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Définition des chiffres significatifs et applications

Par Yann le 13/02/2018 Ressources > Physique-Chimie > Tout Niveau -PC > Dictionnaire Encyclopédie > Les Chiffres Significatifs

Définition des chiffres significatifs

Lorsqu’un nombre est utilisé pour décrire une grandeur mesurée ou bien calculée, le nombre de chiffres que comporte ce nombre donne une indication sur la précision de la mesure ou du calcul. Ces chiffres sont appelés les chiffres significatifs.

La notion de chiffre significatif est propre aux scientifiques qui manipulent des grandeurs expérimentales toujours entachées d’une certaine incertitude liée à la mesure. Elle permet de :

  • Refléter la précision des valeurs mesurées ou utilisées : plus il y a de chiffres significatifs, plus la mesure est précise.
  • D’obtenir des résultats de calculs dont la précision est cohérente par rapport aux données ayant été utilisées pour faire le calcul

Avec combien de chiffres significatifs cette balance mesure-t-elle le poids ? Les premiers instruments de mesure du poids rendaient des résultats avec un faible nombre de chiffres significatifs.

Comment déterminer le nombre de chiffres significatifs d’une valeur ?

Méthode de détermination du nombre de chiffres significatifs

Description de la méthode

Afin de déterminer le nombre de chiffres significatifs d’une valeur, il faut retenir la règle suivante : dans un nombre, les chiffres significatifs correspondent à l’ensemble des chiffres apparaissant à partir du premier chiffre différent de zéro en allant de la gauche vers la droite.

Application de la méthode

Prenons l’exemple de la longueur 028,500 m : celle-ci contient 5 chiffres significatifs. En effet :

  • le zéro le plus à gauche n’est pas significatif.
  • les chiffres 2, 8, et 5 sont significatifs
  • les deux chiffres 0 se trouvant le plus à droite sont significatifs : ils indiquent que cette longueur est précise millième de près.

Quel est le nombre de chiffres significatifs donné par un mètre ruban ? En mesurant un meuble de 55,6 cm avec ce mètre ruban, j’ai un résultat avec 3 chiffres significatifs.

Cas des zéros

Cette méthode de décompte du nombre de chiffres significatifs implique en particulier que les zéros situés le plus à droite dans un nombre, y compris ceux situés après la virgule, sont significatifs : ils apportent une indication sur la précision du nombre.

Quant aux zéros situés le plus à gauche, il est assez simple de comprendre pourquoi ils sont exclus du décompte du nombre de chiffres significatifs : une simple conversion doit permettre de les éliminer.

En prenant l’exemple d’un arbre qui mesure 0,55 mètres, deux chiffres significatifs sont décomptés, il s’agit des deux chiffres 5. Cette hauteur peut également être convertie en centimètres, l’arbre mesure alors 55 cm. On décompte à nouveau deux chiffres significatifs : à nouveau les deux chiffres 5.

Ainsi, les zéros se trouvant à gauche d’une valeur ne donnent aucune indication sur la précision de la mesure, ils ne sont donc pas significatifs.

Cas des puissances de 10

Quand une valeur est exprimée en notation scientifique avec une puissance de 10, tous les chiffres se trouvant devant la puissance de 10 sont significatifs : la puissance de 10 n’est pas prise en compte dans le décompte des chiffres significatifs.

Prenons l’exemple de la valeur 2,5 x 104. Cette valeur comporte deux chiffres significatifs : 2 et 5.

Quelques exemples de valeurs associées à leur nombre de chiffres significatifs

Le tableau ci-dessous prend d’autres exemples de décompte des chiffres significatifs. Ces derniers sont également soulignés :

0,1073000,0073303,58890,00000090023,230000,05
Nombre de
chiffres significatifs
24225137

Déterminer le nombre de chiffres significatifs dans des opérations simples

Quand les nombres sont manipulés entre eux via des opérations mathématiques de base telles que les multiplications / les divisions / les additions / les soustractions, il faut veiller à garder une certaine cohérence au niveau du résultat, et notamment au niveau du nombre de chiffres significatifs.

Les paragraphes suivants définissent les règles de base à connaître pour présenter des résultats d’opérations de manière cohérente.

Cas des multiplications et des divisions

Multiplication

Lors d’une multiplication, la précision du résultat se trouve être limitée par la précision des termes multipliés : le produit possède une précision équivalente à celle du terme dont la précision est la plus faible.

Afin de fournir un résultat comprenant des chiffres significatifs corrects, il est possible de suivre la méthode suivante :

  1. Déterminer le nombre de chiffres significatifs de chaque terme du calcul.
  2. Repérer parmi les termes du calcul celui qui a le moins de chiffres significatifs. Le résultat aura alors le même nombre de chiffres significatifs que ce dernier.
  3. Effectuer le calcul puis conserver uniquement le nombre de chiffres significatifs déterminé à l’étape 2 en prenant bien soin d’effectuer correctement les arrondis au chiffre supérieur.

Quel est le nombre maximal de chiffres significatifs qu'un appareil puisse afficher ? De nos jours, les outils de calcul les plus puissants peuvent donner des résultats comportant des dizaines de chiffres significatifs. Par souci de simplification, l’utilisation de la notation scientifique est privilégiée.

Remarque : lorsque les valeurs sont très élevées ou inversement très petites, il n’est parfois possible de respecter les chiffres significatifs qu’en adoptant la notation scientifique.

Appliquons la méthode sur un exemple de multiplication : 2,689 x 3,6 x 105

Cette multiplication comporte deux termes : 2,689 et 3,6 x 10 5

  • le premier (2,689) comporte quatre chiffres significatifs
  • le deuxième (3,6 x 105) possède quand à lui deux chiffres significatifs.

Le terme qui a le moins de chiffres significatifs est donc le deuxième (3,6 x 105). Ainsi, le résultat de la multiplication devra être présenté avec deux chiffres significatifs.

La calculatrice fournit le résultat suivant : 2,689 x 3,6 x 105 = 968040

Puisqu’il ne faut conserver que deux chiffres significatifs, il s’agira de garder le premier (9) ainsi que le deuxième (6) qui est arrondi à 7 en tenant compte des autres chiffres du résultats. Cependant, il n’est pas possible d’écrire le résultat sous la forme 970000 car celui-ci comporterait alors trop de chiffres significatifs (5 chiffres significatifs).

La notation scientifique est donc utilisée et le résultat de la multiplication peut alors être écrit de la façon suivante : 2,689 x 3,6 x 10 5 = 9,7 x 105

Division

Pour ce qui est de la division, le même constat peut être fait : la précision du résultat se trouve être limitée par la précision des termes divisés : le quotient possède une précision équivalente à celle du terme dont la précision est la plus faible.

La méthode à appliquer est la même que pour la multiplication.

Remarque : cette méthode peut s’appliquer quelque soit le nombre de termes intervenant, y compris lorsque le calcul combine des divisions et des multiplications.

Appliquons la méthode sur un exemple de division : 500 / 100.

Cette division comporte deux termes :

  • le premier (500) a trois chiffres significatifs
  • quant au deuxième (100), il en comporte également trois

Les deux termes de la division ont le même nombre de chiffres significatifs. Le résultat de la division devra donc être présenté avec trois chiffres significatifs.

La calculatrice (ou le calcul mental !) donne le résultat suivant : 500 / 100 = 5

Puisqu’il faut trois chiffres significatifs, il faut donc faire apparaïtre deux chiffres significatifs supplémentaires : deux chiffres 0 après une virgule.

Le résultat de la division s’écrit donc de la façon suivante : 500 / 100 = 5,00

Cas des additions et des soustractions

La méthode à suivre pour déterminer le nombre de chiffres significatifs du résultat d’une opération d’addition ou de soustraction est différente de la méthode décrite plus haut pour les multiplications et divisions. En effet, dans le cas des additions et des soustractions, il s’agit de se concentrer sur le nombre de chiffres après la virgule.

La méthode à suivre va être la suivante :

  1. Repérer le terme le moins précis : il s’agira du terme qui comporte le moins de décimales.
  2. Retenir son nombre de décimales
  3. Effectuer l’opération d’addition ou de soustraction
  4. Arrondir le résultat de l’opération au même nombre que celui identifié à l’étape 2.

Afin de mettre en application cette méthode, prenons l’exemple de l’addition 256,3 + 1,89

L’addition comporte deux terme :

  • Le premier (256,3) comporte un chiffre après la virgule
  • Le deuxième (1,89) comporte deux chiffres après la virgule

Le premier terme est donc celui qui a le moins de chiffres après la virgule (1 chiffre). Ainsi, le résultat de l’addition devra être affiché avec une décimale.

La calculatrice affiche le résultat 256,3 + 1,89 = 258,19, qui est alors arrondit à 258,2 pour ne garder qu’un seul chiffre après la virgule.

Remarque : compte-tenu de cette règle applicable aux additions et aux soustractions, le nombre de chiffres significatifs du résultat peut être différent de celui des valeurs additionnées ou soustraites (inférieur ou supérieur).

En effet, prenons l’exemple de l’opération suivante : 1,05 + 0,05 = 1,10

  • Selon la règle applicable aux additions et aux soustractions, le résultat de l’opération doit être affiché avec deux chiffres après la virgule.
  • Le premier terme (1,05) comporte 3 chiffres significatifs, tout comme le résultat (1,10).
  • Cependant, le deuxième terme (0,05) ne comporte qu’un seul chiffre significatif.
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Mademoiselle Chimie
Invité

Merci beaucoup !! Explication claire et très synthétique. Merci encore !!