Comment procède-t-on pour calculer un champ et est-ce différent si le champ est magnétique ?

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C'est parti

Les différents types de champs existant

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locales de l'espace défini sont alors modifiées ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi : avec :

• le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge,
• le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes. Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb. On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacements des charges afin d'obtenir un champ électrique complet. Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen. On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante : avec :

• le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge,
• le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet, la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique ne dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude. De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante. D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique. La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lorsque les charges qui constituent le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Le champ gravitationnel

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tous les autres corps pouvant être présents à proximité immédiate ou non. On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien. En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle. On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable. On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.

Les lois à utiliser lors d'un exercice

Le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme. Il s'énonce ainsi :

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.

Loi de Coulomb

Coulomb, un physicien français, a établi en 1758 que le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q₁ et q₂ , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :

• La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
• Elle est attractive si les charges sont de signes opposés et répulsive sinon ;
• Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q₁ et q₂ et varie en raison inverse du carré de la distance r.

Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q₁ sur q₂ : avec :

• le vecteur unitaire de la droite reliant q₁ et q₂ qui est dirigée dans le sens 1 vers 2
• la permittivité diélectrique du vide

Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer une force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare ? Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante : avec :

• un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q₁ au point où se trouve la seconde charge q₂

Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q₁, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.

Principe de superposition

Il est possible d'appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :

• La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
• Un multiple d'une entrée quelconque correspond au même multiple de la sortie correspondante.

Dans ce cas, c'est-à-dire celui d'un système physique, on peut appeler l'entrée excitation et la sortie réponse. On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements générés par les forces mécaniques ƒ) :

• Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ₁, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x₁ ;
• Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ₂, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x₂ .

Les propriétés du champ magnétique

Distribution de courant filiforme

• L'intensité électrique est adaptée pour décrire une répartition de courants localisée dans un tube de faible section (cas des fils électriques), tube qui sera "vu" de loin comme un fil dont on néglige l'épaisseur,
• Définition de l'intensité électrique.

Invariances par translation et rotation

• Si une distribution de courants est invariante par translation dans une direction donnée, le champ magnétique créé sera également invariant dans cette direction,
• Si une distribution de courants est invariante par rotation autour d'un axe, la norme du champ magnétique créé sera également invariante par rotation.

Propriétés du champ magnétique en tout point d'un plan de symétrie ou d'un plan d'antisymétrie des courants

Définitions

• Un plan de symétrie d'une distribution de courants est un plan qui laisse invariante cette distribution de courants lorsqu'on effectue la symétrie plane,
• Un plan d'antisymétrie d'une distribution de courants est un plan qui laisse invariante cette distribution de courants mais en inversant les sens des courants lorsqu'on effectue la symétrie plane.

Propriétés

• En un point appartenant à un plan de symétrie d'une distribution de courants, le champ magnétostatique est orthogonal à ce plan. (Admis)
• En un point appartenant à un plan d'antisymétrie d'une distribution de courants, le champ magnétostatique appartient à ce plan. (Admis)
• Les propriétés pour les champs électrostatiques et magnétiques diffèrent : E est un "vrai" vecteur alors que B est un "pseudo" vecteur car défini à partir d'une convention mathématique d'orientation (celle du produit vectoriel).

Plans de symétrie ou d’antisymétrie des courants

Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu'on effectue la symétrie par rapport à ce plan. Un plan est un plan d'antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu'on effectue la symétrie par rapport à ce plan. En tout point d'un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan. En tout point d'un plan d'antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.

Méthodes de calcul

Les méthodes sont numérotées par ordre de priorité. Lorsqu'une action proposée est impossible, passer à la méthode suivante.

Méthode 1 : Théorème de superposition.

• Décomposer la distribution de courant en quelques distributions simples,
• Pour chaque distribution, calculer le champ magnétique au point M considéré en utilisant éventuellement les méthodes qui suivent,
• Additionner les champs en indiquant qu'il s'agit du théorème de superposition.

Attention :

• Les champs s'ajoutent en un même point M de l'espace,
• Il s'agit d'une somme vectorielle.

Rappel : somme vectorielle

Méthode 1 :

Utiliser la relation de Chasles en utilisant une notation intrinsèque pour les champs.

Méthode 2 :

• Déterminer la direction du champ total au point M :
  • Méthode 1 : associer deux par deux des champs symétriques,
  • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants passant par M.
• Projeter les champs à additionner dans cette direction,
• Sommer ces différentes projections :
  • Méthode 3 : Faire la somme des composantes dans une base orthonormée bien choisie,
  • Méthode 4 : Somme graphique.

Méthode 2 : Théorème d'Ampère

• Déterminer l'allure du spectre dans tous l'espace d'étude :
• Déterminer la direction du champ en un point M quelconque de l'espace :
  • Méthode 1 : associer deux par deux des champs élémentaires symétriques,
  • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants, passant par M.
• Déterminer les variables dont dépend la norme du champ dans l'espace, en évoquant des arguments d'invariance par translation ou rotation du problème vu par l'observateur,
• Choisir un contour d'Ampère passant par le point où on cherche le champ : Pour simplifier le calcul de la circulation, le contour doit suivre les lignes de champ ou les couper orthogonalement,
• Appliquer le théorème d'Ampère.

Méthode 3 : Calcul par intégrale

Pour avoir une méthodologie complète, je vous invite à vous diriger vers notre cours "Calcul d’Intégrales Multiples Vectorielles ou Scalaires".

Méthode 4 - Astuces

Pour une distribution de courant de type solénoïde infini, il faut admettre que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul , puis utiliser le théorème d'Ampère.