space \begin{cases} \overrightarrow { P } = m \times \overrightarrow { g } \\ \overrightarrow { T } = - k \times \overrightarrow {OM } \space \text { la tension du fil } \end{cases}$

$\text { Donc } \space m \times \frac { \text{ d} ^ 2 \space \overrightarrow { O M } } { \text { d } t ^2 } = - k \times \overrightarrow { O M } + m \times \overrightarrow { g }$

$\text { Et } \space \frac { \text{ d} ^ 2 \space \overrightarrow { O M } } { \text { d } t ^2 } + \frac { k } { m } \times \overrightarrow { O M } = \overrightarrow { g }$

Ainsi

$\overrightarrow { O M }$

correspond donc à la somme de la solution générale de l’équation sans second membre

$\text { Et } \space \frac { \text{ d} ^ 2 \space \overrightarrow { O M } } { \text { d } t ^2 } + \frac { k } { m } \times \overrightarrow { O M } = 0$

et d’une solution particulière, d’où

$\begin{cases} \overrightarrow { O M } = \overrightarrow { A } \times \cos \left( w \times t \right) + \overrightarrow { B } \times \sin \left( w \times t \right) + \frac { m } { A } \times \overrightarrow { g } \\ \text { avec } \space w = \sqrt { \frac { k } { m } } \end{cases}$

$\text { Nous allons ensuite determiner } \space \overrightarrow { A } \text { et } \overrightarrow { B } \space \text { grâce aux conditions initiales : }$

$\begin{cases} \overrightarrow { O M } \left( 0 \right) = \overrightarrow { O M } _ 0 = h\overrightarrow { j } \\ \overrightarrow { v } \left( 0 \right) = \overrightarrow { v } _ 0 = v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) \times \overrightarrow { j } + v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) \times \overrightarrow { i } \end{cases}$

$\text { d'ou } \space \begin{cases} \overrightarrow { O M } _ 0 = \overrightarrow { A } + \frac { m } { k } \times \overrightarrow { g } \\ \overrightarrow { B } \times w = \overrightarrow { v } _ 0 \end{cases}$

$\text { et } \space \begin{cases} \overrightarrow { A } = \overrightarrow { O M } _ 0 - \frac { m } { k } \times \overrightarrow { g } \\ \overrightarrow { B } = \frac { \overrightarrow { v } _ 0 } { w } \end{cases}$

$\text { On obtient donc } \space \overrightarrow { O M } = \left( \overrightarrow { O M } _ 0 - \frac { m } { k } \times \overrightarrow { g } \right) \times \cos \left( w \times t \right) + \frac { \overrightarrow { v } _ 0 } { w } \times sin \left( w \times t \right) + \frac { m } { k } \times \overrightarrow { g }$

En projetant sur les axes définis au début de l’exercice, on obtient

$\begin{cases} x \left( t \right) = \frac { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } { w } \times \sin \left( w \times t \right) \\ y \left( t \right) = \left( h + \frac { m \times g } { k } \right) \times \cos \left( w \times t \right) + \frac { v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) } { w } \times \sin \left( w \times t \right) - \frac { m \times g } { k } \\ z \left( t \right) = 0 \end{cases}$

Nous allons maintenant procéder à la détermination de la nature de la trajectoire de la balle

$\begin{cases} \sin \left( w \times t \right) = \frac { w } { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } \times x \\ \cos \left( w \times t \right) = \frac { 1 } {h + \frac { m \times g } {k } } \times \left( y - \frac { v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) } { w } \times \frac { w } { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } \times x + \frac { m \times g } { k } \right) \end{cases}$

$\text { Donc } \space \cos ^ 2 \left( w \times t \right) + \sin ^ 2 \left( w \times t \right) = 1$

$\text { D'ou } \space \left( \frac { w } { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } \right) ^ 2 \times x ^ 2 + \frac { 1 } { \left( h + \frac { m \times g } { k } \right) ^2 } \times \left( y - \cos \left( \tan \left( \alpha \right) \right) \times x + \frac { m \times g } { k } \right) ^ 2 = 1$

$\text { On peut alors declarer que la trajectoire correspond à une ellipse contenue dans le plan xoy de centre } \space C \left( 0 , \frac { - m \times g } { k } , 0 \right)$

$\text { Nous allons maintenant calculer α et v<sub>0</sub> pour } \space t = \frac { T } { 4 } = \frac { 2 \times \pi } { 4 \times w } \space \text { et } \space w t = \frac { \pi } { 2 }$

$\text { On obtient } \space x = \frac { v _ 0 \times \sin \left( \alpha \right) } { w } \space \text { et } \space y = \frac { v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) } { w } - \frac { m \times g } { k }$

$\text { Il faut donc } \space \begin{cases} d = \frac { v _ 0 \sin \left( \alpha \right) } {w } \\ \frac { m \times g } { k } = \frac { v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) } { w } \space \text { soit } \space v _ 0 \times \cos \left( \alpha \right) = \frac { g } { w } \end{cases}$

$\text { On peut ainsi en deduire } \space \begin{cases} v _ 0 = \sqrt { \left( d \times w \right) ^ 2 + \left( \frac { g } { w } \right) ^ 2 } \\ \tan \left( \alpha \right) = \frac { d } { g } \times w ^ 2 \space \text { avec } \space \cos \left( \alpha \right) \geq 0 \end{cases}$

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$\begin{cases} v _ 0 = 14,1 \space m . s ^ \text { - 1 } \\ \alpha = \frac { \pi } { 4 } \end{cases}$

$\text { Si } \space \begin{cases} v _ 0 ^ 2 = w ^ 2 \times d ^ 2 + \frac { g ^ 2 } { w ^ 2 } \\ w ^ 2 = \frac { k } { m } \end{cases}$

Nous allons maintenant chercher à déterminer les valeurs de w² permettant d’obtenir les valeurs minimales de v₀² et donc de v₀

$\frac { \text { d } v _ 0 ^ 2 } { \text { d } w ^ 2} = d ^ 2 - \frac { g ^ 2 } { w ^ 4}$

$\text { Donc } \space \frac { \text { d } v _ 0 ^ 2 } { \text { d } w ^ 2} = 0 \space \text { pour } \space w ^ 2 = \frac { g } { d }$

$\text { Ainsi, la valeur de } \space v _ 0 ^ 2 \space \text { atteint sa valeur minimale pour } \space w = \sqrt { \frac { g } { d } }$

On dit que c’est un minimum car, la limite de v₀ tend vers l'infini positif quand w tend vers 0

Finalement, il faut choisir

$m = \frac { k \times d } { g }$

Ainsi, on retrouve les mêmes valeurs que dans les calculs précédents

$\text { C'est-a-dire } \space \begin{cases} m = 0,1 \space \text { kg } \\ v _ 0 = 14,1 \space \text { m.s } ^ \text { - 1 } \\ \alpha = 45 \space \text { degrés } \end{cases}$

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !

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camille225

Octobre 2009

merci beaucoup mais on vient de commencé le chapitre « etude energetique du mouvement d’un point matériel ds un reférentiel galileen » et on c arreté a stabilité des équilibre j’ai dc pa la ormule de conservation de l’énergi du systeme ni celle de la période, c pa grave si je les sort comme sa ds mon DM?

Topaze

Octobre 2009

Ec(téta)+Ep(téta)=Ec(e)+Ep(e): cette relation traduit la conservation de l’énergie du système. Regarde dans ton cours, tu trouveras cette relation. Ici elle est vérifiée car il n’y a pas de frottement et le poids est une force conservative.
Pour la résolution de l’équation (A2), l’angle téta étant faible on peut l’assimiler à téta : on trouve l’équation différentielle classique d’un oscillateur harmonique. Tu peux détailler la solution en écrivant l’équation caractéristique associée.
T=2pi/wo est une expression à connaitre qui vient du fait que si wt varie de 2pi, t varie de 2pi/w.
téta max est obtenu quand le sin est max donc égal à 1

camille225

Octobre 2009

bonjour j’ai cet exercice a faire comme Dm pour la rentré et il y a certaine choses que je ne comprend pas
dans la question A-1 je comprend pas pourquoi Ec(téta)+Ep(téta)=Ec(e)+Ep(e)
et aussi je ne compren pa la fin de la resolution de l’équation diff A-2,
et dans la A-3 comment vous savez ke T=2pi/wo? et commen vous savez l’expression de téta max?
en gros j’ai bcp de mal avec la mécanique je narrive pas a repondre au kestion