Introduction

Le facteur de frottement Darcy-Weisbach, noté f, est très souvent nécessaire pour résoudre de nombreux problèmes de dynamique des fluides, qu'ils soient transitoires ou en régime permanent. Dans les conduites circulaires, ce facteur peut être résolu directement avec l'équation de Swamee-Jain, ainsi que d'autres, mais la plupart de ces équations à cause de leurs complexités, deviennent encombrantes quand l'itération est nécessaire. C'est pour cela que l'on vous recommande vivement de résoudre ce facteur de friction à l'aide du diagramme de Moody.

Aperçu du diagramme

Comment calculer les pertes provoquées par les frictions ? Voici à quoi ressemble le diagramme de Moody-Colebrook représentant le facteur de frottement de Darcy-Weisbach fD tracé en fonction du nombre de Reynolds Re pour diverses rugosités relatives ε / D.

Le frottement de Darcy-Weisbach est calculé grâce à l'équation de Darcy-Weisbach, une équation très importante et très utilisée dans le domaine de l'hydraulique puisqu'elle permet de calculer la perte de charge des conduites. La perte de charge, dans la mécanique des fluide, correspond à la dissipation de l'énergie mécanique d'un fluide en mouvement à cause des frottements. Sans dimension, le nombre de Reynolds est un nombre largement utilisé en mécanique des fluides. Mis en évidence en 1883 par Osborne Reynolds, il permet de caractériser un écoulement et la nature de son régime. Ingénieur et physicien irlandais, Osborne Reynolds est un scientifique ayant largement contribué dans l'avancement de l'hydrodynamique et la dynamique des fluides, notamment grâce à la mise en évidence du nombre de Reynolds.

Description

Le diagramme de Moody est un graphe adimensionnel. Il est très souvent utilisé en ingénierie pour calculer les pertes de charges ou le débit dans un tuyau.

On dit d'une grandeur qu'elle est sans dimension lorsque la grandeur physique, dans son analyse dimensionnelle donne un produit où la totalité des exposants des grandeurs de base sont nuls.

Un peu d'histoire

Ce graphique a été publié pour la première fois en 1944 par Lewis Ferry Moody. Pour représenter ce graphique utilisant différents facteurs, il s'est inspiré du travail de Hunter Rouse grâce aux coordonnées utilisée par R. J. S. Pigott. Le travail de ce dernier étant principalement basé sur l'analyse de près de 10 000 expériences provenant de différentes sources avec des mesures de débits fluides faites dans des tuyaux rendus artificiellement rugueux par J. Nikuradse.

Lewis Ferry Moody est un professeur et ingénieur américain du IXXème siècle. Il est célèbre pour avoir mis au point le diagramme de Moody, un graphe qui utilise le nombre de Reynolds et qui permet de calculer les écoulements en mécanique des fluides.

Le but de Moody était de fournir un graphique représentant graphiquement la fonction produite par C. F. Colebrook qui avait collaboré avec C. M. White. Cette fonction permettait en effet de dessiner une courbe de transition qui reliait la zone de transition entre les tuyaux lisses et les tuyaux rugueux. Autrement dit, la courbe permet de relier la région de turbulence incomplète et le régime transitoire.

Avez-vous une idée du type de régime de l'eau qui a traversé ce tuyau ?

Physicien britannique, Cyril Frank Colebrook a permis à son époque au développement de la mécanique des fluide. Ce scientifique est surtout connu pour son abaque qui permet de donner la rugosité des conduites. L'abaque portant le nom du scientifique peut se déduire d'une formule dite empirique : [frac{1}{sqrt{lambda}}=-2logleft(frac{2,51}{Resqrt{lambda}}+frac{epsilon}{3,7D}right)]

Un abaque est le nom donné à tous les instruments mécaniques plan permettant de faciliter les calculs. On dit qu'une formule est empirique lorsqu'elle peut être obtenue par l'observation et l'expérimentation.

Utilisation du graphique

Avec le diagramme de Moody, il est possible de :

  • Calculer la perte de charge dans des conditions opératoires spéciales données ;
  • Evaluer la rugosité d'une conduite à partir d'une mesure de perte de pression en régime hydrauliquement rugueux ;
  • Calculer le débit susceptible de s'écouler dans une conduite avec une perte de charge et une rugosité données.

Résoudre un problème grâce au diagramme de Moody-Colebrook

  1. La première chose à faire lorsque vous êtes face à une problème de mécanique des fluides est de déterminer le nombre de Reynolds du débit. Dans le cas où vous n'avez pas suffisamment de données pour connaître la vitesse et donc pour calculer le nombre de Reynolds, vous pouvez supposer une vitesse ou un facteur de friction initial. Dans le cas où vous supposez une vitesse initiale, vous pouvez calculer ensuite le nombre de Reynolds. Si vous préférez supposer le facteur de friction (souvent approximé à 0,02), vous pouvez passez directement à l'étape 10. Si votre approximation est correcte, vous trouverez la même réponse qu'avec la vitesse supposée.
  2. Reportez-vous au diagramme de Moody une fois que vous avez votre nombre de Reynolds. Ainsi, si celui-ci se situe dans la plage laminaire ou de transition, vous devez utiliser les équations appropriées. Si le débit est dans la gamme turbulent, vous devez continuer à utiliser le diagramme de Moody.
  3. N'oubliez pas de calculer la rugosité des tuyaux. Notez que cette valeur, sans unitée, est calculé en divisant la rugosité du tube par le diamètre de celui-ci. Attention aux unités.
  4. Attention, ce n'est pas parce que la rugosité de la paroi est nulle, donc que la rugosité relative l'est aussi, que le facteur de friction le sera également.
  5. Sur le côté droit du diagramme de Moody, cherchez la ligne correspondant à la rugosité relative. Si cette ligne n'est pas notée, vous pouvez esquisser la ligne en veillant à ce qu'elle soit parallèle à la ligne correspondant à la valeur la plus proche de la votre.
  6. Suivez cette ligne vers la gauche jusqu'à ce qu'elle se courbe pour atteindre la ligne verticale correspondant alors au nombre de Reynolds de votre flux.
  7. Marquez ce point sur votre diagramme.
  8. Prenez votre règle et suivez la ligne droite parallèle à l’axe des x jusqu’à atteindre le côté gauche du graphique.
  9. Lisez le facteur de frottement correspondant.
  10. Calculez les pertes d'énergie grâce à la valeur du facteur de friction.
  11. Calculez une nouvelle vitesse et le nombre de Reynolds.
  12. Comparez la valeur calculez à la valeur trouvée avec le graphique. Si le nombre calculé est très différent de la valeur du graphique, il est conseillé de refaire les calculs avec la nouvelle valeur de Reynolds. Si les valeurs sont très proches, vos deux réponses ont convergé et vous avez terminez votre exercice.

Quelques exercices

Comment déboucher son évier de cuisine ? Voici un exemple de canalisations sur lesquelles des exercices pourraient se baser.
Envisagez donc bien tous les cas possibles afin d'être prêts pour les différents concours en fin de deuxième année.

Dans les exercices suivants, on va s'intéresser à des écoulement d'eau avec une vitesse moyenne de 1 m.s-1 dans des conduites circulaires pour les deux premières questions puis une conduite de 50 mm de diamètre, pour une vitesse moyenne de 2 m.s-1 pour la troisième question.

Première question

Calculez la perte de charge engendrée par mètre linéaire dans une conduite en fonte de 20 cm de diamètre.

Correction

On place le point correspondant sur le diagramme de Moody pour y lire ensuite l'ordre de grandeur du facteur de frottement f/2 = 0,0027. On constate que le point est situé dans la zone correspondant que régime intermédiaire avec une valeur de 55 Pa.m-1.

Deuxième question

La réponse est-elle identique dans le cas d'une conduite en acier neuve ayant un diamètre de 1 cm. Si non, quelle est la valeur de la perte de charge ?

Correction

En procédant de la même manière que dans la question précédente, on trouve un ordre de grandeur environ égal à 0,0047 pour le facteur de frottement f/2. Le régime est également intermédiaire pour une valeur de 1917 Pa.m-1.

Troisième question

Calculer la perte de charge engendrée par mètre linéaire de conduite pour une conduite neuve où e = 0,05 mm puis pour une conduite rouillée où e = 0,2 mm et une conduite encrassée où e = 2 mm.

Correction

Pour répondre à la question, il faut lire la valeur approche de f/2 le facteur de frottement et lire le régime. Par la suite, il faut ensuite calculer la perte de charge provoquée par un mètre linéaire de conduite. Il peut être intéressant de remarquer que, lorsque la conduite est encrassée, la perte de charge est environ trois fois plus élevée que dans le cas d'une conduite neuve. Afin de maintenir le débit nominal de l'installation, il faut alors utiliser une pompe adaptée.

 e/Rf/2
(Moody)
Régime
(équation)
f/2
(calcul)
ΔPf/L
(en Pa.m-1)
Conduite neuve0,0020,0027Intermédiaire
(Churchill)
2,793.10-3894
Conduite rouillée0,0080,0035Intermédiaire
(Churchill)
3,718.10-31190
Conduite encrassée0,080,008Rugueux
(Nikuradse)
8,068-32582

Comment changer un siphon ? Vous savez maintenant que des canalisations rouillées ou encrassées peuvent être moins performante. C'est pour ça qu'il est important de vérifier régulièrement l'état de la tuyauterie.

Ces exercices ont été conçu afin de vous aider à vous préparer pour les divers examens que vous pourriez passer en fin d'année scolaire. Il est alors conseillé de les retravailler régulièrement et de ne pas hésiter à faire corriger son travail par son enseignant afin de comprendre ses erreurs.

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Joy

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