Introduction

Les équations de Maxwell sont essentielles puisqu’elles démontrent qu’en régime stationnaire, les champs électrique et magnétiques sont indépendants l’un de l’autre, ce qui n’est pas nécessairement le cas lorsque l’on se trouve en régime variable. En effet, dans le cas le plus général, il faut alors parler du champ électromagnétique puisque la séparation entre l’électrique et le magnétique n’est qu’un aspect visualisé par l’Homme.

Comment devenir meilleur en maths ? Les mathématiques sont une composantes essentielles de chaque matière scientifique. En effet, chacune utilise des formules mathématiques afin de prouver une chose ou encore déterminer autre chose. C’est pourquoi il est important d’être au point sur les différentes méthodes de calculs afin de réussir les examens.

Postulats de l’électromagnétisme

Champ électromagnétique

Formule de Lorentz : elle définit le champ électromagnétique par une action sur une charge ponctuelle.

Les quatre équations de Maxwell (1864) : elles relient le champ à ses sources et permettent de le calculer.

En régime quelconque, les équations de Maxwell sont couplées : le champ électromagnétique forme un tout indissociable.

Méthode de superposition

permise par la linéarité des équations de maxwell.

Il est possible d’appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :

  • La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
  • Un multiple d’une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.

Dans ce cas, c’est-à-dire celui d’un système physique, on peut appeler l’entrée excitation et la sortie réponse.

On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :

  • Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
  • Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .

Actions subies par une distribution de charges

Par une distribution volumique de charges : force volumique de Lorentz.

Par un conducteur filiforme : force de Laplace.

Comment isoler un câble électrique ? Nombreux sont les conducteurs filiformes, on peut en trouver partout dans notre quotidien. Avez-vous des idées pour vous entraîner dans vos calculs ?

Propriétés de symétrie

Invariances des sources

Mêmes résultats qu’en électrostatique et en magnétostatique !

Plan de symétrie ou d’antisymétrie des sources

Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu’on effectue la la symétrie par rapport à ce plan.

Un plan est un plan d’ antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu’on effectue la symétrie par rapport à ce plan.

En tout point d’un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan.

En tout point d’un plan d’ antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.

Compatibilité avec l’équation de conservation de la charge

On retrouve à partir de deux équations de Maxwell l’équation démontrée à une dimension et généralisée.

Compatibilité avec l’électrostatique et la magnétostatique

Cas particulier du régime statique

Les charges qui créent le champ sont statiques donc il n’y a pas de courants.

Simplification des équations de Maxwell :

  • Le champ magnétique est nul.
  • Seul le champ électrique existe appelé champ électrostatique.
  • On retrouve les lois locales vues dans le chapitre “Électrostatique”.

Cas particulier du régime stationnaire

Les charges qui créent le champ sont en mouvement mais de façon stationnaire : le vecteur densité de courant est non nul mais indépendant du temps donc les champs sont indépendants du temps.

Simplification des équations de Maxwell :

  • Les deux champs électrique et magnétique existent mais sont découplés.
  • La détermination du champ électrique à partir des charges est identique au cas de l’électrostatique.
  • Le champ magnétique est nommé champ magnétostatique.
  • On retrouve les lois locales vues dans le chapitre “Magnétostatique”.

Contenu physique des équations de Maxwell : forme intégrale

Équation de Maxwell-Gauss

Théorème de Gauss : généralise le théorème déjà vu en électrostatique.

Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d’un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme.

Il s’énonce ainsi :

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.

Conséquences : comme en électrostatique

Le champ électrique est à flux conservatif en dehors des charges : le champ augmente donc quand les lignes de champ se resserrent.

En un point d’où divergent ou convergent les lignes de champ électrique, se trouve une charge.

Équation de Maxwell-Ampère

Théorème d’Ampère généralisé.

Équation du flux magnétique

Généralisation aux régimes variables de la propriété vue en magnétostatique.

Conséquences :

  • La norme de B augmente là où les lignes de champ se resserrent
  • Les lignes de champ ne peuvent ni converger en un point, ni diverger d’un point.
  • On peut définir le flux magnétique à travers un contour.

Équation de Maxwell – Faraday

Forme générale de la loi de Faraday

Lien avec la loi de Faraday de l’induction vue en PCSI

Attention : la circulation du champ électrique n’est pas conservative dans le cas général donc le champ électrique n’est plus lié à un potentiel scalaire par E=-gradV.

Rappels sur les champs

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d’une particule chargée, les propriétés locale de l’espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu’on appelle l’action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu’il est le médiateur de la dite action à distance.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu’elles soient fixes ou mobiles, une force qu’on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d’étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l’action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu’elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l’espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d’étude, les charges sont fixes. Notons d’ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu’en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d’obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu’il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d’un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d’un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d’un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d’étude. Ce champ est donc déduit de l’expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Analogie du champ gravitationnel

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l’espace et dû à la présence d’une masse qui est alors susceptible d’exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non.

On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d’un potentiel scalaire dit newtonien.

En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l’espace et dû à la présence d’une masse susceptible d’exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L’introduction de cette grandeur permet de s’affranchir du problème de la médiation de l’action à distance apparaissant dans l’expression de la force de gravitation universelle.

On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l’espace-temps. L’approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu’ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable.

On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l’expression du champ et du potentiel ne sont différents que d’une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s’appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu’attractif.

Aspects énergétiques

Vecteur de Poynting

Définition

On admet que la direction du vecteur de Poynting donne la direction de propagation de l’énergie électromagnétique, et que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface représente le débit d’énergie à travers cette surface, c’est à dire l’énergie transportée par le champ qui la traverse par unité de temps, c’est à dire aussi la puissance électromagnétique qui traverse la surface.

Équation locale de Poynting

À partir des équations de Maxwell

Interprétation de chaque terme

Densité volumique d’énergie électromagnétique : on admet que chaque élément de volume de l’espace contient une énergie potentielle (donc récupérable) de par la présence d’un champ électrique et d’un champ magnétique.

On reconnaît la puissance volumique cédée à la matière par le champ.

Bilan énergétique dans un volume fixe

ARQS “Magnétique”

Propagation du champ électromagnétique dans le vide

Équation de propagation

Les champs électrique et magnétique vérifient l’équation de d’Alembert.

Vitesse de propagation

La vitesse de propagation du champ électromagnétique dans le vide s’identifie avec la vitesse de la lumière dans le vide.

Retard de propagation

ARQS “magnétique”

En quoi consiste l’approximation ?

L’ ARQS consiste à négliger la propagation des champs électromagnétiques, plus précisément à négliger le retard de propagation entre la source et le point d’observation.

En régime sinusoïdal, le retard de propagation doit être très inférieur à la période de variation (temporelle) des sources. L’approximation revient à ce que la distance source – point d’observation soit très inférieure à la longueur d’onde.

En régime quelconque, la condition devient : retard de propagation c’est à dire dimension de l’espace d’étude divisée par c, négligeable devant le temps caractéristique de variation des sources.

Lien avec l’ARQS de l’électrocinétique

Simplification des équations de maxwell

L’ARQS consiste à faire un développement à l’ordre 1 en 1/c ce qui permet de supprimer le terme en 1/c2 de l’équation de Maxwell-Ampère.

Les deux champs électrique et magnétique existent et sont encore couplés.

Mais la détermination du champ magnétique à partir des courants est identique au cas de la magnétostatique car l’approximation revient à négliger le terme de courant de déplacement.

Attention : le champ électrique ne se calcule pas comme le champ électrostatique : les variations temporelles de champ magnétique sont sources de champ électrique : phénomène d’induction.

Simplification de l’équation de conservation de la charge

L’équation est similaire à celle du régime stationnaire.

Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d’un fil.

Induction (PCSI)

dans le cadre de l’ARQS

Lois de base

Le phénomène d’induction : dans un circuit placé dans un champ magnétique apparaît un courant induit

  • si le champ magnétique est variable avec t

  • ou si le circuit n’est pas fixe.

  • Loi de Lenz (1833) dite loi de modération : les effets du courant induit s’opposent à la cause qui lui a donné naissance.

  • Induction de Neumann : circuit fixe dans champ magnétique variable.

Le courant induit crée un champ magnétique qui s’oppose aux variations du champ initial.

  • Induction de Lorentz : circuit mobile dans champ magnétique stationnaire.

Les forces de Laplace dues au courant induit s’opposent au mouvement du circuit.

  • Loi de Faraday (1834)

Une fem induite apparaît dans un circuit siège d’un phénomène d’induction : elle est égale à l’opposé de la dérivée par rapport au temps du flux magnétique à travers le circuit.

Circuits fixes dans un champ variable

Auto-induction

Comment s'habiller pour un oral ? N’hésitez pas à imaginer différents circuits électriques dans différentes configurations afin de vous exercer. Plus vous le ferez, mieux vous serez prêt pour les concours !

  • Un circuit seul dans l’espace et parcouru par un courant i crée un champ magnétique dans tout l’espace. Le flux de ce champ à travers le circuit lui-même (flux propre) est proportionnel à i. Le coefficient de proportionnalité est l’inductance propre L (ou coefficient d’ autolnduction) du circuit, exprimée en henry.

  • L ne dépend que de la géométrie du système et L> 0.

  • Si l’intensité varie, le champ magnétique créé varie ainsi que son flux, d’où l’apparition d’une f.e.m induite dite d’ autoinduction que l’on calcule avec la loi de Faraday.

  • Lien avec l’ électrocinétique : schématisation par une bobine d’inductance L.

  • Bilan énergétique de l’établissement d’un courant dans un circuit.
  • Établir un courant i dans un circuit n’est pas gratuit d’un point de vue énergétique : il faut un apport égal à 1/2 L i2.
  • Cette énergie est stockée par le circuit et peut être récupérée : il s’agit donc d’une énergie potentielle.
  • Cette énergie est en fait une énergie magnétique emmagasinée dans le champ magnétique créé par ce circuit (montré dans le chapitre magnétostatique pour la bobine).

Induction mutuelle

  • Soit un ensemble de deux circuits parcourus par des courants i1 et i2. Le flux du champ créé par le circuit 1 à travers le circuit 2 est proportionnel à i1. Le flux du champ crée par le circuit 2 à travers le circuit 1 est proportionnel à i2.

  • ADMIS : le coefficient de proportionnalité est le même dans les deux cas : M coefficient d’inductance mutuelle ou inductance mutuelle.

  • M>0 ou M<0.

  • La variation d’un courant dans l’un des circuits induit une f.e.m d’induction mutuelle dans l’autre circuit. Les équations des circuits électriques sont donc couplées.

  • Bilan énergétique de l’établissement d’un courant dans les deux circuits

  • Établir les courants i1 et i2 dans deux circuits n’est pas gratuit d’un point de vue énergétique : il faut un apport égal à 1/2 L1 i12 + 1/2 L2i22+ M i1i2
  • Expression en fonction des flux.

  • Cette énergie est stockée par les circuits et peut être récupérée : il s’agit donc d’une énergie potentielle.

  • On admet que cette énergie est en fait une énergie magnétique emmagasinée dans le champ magnétique créé par les circuits.

  • Elle est donc positive. On en déduit donc la relation M2 < L1L2. Physiquement, cette inégalité traduit le fait qu’une partie des lignes de champ créées par un circuit ne traverse pas l’autre. A la limite, si les circuits sont très éloignés, aucune ligne de champ créée par un circuit ne traverse l’autre, on a M = 0.

  • Dans le cas idéal d’un « couplage total », toutes les lignes de champ créées par un circuit traversent l’autre. On admet que l’on a alors  M2 = L1L2.

  • Exemple d’application : le transformateur parfait, loi des tensions

Circuit mobile dans un champ stationnaire, conversion électromécanique de puissance

Pour comprendre le principe : rail de Laplace

  • Description du dispositif

  • Analyse physique

  • Calcul de la fem induite : utilisation de la loi de Faraday

  • Système d’équations couplées

    • Équation électrique

    • Équation mécanique

  • Bilan énergétique

    • Technique : multiplication du PFD par la vitesse, multiplication de la loi de maille par l’intensité électrique.

    • Conversion de puissance mécanique en puissance électrique : Plaplace + Pind = 0.

Il y a couplage électromécanique parfait. Ce résultat est général pour tout circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire.

Application au haut-parleur électrodynamique

  • Description du haut-parleur

  • Analyse physique

  • Système d’équations couplées

    • Équation mécanique

    • Équation électrique (e étant calculé grâce à la propriété de couplage parfait)

  • Les deux équations différentielles précédentes sont couplées, elles peuvent se découpler comme dans l’exemple du rail de Laplace. Mais on utilise ici la notation complexe.

  • Détermination de l’impédance équivalente du haut-parleur : elle est constituée d’une impédance dite « électrique » et d’une impédance dite « motionnelle » (qui contient les caractéristiques mécaniques du haut-parleur).

  • Bilan énergétique

Convertisseurs électromécaniques en rotation

  • Spire rectangulaire

  • Moteur à courant continu

Courants de Foucault

  • Ce sont les courants induits dans les conducteurs non filiformes.

  • Effets de ces courants :

  • Échauffement du conducteur, d’après la loi de Joule. C’est le principe du chauffage à induction.

  • Freinage du conducteur s’il est en mouvement, d’après la loi de Lenz. C’est le principe du freinage électromagnétique des poids lourds.

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Joy

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