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Le principe d’inertie

Par Yann le 01/08/2017 Ressources > Physique-Chimie > Seconde > Mécanique > Le Principe d’Inertie

Généralités sur la physique newtonienne

La dynamique newtonienne permet l’étude du mouvement des systèmes matériels se déplaçant à des vitesses inférieures à celle de la lumière, alors assimilés à un point : on parle de système ponctuel.

L’objet est défini par :

  • Le référentiel d’étude, caractérisé par un repère le plus souvent cartésien orthonormé, associé à une horloge de temps
  • Sa trajectoire est caractérisée par l’ensemble de positions successives occupées par l’objet au cours du temps. Elle est définie par le vecteur position, dont l’unité est le mètre (m), et dont les coordonnées constituent les équations horaires du mouvement.

    \[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\]

  • Son vecteur vitesse en chaque instant.

    \[\overrightarrow{v}(t)=\frac{\overrightarrow{OM}}{dt}\]

De même, le vecteur vitesse moyenne, égal à la variation est défini de la façon suivante :

    \[\overrightarrow{v_{moy}}=\frac{\triangle \overrightarrow{OM}}{\triangle t}\]

La norme du vecteur vitesse, dont l’unité légale est le mètre par seconde (m.s-1), est calculé de la façon suivante :

    \[v=\parallel\overrightarrow{v}\parallel=\sqrt{(v_{x})^{2}+(v_{y})^{2}+(v_{z})^{2}}\]

  • Son vecteur accélération à chaque instant

    \[\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{V}(t)}{dt}=\frac{d^{2}\overrightarrow{OM}}{d^{2}t}\]

Il est de même direction et même sens que le vecteur vitesse, s’applique au point M et possède une norme exprimée en m.s-2 égale à :

    \[a=\parallel\overrightarrow{a}\parallel=\sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2+(a_{z})^{2}}\]

Définition de l’inertie

La masse d’un corps intervient dans les forces de gravitation, mais elle a également une influence sur le mouvement de ce corps, et plus précisément sur son inertie.

L’inertie est la résistance qu’un corps oppose au changement de son mouvement.

Elle rend difficile la mise en mouvement d’un corps, la modification de sa vitesse et son arrêt. Sans influence extérieure, un corps va conserver sa vitesse, ainsi qu’un mouvement rectiligne uniforme.

L’inertie est directement liée à la masse de l’objet : plus cette dernière est élevée, et plus l’inertie est grande.

Il est en effet plus difficile de lancer ou de stopper un projectile de masse élevée qu’un projectile de masse faible. L’effet d’inertie est rigoureusement proportionnel, comme on peut le voir dans sa formulation : si on double la masse d’un objet, il faudra appliquer une force d’intensité double afin de conserver le même mouvement.

L’énoncé du principe d’inertie

Initialement, l’énoncé de la première loi de Newton, aussi appelé « principe d’inertie », est le suivant :

« Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et le contraigne à changer d’état. »

L’énoncé a, par la suite, été modernisé de la façon suivante :

« Lorsqu’un corps est soumis à des forces qui se compensent ou à aucune force, alors il est soit au repos soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme. »

Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système mécanique est nulle, alors son centre d’inertie G est au repos ou possède un mouvement rectiligne uniforme. Réciproquement, si un corps est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme alors il n’est soumis à aucune force ou à des forces qui se compensent.

    \[\sum\overrightarrow{F_{ext}}=\overrightarrow{\nu_{G}}=constante\]

Ce principe d’inertie concerne les systèmes isolés, qui ne sont soumis à aucune force, et les systèmes pseudo-isolés, qui sont soumis à des forces qui se compensent.

La résultante des forces extérieures appliquées peut être définie de la façon suivante :

    \[\sum\overrightarrow{F_{ext}}=m\times\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\]

On comprend alors que les forces peuvent provoquer une variation du mouvement de l’objet, car la somme des forces appliquées est égale au produit de la masse par la variation du vecteur vitesse.

Le principe d’inertie n’est vérifié que dans des référentiels dits « galiléens ».

Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des mouvements de courte durée par rapport à la rotation terrestre. Son origine est au centre de la Terre, avec des axes en rotation. Tout autre référentiel en mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel terrestre peut aussi être considéré comme galiléen.

Outre le référentiel terrestre, les deux autres référentiels galiléens les plus utilisés en physique newtonienne sont :

  1. Le référentiel de Copernic (dit référentiel héliocentrique) : son origine est au niveau du centre de masse du système solaire (correspondant au centre du Soleil), avec des axes pointant sur 3 étoiles fixes. Il permet l’étude des mouvements des planètes dans le système solaire.
  2. Le référentiel géocentrique : son origine est également au centre de la Terre, mais ses axes sont parallèles aux axes du référentiel de Copernic. Il permet l’étude du mouvement des satellites terrestres.

Comment utiliser le principe d’inertie ?

Le principe d’inertie peut être utilisé pour prévoir le type de mouvement dont est animé un corps.

Si le bilan des forces permet de montrer que les forces exercées sur un corps s’annulent alors il est possible de conclure à l’immobilité ou au mouvement rectiligne uniforme.

Ceci peut s’observer dans la vie de tous les jours. Prenons l’exemple d’un skate, sur lequel est placé une balle immobile par rapport à lui. Si le mouvement du skate est arrêté par un obstacle, la balle continuera sa trajectoire en conservant sa direction et sa vitesse par rapport au sol. Cela s’explique par le fait qu’aucune force n’a été appliquée sur la balle afin d’arrêter son mouvement. On retrouve le même principe avec le mouvement d’une voiture et de ces passagers, d’où l’intérêt d’une ceinture de sécurité.

Inversement si l’on sait qu’un corps est en mouvement rectiligne uniforme alors il est possible d’en déduire que les forces qu’il subit ce compense. Il est alors possible de trouver les caractéristiques d’une force inconnues à partir des autres.

La quantité de mouvement

Le vecteur quantité de mouvement p (kg.m.s-1) d’un point matériel M de masse m se déplaçant à la vitesse v par rapport à un espace de référence R0 est :

    \[\overrightarrow{p}=m\times\overrightarrow{v}\]

C’est un vecteur dépendant du référentiel d’étude, colinéaire au vecteur vitesse, et donc tangent à la trajectoire du point M. Il s’applique au point M, possède la même direction que celle du vecteur vitesse au point M et le sens du mouvement. Sa norme est égale à :

    \[p=\parallel\overrightarrow{p}\parallel=m\times v\]

Dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement d’un système isolé est constant, ce qui explique les phénomènes de propulsions par réaction. En effet, un système isolé constitués de plusieurs corps est soumis à la loi de conservation de la quantité de mouvement.

    \[p=\sum_i^n\overrightarrow{p_{i}}=\overrightarrow{cste}\]

Si la masse m du système isolé est constante, alors :

    \[\overrightarrow{p}=m\times\overrightarrow{v_{G}}=\overrightarrow{cste}\Rightarrow\overrightarrow{v_{G}}=\overrightarrow{cste}\]

On retrouve alors la 1ère loi de Newton, qu’il faudrait donc, pour être plus précis, définir comme une généralisation du principe d’inertie valable pour les systèmes dont la masse varie tels que des particules dans un accélérateur ou une fusée.

Notion de propulsion par réaction

La loi de conservation de la quantité de mouvement permet d’expliquer les collisions ou les éclatements d’un système isolé.

Prenons l’exemple d’une personne (objet A) debout sur une barque (objet B), constituant un système isolé dans un référentiel galiléen. Initialement, la quantité de mouvement du système est nulle.

    \[\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_{A}}+\overrightarrow{p_{B}}\]

Si cette personne décide de sauter vers l’avant, afin d’atteindre une berge par exemple, la barque va effectuer un mouvement vers l’arrière.

    \[\overrightarrow{p'}=\overrightarrow{p'_{A}}+\overrightarrow{p'_{B}}\]

D’après la loi de conservation de la quantité de mouvement, on a alors :

    \[\overrightarrow{p'}=\overrightarrow{p}\Rightarrow\overrightarrow{p'_{A}}+\overrightarrow{p'_{B}}=0\Rightarrow\overrightarrow{p'_{B}}=-\overrightarrow{p'_{A}}\]

En revenant sur la définition du vecteur quantité de mouvement, on comprend alors que les vecteurs quantité de mouvement de A et de B étant opposés, les vitesse de A et de B sont de sens opposée. La barque va donc aller dans une direction opposée à celle du saut : c’est ce qu’on appelle la propulsion par réaction.

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