Quelles sont les notions qui seront étudiée lors du programme ?

Le bloc 4 introduit les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Thomson comme des postulats de l'électromagnétisme.

La conservation du flux de B , qui est la traduction intégrale de l'équation de Maxwell-Thomson, est l'occasion de revenir sur les connaissances de première année, où le champ magnétique a été abordé de manière descriptive. Les seuls calculs exigibles de champs magnétiques doivent pouvoir être traités par le théorème d'Ampère, la loi de Biot et Savart et le potentiel vecteur sont hors programme. L'expression de la densité volumique d'énergie magnétique est établie sur le cas particulier d'une bobine longue, sa généralité est admise.

Les distributions surfaciques de courant ne seront pas introduites à ce stade, leur usage étant strictement limité à l’étude de la réflexion d’une onde électromagnétique sur un métal parfait.

Notion principale

Champ magnétique en régime stationnaire

Superprof

Contenu associé

  • Équations de Maxwell-Ampère et Maxwell- Thomson.
  • Conservation du flux magnétique.
  • Théorème d'Ampère.
  • Forces de Laplace.

Capacités exigibles

N'hésitez pas à réviser en groupe afin de rendre l'apprentissage plus agréable

  • Énoncer les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Thomson.
  • Particulariser l'équation de Maxwell-Ampère au régime stationnaire.
  • Exploiter la conservation du flux magnétique et ses conséquences sur les lignes de champ magnétique.
  • Énoncer et appliquer le théorème d'Ampère.
  • Établir l'expression du champ magnétique créé par :
    • Un fil infini ;
    • Un fil épais et infini ;
    • Un solénoïde infini en admettant que le champ extérieur est nul ;
    • Une bobine torique.
  • Exprimer les forces de Laplace s’exerçant sur un conducteur filiforme, sur une distribution volumique de courant.

Les différentes propriétés

Distribution de courant filiforme

Le courant peut avoir différents comportement selon la situation

  • L'intensité électrique est adaptée pour décrire une répartition de courants localisée dans un tube de faible section (cas des fils électriques), tube qui sera "vu" de loin comme un fil dont on néglige l'épaisseur.
  • Définition de l'intensité électrique.

Invariances par translation et rotation

  • Si une distribution de courants est invariante par translation dans une direction donnée, le champ magnétique créé sera également invariant dans cette direction.
  • Si une distribution de courants est invariante par rotation autour d'un axe, la norme du champ magnétique créé sera également invariante par rotation.

Propriétés du champ magnétique en tout point d'un plan de symétrie ou d'un plan d'antisymétrie des courants

Il existe de nombreux type de symétrie, il peut alors être intéressant d'étudier un cas de figure avec chacun un type de symétrie différent

Définitions

  • Un plan de symétrie d'une distribution de courants est un plan qui laisse invariante cette distribution de courants lorsqu'on effectue la symétrie plane.
  • Un plan d'antisymétrie d'une distribution de courants est un plan qui laisse invariante cette distribution de courants mais en inversant les sens des courants lorsqu'on effectue la symétrie plane.

Propriétés

  • En un point appartenant à un plan de symétrie d'une distribution de courants, le champ magnétostatique est orthogonal à ce plan. (Admis)
  • En un point appartenant à un plan d' antisymétrie d'une distribution de courants, le champ magnétostatique appartient à ce plan. (Admis)
  • Les propriétés pour les champs électrostatiques et magnétiques diffèrent : E est un "vrai" vecteur alors que B est un "pseudo" vecteur car défini à partir d'une convention mathématique d'orientation (celle du produit vectoriel).

Plans de symétrie ou d’antisymétrie des courants

Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu'on effectue la la symétrie par rapport à ce plan. Un plan est un plan d'antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu'on effectue la symétrie par rapport à ce plan. En tout point d'un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan. En tout point d'un plan d'antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.

Propriétés topographiques

  • Les lignes de champ magnétostatique sont fermées. Elles enlacent des courants et leur orientation est donnée par la règle du tire-bouchon.

  • Conséquence de la conservation du flux : la norme de B augmente là où les lignes de champ se resserrent et les lignes de champ ne peuvent ni converger en un point, ni diverger d'un point.

Circulation

Théorème d'Ampère

Ces théorème sont à connaître sans fautes

  • La circulation du champ magnétostatique le long d'un contour fermé orienté est égale au produit de la perméabilité du vide par l'intensité algébrique totale qui traverse une surface quelconque qui s'appuie sur le contour, cette surface étant orientée par rapport au contour par la règle du tire-bouchon. (Admis)lien

Conséquences

  • Une ligne de champ fermée enlace obligatoirement un courant.
  • Sens du champ sur une ligne de champ fermée enlaçant un courant donnée par la règle du tire-bouchon.
  • L'utilisation du théorème permet le calcul du champ magnétique dans des cas simples.

Loi de Biot et Savart

  • Champ magnétique créé par une distribution linéique de courants.
  • Discontinuité en distribution linéique : Champ non défini sur le fil.

Exemples de calculs de champs magnétostatiques

Solénoïde “infini”

Calcul de B à l’intérieur du solénoïde

Avec le théorème d’Ampère, en admettant que le champ magnétique est nul à l’extérieur.

Inductance propre

  • Rappel de PCSI : le solénoïde crée un champ magnétique dans lequel il est plongé : il crée donc un flux magnétique propre à travers lui-même. Ce flux propre est proportionnel à l’intensité dans le solénoïde et le coefficient de proportionnalité est appelé inductance propre.

  • Un circuit seul dans l'espace et parcouru par un courant i crée un champ magnétique dans tout l'espace. Le flux de ce champ à travers le circuit lui-même (flux propre) est proportionnel à i. Le coefficient de proportionnalité est l'inductance propre L (ou coefficient d' autolnduction) du circuit, exprimée en henry.

  • L ne dépend que de la géométrie du système et L> 0.

Énergie magnétique et densité volumique associée

Êtes-vous capable de trouver des exemples pour un câble rectiligne “infini” et un fil rectiligne “infini” ?

Action d'un champ magnétique sur un courant

Force de Lorentz dans un champ magnétostatique

  • sur une charge ponctuelle en mouvement

  • sur les porteurs de charge d’un volume élémentaire, force volumique de Lorentz

Pour en savoir plus sur les forces de Lorenz, il est nécessaire de se pencher sur les différents type de champ existant au sein desquels s'exerce cette force.

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locales de l'espace défini sont alors modifiées ce qui permet de définir la notion de champ.

En effet, si une autre charge se trouve être dans ledit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de ladite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz.

Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

Avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes. Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacements des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électrique est donc une composante à part entière du champ électrostatique, mais aussi du champ électromagnétique !

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen. On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

Avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique.

Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi. En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante. D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique. La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ gravitationnel

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non. On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien. En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle. On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable. On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.

ARQS “Magnétique”

Propagation du champ électromagnétique dans le vide

Équation de propagation

Les champs électrique et magnétique vérifient l’équation de d’Alembert.

Vitesse de propagation

La vitesse de propagation du champ électromagnétique dans le vide s’identifie avec la vitesse de la lumière dans le vide.

En quoi consiste l’approximation ?

L'ARQS consiste à négliger la propagation des champs électromagnétiques, plus précisément à négliger le retard de propagation entre la source et le point d’observation. En régime sinusoïdal, le retard de propagation doit être très inférieur à la période de variation (temporelle) des sources. L’approximation revient à ce que la distance source - point d’observation soit très inférieure à la longueur d'onde. En régime quelconque, la condition devient : retard de propagation c’est à dire dimension de l'espace d'étude divisée par c, négligeable devant le temps caractéristique de variation des sources.

Simplification des équations de maxwell

L’ARQS consiste à faire un développement à l’ordre 1 en 1/c ce qui permet de supprimer le terme en 1/c2 de l’équation de Maxwell-Ampère. Les deux champs électrique et magnétique existent et sont encore couplés. Mais la détermination du champ magnétique à partir des courants est identique au cas de la magnétostatique car l'approximation revient à négliger le terme de courant de déplacement.

Attention : le champ électrique ne se calcule pas comme le champ électrostatique : les variations temporelles de champ magnétique sont sources de champ électrique : phénomène d'induction.

Simplification de l’équation de conservation de la charge

L’équation est similaire à celle du régime stationnaire. Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d'un fil.

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Joy

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