I. LE POINT DE VUE DE L'OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

1. But de l'optique géométrique

  • C'est l'étude du trajet suivi par la lumière, sans se préoccuper des répartitions d'intensité.

2. Rayon lumineux

  • La propagation d'une onde est décrite par les rayons lumineux.
  • Les rayons lumineux sont les normales aux surfaces d'onde.
  • Une surface d'onde est une surface dont les points ont été atteints par l'onde au même instant, par exemple :
    • Une onde émise par une source ponctuelle dans un espace homogène est dite sphérique car les surfaces d'onde sont sphériques. Les rayons lumineux sont donc des droites passant par la source.
    • Une onde plane a des surfaces d'onde planes, donc des rayons lumineux rectilignes tous parallèles entre eux.
  • Peut-on isoler physiquement un rayon lumineux ? Non. Plus on essaie de diaphragmer un faisceau lumineux, plus ce faisceau s'étale : c'est le phénomène de diffraction.
  • On obtient une approximation de rayon lumineux en constituant un faisceau de lumière parallèle de dimension transversale très supérieure à la longueur d'onde (diffraction négligeable) : faisceau LASER par exemple.

3. Approximation de l'optique géométrique

  • Hypothèse fondamentale : on n'étudie la trajectoire des rayons lumineux que loin des bords d' obstacle. De façon plus précise, à des distances très supérieures à la longueur d'onde de l' onde qui se propage. On néglige donc les phénomènes de diffraction.
  • Dans le cadre de cette approximation, on admet que l'étude de la forme des rayons lumineux peut se faire à partir de 4 principes qui constituent les hypothèses de base de l'optique géométrique.

4. Hypothèses de base de l'optique géométrique

a. L' indépendance des rayons lumineux :

  • On admet que l'on peut étudier les rayons lumineux indépendamment les uns des autres.

b. Principe du retour inverse de la lumière :

  • On admet que le trajet des rayons lumineux est indépendant du sens de parcours de la lumière.

c. Principe de propagation rectiligne :

  • On admet que la lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène, caractérisé par un indice n indépendant du point de l'espace. Les rayons lumineux sont donc des droites dans un milieu homogène.

d. Lois de Descartes.

  • LOIS DE DESCARTES DE LA REFLEXION :
    • Lorsqu'un rayon se réfléchit sur une surface, le rayon réfléchi se trouve dans le plan d'incidence, c'est à dire le plan défini par la normale à la surface au point de réflexion et le rayon incident. Dans ce plan, les rayons incidents et réfléchis se trouvent de part et d' autre de la normale.
      • Conséquence importante : On peut représenter dans un même plan (le plan d'incidence !), donc sur une feuille, le rayon incident, la normale et le rayon réfléchi.
    • L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence : i = r ou i = -r selon les conventions d'orientation.
  • LOIS DE DESCARTES DE LA REFRACTION
    • Lorsqu'un rayon tombe sur une suface séparant deux milieux d' indices différents (c'est à dire un dioptre), le rayon transmis se trouve dans le plan d'incidence, c'est à dire le plan défini par la normale à la surface au point d'incidence et le rayon incident. Dans ce plan, les rayons incident et réfracté se trouvent de part et d'autre de la normale.
      • Conséquence importante : On peut représenter dans un même plan (le plan d'incidence !), donc sur une feuille, le rayon incident, la normale et le rayon réfracté.
    • Le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction est égal au rapport inverse des indices : n1sini1= n2sini2
  • REMARQUE :
    • Ces lois de base sont posées ici comme principe mais peuvent être démontrées à partir du Principe de Fermat, ou à partir du Principe de Huyghens-Fresnel, ou directement à partir des équations de Maxwell qui constituent la base de l'électromagnétisme.

II. FORMATION DES IMAGES

1. Définitions

  • SYSTEME OPTIQUE : Suite de milieux transparents homogènes séparés par des dioptres ou miroirs.
  • STIGMATISME :
    • Un système est stigmatique pour un couple de points (A,A') si tous les rayons qui pénètrent dans le système et qui ont pour intersection commune A, ressortent du système en ayant une intersection commune A'. A et A' sont dits alors conjugués.
    • A est alors un point objet pour le système. A' est le point image de A à travers le système.
  • RÉEL OU VIRTUEL ?
    • POINT OBJET RÉEL : A est un point objet réel pour un système si l' intersection des rayons incidents sur le système se fait avant la face d'entrée.
    • POINT OBJET VIRTUEL : A est un point objet virtuel pour un système si l'intersection des rayons incidents sur le système se fait après la face d'entrée.
    • POINT IMAGE RÉELLE : A' est un point image réelle pour un système si l'intersection des rayons émergents du système se fait après la face de sortie.
    • POINT IMAGE VIRTUELLE : A' est un point image virtuelle pour un système si l'intersection des rayons émergents du système se fait avant la face de sortie.
    • Sur les schémas, un rayon lumineux INCIDENT est représenté en trait plein avant la face d'entrée du système et en trait pointillé après cette face d'entrée.
    • Sur les schémas, un rayon lumineux ÉMERGENT est représenté en trait plein après la face de sortie du système et en trait pointillé avant cette face de sortie.
    • Une intersection de rayons en traits pleins est un point objet ou image réel.
    • Une intersection de rayons en traits pointillés est un point objet ou image virtuel.
  • OBJET : C'est un ensemble de points objets.
  • IMAGE : C'est un ensemble de points images.
  • FOYERS
    • FOYER OBJET : Un foyer objet F est un point dont l'image est rejetée à l'infini. Le faisceau émergent du système est alors parallèle.
    • FOYER IMAGE : Un foyer image F' est l'image d'un objet placé à l'infini. Le faisceau incident sur !e système est alors parallèle.
  • SYSTÈME STIGMATIQUE CENTRÉ :
    • Un système est centré s'il possède un axe de symétrie de révolution.
    • Conséquence : L'image d'un point sur l'axe est placé sur l'axe.
  • APLANÉTISME : Un système stigmatique centré est aplanétique si tout objet perpendiculaire à l'axe du système a une image qui est aussi perpendiculaire à l'axe.
  • FOYERS pour un système stigmatique centré et aplanétique
    • PLAN FOCAL OBJET : C'est le plan perpendiculaire à l'axe qui contient tous les foyers objets.
    • PLAN FOCAL IMAGE : C'est le plan perpendiculaire à l'axe qui contient tous les foyers images.
    • FOYER OBJET PRINCIPAL : Parmi les foyers objets, c'est celui qui est sur l'axe. Son image est à l'infini sur l' axe, c'est à dire que les rayons sortent du système en étant parallèles à l'axe.
    • FOYER IMAGE PRINCIPAL : Parmi les foyers images, c'est celui qui est sur l'axe. C'est l'image d'un objet placé à l'infini sur l'axe, c'est à dire que les rayons incidents sont parallèles à l'axe.
    • FOYERS SECONDAIRES objet ou image : ceux qui ne sont pas sur l'axe.
  • GRANDISSEMENT TRANSVERSAL :
    • Dans le cas d'un système stigmatique centré et aplanétique, on considère un objet perpendiculaire à l'axe ; le grandissement est le rapport de la taille de l'image sur la taille de l'objet.
    • C'est une grandeur algébrique.
    • L'image est droite si le grandissement est positif, renversée s'il est négatif.

2. Interprétation concrète des notions d'objet réel ou virtuel, image réelle ou virtuelle

  • Un point objet est dans la pratique un point lumineux d'une source, ou le point image d'un système optique antérieur.
  • Un point objet virtuel ne peut être que l'image réelle d'un système optique antérieur.
  • Une image réelle peut se projeter sur un écran.
  • Une image virtuelle s'observe en plaçant l'oeil à la sortie du système (pour des lumières pas trop intenses évidemment !) : Le cerveau humain est abusé par les changements de trajectoire des rayons lumineux et ne conçoit que des trajectoires rectilignes. L'oeil voit donc l' objet à travers le système optique comme s'il était à la place de l'image (que ce soit une image réelle ou virtuelle d' ailleurs).

3. Approximation de Gauss [doc]

  • Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss si :
    • Les rayons lumineux qui le traversent sont peu inclinés par rapport à l'axe du système.
    • Les rayons lumineux qui le traversent sont proches de l'axe.
    • Ces rayons sont dits paraxiaux.
  • Intérêt : On admet que dans ces conditions, le système est approximativement stigmatique, c'est à dire que l'image d'un point est à peu près un point ( l'intersection des rayons émergents du système n'est pas rigoureusement ponctuelle mais se fait dans un domaine limité de l'espace) et approximativement aplanétique.

III. MIROIR PLAN ET DIOPTRE PLAN

1. Miroir plan [doc]

a. Stigmatisme rigoureux

  • Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tous les points de l'espace. Ceci résulte des propriétés de la symétrie par rapport au plan du miroir.
  • Le miroir plan est afocal : un faisceau de rayons parallèles incident donne un faisceau de rayons parallèles après réflexion.

b. Constructions

  • L'image d'un point après réflexion sur un miroir plan est le symétrique de ce point par rapport au plan.
  • L'image d'un objet après réflexion sur un miroir plan est le symétrique de cet objet par rapport au plan.
  • Le grandissement du miroir plan est donc de 1 pour tous les objets.

c. Exemple : miroir en rotation

  • Lorsqu'un miroir tourne d'un angle α, les rayons qui s' y réfléchissent tournent d'un angle 2α, les images tournent d'un angle 2α également.

2. Dioptre plan [doc]

a. Définition

  •  Un dioptre est une surface qui sépare deux milieux d'indices différents.

b. Constructions

  • Lorsqu'un rayon arrive sur un dioptre, on obtient en général une onde réfléchie et une onde transmise.
  • Les propriétés de la réflexion sur un dioptre plan sont celles énoncées pour le miroir plan.
  • Lorsqu'un rayon pénètre dans un milieu plus réfringent (d'indice plus élevé), il se rapproche de la normale.
  • Lorsqu'un rayon pénètre dans un milieu moins réfringent (d'indice moins élevé ), il s'écarte de la normale.
  • Lorsqu'un rayon pénètre dans un milieu moins réfringent :
    • il existe un angle limite il au delà duquel il n' y a plus réfraction.
    • Pour i>il il n' y a alors qu'un rayon réfléchi : c'est le phénomène de réflexion totale.
    • il angle de réfraction limite vérifie : n1sinil= n2

c. Stigmatisme approché

  • Le dioptre plan est approximativement stigmatique pour tout point de l'espace si on ne considère que des rayons proches les uns des autres.
  • Le dioptre plan est afocal : un faisceau de rayons parallèles incident donne un faisceau de rayons parallèles après réfraction.
  • Pour des rayons quasi normaux au dioptre, la position de l'image d'un point en fonction de la position de l'objet est donnée par la formule de conjugaison.
  • Pour des rayons quasi normaux au dioptre, le grandissement est de 1.

d. Application : poisson dans l' eau.

  • Un poisson dans l'eau parait plus proche de la surface qu' il ne l'est en réalité si on le regarde de l'extérieur.

IV. MIROIRS SPHÉRIQUES dans l'approximation de Gauss

1. Définitions

  • Miroir concave (ou convergent) : Sa surface réfléchissante est creuse.
  • Miroir convexe (ou divergent) : Sa surface réfléchissante est bombée.

2. Relations de conjugaison et grandissement

a. au foyer

  • F et F' sont confondus d'après le principe du retour inverse de la lumière.
  • La démonstration des relations utilise les rayons passant par F et le théorème de Thalès.

b. au sommet

  • La démonstration utilise la loi de Descartes de la réflexion et l'égalité des angles petits avec leur tangente.

c. au centre

  • La démonstration utilise la relation de conjugaison avec origine au sommet et la relation de Chasles.

3. Constructions [doc]

  • Ne pas oublier la position remarquable des foyers : ils coincident (d'après le principe de retour inverse de la lumière) et se trouvent à mi-distance entre le centre et le sommet du miroir.
  • Règles de construction :
    • On représente le miroir sphérique par son plan tangent au sommet.
    • On exagère les angles.
    • Pour déterminer la position de l'image A' d'un objet A sur l'axe, on peut utiliser un petit objet AB perpendiculaire à l'axe, déterminer la position de l'image B' du point B à l'aide de deux rayons de construction parmi ces quatre rayons particuliers :
      • un rayon incident passant par C est réfléchi sur lui-même.
      • un rayon incident passant par S est réfléchi symétriquement par rapport à l'axe.
      • un rayon incident passant par F est réfléchi parallèle à l'axe.
      • un rayon incident parallèle à l'axe passe par F après réflexion.

puis déterminer A en utilisant la propriété d'aplanétisme.

  • On peut  utiliser les foyers secondaires pour trouver le rayon réfléchi correspondant à un rayon incident et donc trouver l'image A' d'un point objet A sur l'axe.

4. Cas particulier du miroir plan

  • On retrouve bien les propriétés du miroir plan en faisant tendre le rayon de courbure vers l'infini.

V. LENTILLES MINCES dans l'approximation de Gauss

1. Définitions

  • Lentille mince : Epaisseur faible devant les rayons de courbure des faces.
  • Lentille convergente : Fait converger les faisceaux lumineux.
    • Le foyer image est réel.
    • Le bord de la lentille est plus mince que le centre.
  • Lentille divergente : Fait diverger les faisceaux lumineux.
    • Le foyer image est virtuel.
    • Le bord de la lentille est plus épais que le centre.
  • Distance focale objet f, distance focale image (ou distance focale) f', vergence V=1/f' (en dioptrie δ)
  • f'>0 pour une lentille convergente, f'<0 pour une lentille divergente.

2. Propriétés

  • Fonctionnement symétrique de la lentille  (admis).
  • Les foyers sont symétriques par rapport au centre de la lentille.
  • Un rayon passant par le centre de la lentille n'est pas dévié : En effet, au voisinage du centre, la lentille est équivalente à une lame à faces parallèles de faible épaisseur.

3. Constructions [doc]

  • Règles de construction :
    • On représente la lentille par une double flèche passant par son centre.
    • On exagère les angles.
    • Pour déterminer la position de l'image A' d'un objet A sur l'axe, on peut utiliser un petit objet AB perpendiculaire à l'axe, déterminer la position de l'image B' du point B à l'aide de deux rayons de construction parmi ces trois rayons particuliers :
      • un rayon incident passant par O n'est pas dévié par la lentille.
      • un rayon incident passant par F émerge parallèle à l'axe.
      • un rayon incident parallèle à l'axe passe par F' après traversée de la lentille.

      puis déterminer A en utilisant la propriété d'aplanétisme.

    • On peut  utiliser les foyers secondaires pour trouver le rayon réfléchi correspondant à un rayon incident et donc trouver l'image A' d'un point objet A sur l'axe.

4. Relations de conjugaison et grandissement

a. aux foyers

  • La démonstration des relations utilise les rayons passant par F et F' et le théorème de Thalès.

b. au centre

  • La démonstration utilise la relation de conjugaison avec origine aux foyers et la relation de Chasles

5. Les aberrations

  • Aberrations géométriques :
    • C'est une dégradation de l'image due aux rayons non paraxiaux.
    • En effet, les intersections avec l'axe des rayons issus de A après traversée de la lentille sont étalées si tous les rayons ne vérifient pas les conditions de Gauss. Au lieu d'une image ponctuelle, on observe une tâche lumineuse.
  • Aberrations chromatiques :
    • C'est une dégradation de l'image due à la dispersion des rayons selon leur longueur d'onde.
    • En effet, l'indice du verre de la lentille est fonction de la longueur d'onde et la déviation des rayons par la lentille dépend de n. En lumière blanche, l'image d'un point est une tâche irisée.

VI. EXEMPLES

1. Le prisme [doc]

  • Un rayon lumineux est dévié vers la base du prisme. D, déviation, est l'angle entre le rayon incident et le rayon sortant du prisme.
  • Lorsqu'on fait varier l'incidence i, on observe l'existence d'un minimum de déviation.
  • Au minimum de déviation, le trajet de la lumière dans le prisme est symétrique, selon le principe du retour inverse de la lumière.
  • On établit un système de quatre équations :
    • deux lois de Descartes à la traversée des deux dioptres,
    • lien entre A (angle au sommet), r et r',
    • expression de D en fonction de i, i' et A.
  • Attention : ces relations dépendent des conventions d'orientation des angles.
  • Expression de l'indice du prisme en fonction de l'angle au sommet A et du minimum de déviation.
  • Utilisation du prisme pour disperser la lumière : Le bleu est plus dévié que le rouge.
  • Prisme non stigmatique, sauf pour des rayons proches les uns des autres.

2. L'oeil [doc]

  • L'oeil est un système optique : La rétine est un écran, le cristallin une lentille convergente.
  • Au repos, pour un oeil emmétrope (sans défaut), la rétine est dans le plan focal image du cristallin. L'oeil observe donc à l' infini sans fatigue.
  • Pour observer un objet à distance finie, l' oeil doit accommoder (déformation du cristallin pour augmenter sa vergence) pour projeter l'image sur la rétine qui est bien-sûr fixe ! L'action d'accommoder fatigue l'oeil.
  • Limites de l'oeil :
    • angulaires : distinction des écarts angulaires supérieurs à 3'
    • plage d'accommodation d'un oeil emmétrope : de dm = 25 cm (distance minimale d'accommodation sans fatigue excessive) à l'infini.

3. L' autocollimation

  • But : Mesure d'une distance focale ou réglage d'un collimateur à l'infini donc placement d'un objet réel dans le plan focal objet d'une lentille convergente.
  • Méthode : On utilise en plus un miroir plan, placé derrière la lentille. On déplace l'ensemble lentille/miroir jusqu'à ce que l'image finale se trouve dans le même plan que l'objet.
  • Le grandissement transversal vaut -1 dans ce cas.

4. La loupe

  • Intérêt : Observer de petits objets en diminuant la fatigue oculaire
  • Une loupe est une lentile convergente de courte focale. L'objet doit être placé entre le centre et le foyer objet.
  • Utilisation optimale : l'objet est placé dans le plan focal de la loupe d'où une observation sans fatigue.

5. Projection d'une image

  • Distance minimale objet-écran pour une lentille de projection donnée = 4f'
  • Deux positions possibles pour la lentille, symétriques par rapport au milieu (objet-écran). On conserve celle de grandissement >1 donc la plus proche de l'objet.
  • Utilisation d'un condenseur entre la lampe et l'objet pour que le maximum de rayons soient dans les conditions de Gauss et pour obtenir une image plus lumineuse.

6. La lunette astronomique [doc]

  • Rôle : augmenter la taille angulaire d'un objet à l'infini tout en diminuant la fatigue oculaire.
  • Elle est formée de deux systèmes optiques convergents : l'objectif et l'oculaire.
  • C'est un système afocal donc F2 = F'1
  • Grossissement angulaire G = α'/α = -f'1/f'2

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