Récapitulatif sur les champs

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance.

A quoi sert l'électricité ?
L'électricité est l'énergie que nous utilisons le plus au quotidien.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.

On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.

D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique.

La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Qu'est-ce que l'électricité statique ?
L'électricité statique est le phénomène qui se produit quand vos cheveux touchent un habit en laine : ils se chargent en électricité statique.
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Les lois à connaître pour le cours

Le principe de superposition

Il est possible d'appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :

  • La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
  • Un multiple d'une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.

Dans ce cas, c'est-à-dire celui d'un système physique, on peut appeler l'entrée excitation et la sortie réponse.

On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :

  • Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
  • Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .

Le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme.

Il s'énonce ainsi :

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.

Loi de Coulomb

Coulomb, un physicien français, a établi en 1758 que le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :

  • La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
  • Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
  • Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.

Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 :

    \[ \overrightarrow{ f _ { e } } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } }{ r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { e _ { r } } \]

    le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2

  •     \[ \epsilon _ { 0 } \]

    la permittivité diélectrique du vide

Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare.

Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante :

    \[ \begin{cases} \overrightarrow { f } = q _ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \right] = q _ { 2 } \overrightarrow { E } \\ \overrightarrow{ E } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon } \frac { q _ { 1 } }{ r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \end{cases} \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E }  \]

    un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2

Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q1, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.

Calculer un champ magnétique

Qu'est-ce qu'un champ magnétique ?
La Terre est à l'origine de champs magnétiques causés par ses deux pôles magnétiques. C'est par exemple pour cela que l'on peut voir des aurores boréales.

Les méthodes sont numérotées par ordre de priorité.

Lorsqu'une action proposée est impossible, passer à la méthode suivante.

Méthode 1 : Théorème de superposition

  • Décomposer la distribution de courant en quelques distributions simples,
  • Pour chaque distribution, calculer le champ magnétique au point M considéré en utilisant éventuellement les méthodes qui suivent,
  • Additionner les champs en indiquant qu'il s'agit du théorème de superposition.

Attention :

  • Les champs s'ajoutent en un même point M de l'espace,
  • Il s'agit d'une somme vectorielle.

Rappel : somme vectorielle

Méthode 1 :

Utiliser la relation de Chasles en utilisant une notation intrinsèque pour les champs.

Méthode 2 :
  • Déterminer la direction du champ total au point M :
    • Méthode 1 : associer deux par deux des champs symétriques,
    • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants passant par M.
  • Projeter les champs à additionner dans cette direction,
  • Sommer ces différentes projections :
    • Méthode 3 : Faire la somme des composantes dans une base orthonormée bien choisie,
    • Méthode 4 : Somme graphique.

Méthode 2 : Théorème d'Ampère

Qui était Ampère ?
Ampère était un scientifique qui a laissé son nom à une unité d'intensité en électricité. Pour cause, il a travaillé sur de nombreux sujets de recherche, notamment sur des lois et des théorèmes qui touchent de près ou de loin à l'électricité et aux champs électriques.
  • Déterminer l'allure du spectre dans tous l'espace d'étude :
  • Déterminer la direction du champ en un point M quelconque de l'espace :
    • Méthode 1 : associer deux par deux des champs élémentaires symétriques,
    • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants, passant par M.
  • Déterminer les variables dont dépend la norme du champ dans l'espace, en évoquant des arguments d'invariance par translation ou rotation du problème vu par l'observateur,
  • Choisir un contour d'Ampère passant par le point où on cherche le champ : Pour simplifier le calcul de la circulation, le contour doit suivre les lignes de champ ou les couper orthogonalement,
  • Appliquer le théorème d'Ampère.

Méthode 3 : Calcul par intégrale

Pour avoir une méthodologie complète, je vous invite à vous diriger vers notre cours "Calcul d’Intégrales Multiples Vectorielles ou Scalaires".

Méthode 4 - Astuces

Pour une distribution de courant de type solénoïde infini, il faut admettre que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul , puis utiliser le théorème d'Ampère.

L'induction : champ électrique et magnétique

Mise en évidence expérimentale du phénomène

Interaction entre un aimant et une spire

  • Lorsque l'aimant est en mouvement vers la spire, il y a apparition d'un courant dit "induit" dans la spire. Le sens de ce courant induit a pour effet de faire apparaître une force répulsive entre l'aimant et la spire, force qui s'oppose donc au mouvement de l'aimant.
  • Lorsque l'aimant est en mouvement en s'éloignant de la spire, il y a apparition d'un courant dit "induit" dans la spire. Le sens de ce courant induit a pour effet de faire apparaître une force attractive entre l'aimant et la spire, force qui s'oppose donc au mouvement de l'aimant.
  • Lorsque la spire est en mouvement vers l'aimant, il y a apparition d'un courant dit "induit" dans la spire. Le sens de ce courant induit a pour effet de faire apparaître une force répulsive entre l'aimant et la spire, force qui s'oppose donc au mouvement de la spire.
  • Lorsque la spire est en mouvement en s'éloignant de l'aimant, il y a apparition d'un courant dit "induit" dans la spire. Le sens de ce courant induit a pour effet de faire apparaître une force attractive entre l'aimant et la spire, force qui s'oppose donc au mouvement de la spire.

La loi de Lenz

  • Les effets du courant induit s'opposent à la cause qui lui a donné naissance.
  • Remarque: si la spire n'est pas complètement fermée, aucun courant ne peut circuler mais il apparait une différence de potentiel entre les deux extrémités de la spire.

Champ électromoteur

Qu'est-ce qu'un champ électromoteur ?
Les champs électromoteurs se calculent en fonction de la force électromotrice dont ils dépendent.

Loi d'Ohm généralisée

  • Les électrons d'un circuit électrique peuvent être mis en mouvement
    • par l'action d'un champ électrique
      • dû à une différence de potentiel créée par exemple par une pile placée dans le circuit, ou
      • dû à une variation temporelle du potentiel vecteur magnétique.
    • par l'action d'une force magnétique si le conducteur se déplace dans
      un champ magnétique. Cette force magnétique apparait comme une force
      électrique dans un référentiel lié localement au fil.
  • Loi d'Ohm microscopique: le vecteur densité de courant est proportionnel à la force subie par les électrons.
  • Loi d'Ohm macroscopique : il suffit de rajouter dans le schéma électrique du circuit une fém e orientée dans le sens du courant et de calculer cette fém e en effectuant la circulation du champ électromoteur dans le sens du courant également.

Induction électromagnétique dans un circuit fixe dans un champ magnétique variable

F.e.m induite

  • Loi de Faraday à partir du champ électromoteur.
  • Loi de Faraday à partir de l'équation de Maxwell Faraday.
  • Retour à l'exemple expérimental.

Circuit filiforme fixe seul dans l'espace : phénomène d'auto-induction

  • Un circuit seul dans l'espace et parcouru par un courant i crée un champ magnétique dans tout l'espace. Le flux de ce champ à travers le circuit lui-même (flux propre) est proportionnel à i. Le coefficient de proportionnalité est l'inductance propre L (ou coefficient d' auto-induction) du circuit, exprimée en henry.
  • L> 0 d'après la règle du tire - bouchon.
  • Si l'intensité varie, le champ créé varie ainsi que le flux, d'où l'apparition d'une f .e.m induite dite d'autoinduction.
  • Lien avec l'électrocinétique : schématisation par une bobine d'inductance L.
uL = L di/dt

Bilan énergétique de l'établissement d'un courant dans un circuit filiforme indéformable et fixe

  • Etablir un courant i dans un circuit n'est pas gratuit d'un point de vue énergétique: il faut un apport égal à 1/2 L i2.
  • On retrouve le fait que L> 0
  • Cette énergie est stockée par le circuit et peut être récupérée : il s'agit donc d'une énergie potentielle.
  • Etude du cas particulier du solénoïde long.
  • Généralisation: l'énergie potentielle emmagasinée dans le circuit est en fait l'énergie magnétique emmagasinée dans le champ magnétique créé par ce circuit.

Deux circuits filiformes fixes dans l'espace : phénomène d'induction mutuelle

  • Soit un ensemble de deux circuits parcourus par des courants i1 et i2. Le flux du champ crée par le circuit 1 à travers le circuit 2 est proportionnel à i1. Le flux du champ crée par le circuit 2 à travers le circuit 1 est proportionnel à i2.
  • On admet le théorème de Neumann : le coefficient de proportionnalité est le même dans les deux cas, et noté M.
  • M>Oou M . La variation d'un courant dans l'un des circuits induit une f.e.m d'induction mutuelle dans l'autre circuit.

Bilan énergétique de l'établissement du courant dans un ensemble de deux circuits filiformes indéformables et fixes

  • Etablir les courants i1 et i2 dans deux circuits n'est pas gratuit d'un point de vue énergétique : il faut un apport égal à 1/2 L1 i12 + 1/2 L2i22+ M i1i2
  • Expression en fonction des flux.
  • Cette énergie est stockée par les circuits et peut être récupérée : il s'agit donc d'une énergie potentielle.

Induction électromagnétique dans un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

  • Circulation du champ électromoteur.
  • On admet que la loi de Faraday est encore valable (on le vérifiera sur des exemples).
  • Retour à l'exemple expérimental.
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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.