Quelles sont les formules à connaître lorsque l'on étudie l'électromagnétisme ?

Le bloc 2 introduit les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday, prises comme des postulats de l'électromagnétisme. Les seuls calculs de champs électriques exigibles doivent pouvoir être faits par application du théorème de Gauss.

Rappel

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locales de l'espace défini sont alors modifiées ce qui permet de définir la notion de champ.

En effet, si une autre charge se trouve être dans ledit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance.

On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de ladite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz.

Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

Avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacements des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique.

En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique.

Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électrique est donc une composante à part entière du champ électrostatique, mais aussi du champ électromagnétique !

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen. On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

Avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique.

Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi. En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.

D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique. La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

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Notion maîtresse

Champ électrique en régime stationnaire

Sous-notion associée

Pourquoi faut-il apprendre des formules mathématiques ? Il ne faut pas paniquer à la vue de formules. Comprenez les et il deviendra simple de les utiliser.

  • Équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell- Faraday.

Équations de Maxwell-Gauss

James Clerk Maxwell est un physicien d’origine écossaise. Toute sa vie il a travaillé sur les champs électriques et magnétiques et il a également contribué à l’élaboration de nombreuses lois physiques dans son domaine. Il est considéré comme l’un des scientifiques les plus influents du IXXème siècle.

Les équations de Maxwell-Gauss, aussi connues sous le noms d’équations de Maxwell-Lorenz sont des équations fondamentales de la physique. En effet, ces sont elles qui régissent l’électromagnétisme. Elles tiennent leur nom du physicien James Clerk Maxwell d’origine écossaise.

Toute sa vie il a travaillé sur les champs électriques et magnétiques et il a également contribué à l’élaboration de nombreuses lois physiques dans son domaine. Il est considéré comme l’un des scientifiques les plus influents du IXXèmesiècle.

Elle réunit sous la forme d’équations intégrales des lois déjà connues telles que celles de théorèmes de Gauss, Ampère et Faraday. Les équation de Maxwell sont essentielles puisqu’elles démontrent qu’en régime stationnaire, les champs électrique et magnétiques sont indépendants l’un de l’autre, ce qui n’est pas nécessairement le cas lorsque l’on se trouve en régime variable. En effet, dans le cas le plus général, il faut alors parler du champ électromagnétique puisque la séparation entre l’électrique et le magnétique n’est qu’un aspect visualisé par l’Homme.

Notions importantes à retenir

A quoi servent les condensateurs ? On trouve régulièrement des condensateurs dans les circuits électriques des produits électroménagers.

L'énergie reçue pendant un intervalle de temps par un condensateur dans un circuit électrique est l'intégrale de la puissance reçue sur cet intervalle de temps ;

Il faut fournir de l'énergie car des charges sont amenées dans le condensateur à des potentiels non nuls ;

Cette énergie est en fait l'énergie qu'il faut apporter pour créer le champ électrique dans le condensateur ;

L'énergie stockée dans un condensateur donc dans le champ électrique est récupérable, il s'agit donc d'une énergie potentielle.

  • Potentiel scalaire électrique.
  • Propriétés topographiques.
  • Équation de Poisson.
  • Théorème de Gauss. Calculs de champ.

Le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme. Il s'énonce ainsi :

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.

  • Distribution surfacique de charge.
  • Linéarité.
  • Énergie potentielle électrique d'une charge ponctuelle dans un champ électrique extérieur.
  • Analogie entre champ électrique et champ gravitationnel.

Capacités exigibles

  • Citer les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell- Faraday. Particulariser ces équations au régime stationnaire.
  • Relier l'existence du potentiel scalaire électrique au caractère irrotationnel de E.
  • Exprimer une différence de potentiel comme une circulation du champ électrique.
  • Associer l’évasement des tubes de champ à l’évolution de la norme de E en dehors des sources.
  • Représenter les lignes de champ connaissant les surfaces équipotentielles et inversement.
  • Évaluer le champ électrique à partir d’un réseau de surfaces équipotentielles.
  • Établir l’équation locale du deuxième ordre reliant le potentiel à la densité de charge.
  • Énoncer et appliquer le théorème de Gauss. Établir le champ électrique et le potentiel créés par :
    • Une charge ponctuelle,
    • Une distribution de charge à symétrie sphérique.
    • Une distribution de charge à symétrie cylindrique.
  • Utiliser le modèle de la distribution surfacique de charge dans le cas d'une distribution volumique d'épaisseur faible devant l'échelle de description.
  • Établir le champ électrique créé par un plan infini uniformément chargé en surface. Exploiter le théorème de superposition.
  • Établir la relation Ep = qV   . Appliquer la loi de l’énergie cinétique à une particule chargée dans un champ électrique.
  • Établir un tableau d'analogies entre les champs électrique et gravitationnel.

Autres formules demandées

La loi de Coulomb

Coulomb, un physicien français, a établi en 1758 que le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :

  • La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
  • Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
  • Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.

Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 :

    \[ \overrightarrow{ f _ { e } } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } }{ r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \]

Avec :

  •     \[ \overrightarrow { e _ { r } } \]

    le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2

  •     \[ \epsilon _ { 0 } \]

    la permittivité diélectrique du vide

Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare.

Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante :

    \[ \begin{cases} \overrightarrow { f } = q _ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \right] = q _ { 2 } \overrightarrow { E } \\\overrightarrow{ E } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon }\frac { q _ { 1 } } { r ^ { 2 } }\overrightarrow { e _ { r } } \end{cases} \]

Avec :

  •     \[ \overrightarrow { E }  \]

    un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2

Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q1, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.

Principe de superposition

Ce principe peut sembler assez flou, mais une fois appliqué dans un cas concret, sa compréhension est grandement facilité.

Il est possible d'appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :

  • La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
  • Un multiple d'une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.

Dans ce cas, c'est-à-dire celui d'un système physique, on peut appeler l'entrée excitation et la sortie réponse. On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :

  • Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
  • Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .

Calcul de densité d'énergie

Il est possible de définir la densité d'énergie en électrostatique ainsi que la densité d'énergie en magnétostatique, le tout dans le vide, à l'aide des expressions suivantes :

    \[ \rho _ \text { e s } = \frac { 1 } { 2 } \times \epsilon _ 0 \times E ^2 \]

    \[ \rho _ \text { m s } = \frac { B ^2 } { 2 \mu _ 0 } \]

Avec :

  • E le module du champ électrique
  • B le module du champ magnétique
  • ε0 la permittivité du vide
  • et µ0 la perméabilité du vide

Sachez également qu'il est possible de combiner ces formules afin d'obtenir l'expression suivante :

    \[ \rho _ \text { E M } = \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon _ 0 \times E ^2 + \frac { 1 } { \mu _ 0 } \times B ^ 2 \right) \]

Ainsi, lorsqu'il y a présence d'ondes électromagnétiques, il est possible d'utiliser ces expressions afin de calculer la densité d'énergie qui est associée à ces ondes. On peut alors facilement trouver la densité d'énergie d'un gaz de photon, notamment celle associée à un corps noir de température T en utilisant la formule suivante :

    \[ \rho _ \text { C N } = \frac { pi ^2 } { 15 } \frac { \left( k _ B \times T \right) ^ 4 } { \left( h \times c \right) ^3 } \]

Avec :

  • kB la constante de Boltzmann
  • h la constante de Placnk réduite
  • Et c la vitesse de la lumière

Méthode de calcul de champ magnétique

Les méthodes sont numérotées par ordre de priorité. Lorsqu'une action proposée est impossible, passer à la méthode suivante.

Méthode 1 : Théorème de superposition.

  • Décomposer la distribution de courant en quelques distributions simples,
  • Pour chaque distribution, calculer le champ magnétique au point M considéré en utilisant éventuellement les méthodes qui suivent,
  • Additionner les champs en indiquant qu'il s'agit du théorème de superposition.

Attention :

  • Les champs s'ajoutent en un même point M de l'espace,
  • Il s'agit d'une somme vectorielle.

Rappel : somme vectorielle

Méthode 1 :

Utiliser la relation de Chasles en utilisant une notation intrinsèque pour les champs.

Méthode 2 :
  • Déterminer la direction du champ total au point M :
    • Méthode 1 : associer deux par deux des champs symétriques,
    • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants passant par M.
  • Projeter les champs à additionner dans cette direction,
  • Sommer ces différentes projections :
    • Méthode 3 : Faire la somme des composantes dans une base orthonormée bien choisie,
    • Méthode 4 : Somme graphique.

Méthode 2 : Théorème d'Ampère

  • Déterminer l'allure du spectre dans tous l'espace d'étude :
  • Déterminer la direction du champ en un point M quelconque de l'espace :
    • Méthode 1 : associer deux par deux des champs élémentaires symétriques,
    • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants, passant par M.
  • Déterminer les variables dont dépend la norme du champ dans l'espace, en évoquant des arguments d'invariance par translation ou rotation du problème vu par l'observateur,
  • Choisir un contour d'Ampère passant par le point où on cherche le champ : Pour simplifier le calcul de la circulation, le contour doit suivre les lignes de champ ou les couper orthogonalement,
  • Appliquer le théorème d'Ampère.

Méthode 3 : Calcul par intégrale

Pour avoir une méthodologie complète, je vous invite à vous diriger vers notre cours "Calcul d’Intégrales Multiples Vectorielles ou Scalaires".

Méthode 4 - Astuces

Pour une distribution de courant de type solénoïde infini, il faut admettre que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul , puis utiliser le théorème d'Ampère.

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Joy

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