Chapitres
- 01. Présentation
- 02. Objectifs généraux de formation
- 03. Le champ électromagnétique est composé d'un champ électrique et d'un champ magnétique
- 04. Calculer un champ magnétique : différentes méthodes sont possibles
- 05. Les lois à connaître concernant ce sujet
- 06. Les propriétés des champs électromagnétiques
Présentation
Cette partie est nouvelle pour les étudiants, puisque seule une approche descriptive du champ magnétique a fait l’objet d’une présentation en classe de première S. Cette partie s’appuie sur les nombreuses applications présentes dans notre environnement immédiat : boussole, moteur électrique, alternateur, transformateur, haut-parleur, plaques à induction, carte RFID...
Il s’agit de restituer toute la richesse de ces applications dans un volume horaire modeste, ce qui limite les géométries envisagées et le formalisme utilisé. Le point de vue adopté cherche à mettre l’accent sur les phénomènes et sur la modélisation sommaire de leurs applications. L’étude sera menée à partir du flux magnétique en n’envisageant que des champs magnétiques uniformes à l’échelle de la taille des systèmes étudiés. Toute étude du champ électromoteur est exclue.
L’induction et les forces de Laplace dans un circuit mobile sont introduites dans le cas d’un champ uniforme et stationnaire, soit dans le modèle des rails de Laplace, soit dans celui d’un cadre rectangulaire en rotation. Ce dernier modèle permet d’introduire la notion de dipôle magnétique et une analogie de comportement permet de l’étendre au cas de l’aiguille d’une boussole.
Le succès de cet enseignement au niveau de la classe de PCSI suppose le respect de ces limitations : cet enseignement n’est pas une étude générale des phénomènes d’induction. Corrélativement, l’enseignement de cette partie doit impérativement s’appuyer sur une démarche expérimentale authentique, qu’il s’agisse d’expériences de cours ou d’activités expérimentales.
Objectifs généraux de formation
Les compétences suivantes seront développées dans cette partie du programme :
- Maîtriser les notions de champ de vecteurs et de flux d’un champ de vecteurs
- Évaluer les actions d’un champ magnétique extérieur sur un circuit parcouru par un courant ou par
analogie sur un aimant - Utiliser la notion de moment magnétique
- Connaître ou savoir évaluer des ordres de grandeur
- Analyser qualitativement les systèmes où les phénomènes d’induction sont à prendre en compte
- Maîtriser les règles d’orientation et leurs conséquences sur l’obtention des équations mécaniques et électriques
- Effectuer des bilans énergétiques
- Connaître des applications relevant du domaine de l’industrie ou de la vie courante où les
phénomènes d’induction sont présents et déterminants dans le fonctionnement des dispositifs - Mettre en œuvre des expériences illustrant la manifestation des phénomènes d’induction
Le champ électromagnétique est composé d'un champ électrique et d'un champ magnétique
Le champ électrique
En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locales de l'espace défini sont alors modifiées ce qui permet de définir la notion de champ.
En effet, si une autre charge se trouve être dans ledit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de ladite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz.
Cette force se décompose ainsi : 
Avec :
le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge
le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.
De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes. Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.
On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacements des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.
Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.
Le champ électrique est donc une composante à part entière du champ électrostatique, mais aussi du champ électromagnétique !
Le champ électromagnétique
En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen. On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :
Avec : le champ électrique.
Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi. En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.
De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante. D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique. La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.
Le champ électrostatique
On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.
Calculer un champ magnétique : différentes méthodes sont possibles
Méthode 1 : Théorème de superposition.
- Décomposer la distribution de courant en quelques distributions simples,
- Pour chaque distribution, calculer le champ magnétique au point M considéré en utilisant éventuellement les méthodes qui suivent,
- Additionner les champs en indiquant qu'il s'agit du théorème de superposition.
Attention :
- Les champs s'ajoutent en un même point M de l'espace,
- Il s'agit d'une somme vectorielle.
Rappel : somme vectorielle
Méthode 1 :
Utiliser la relation de Chasles en utilisant une notation intrinsèque pour les champs.
Méthode 2 :
- Déterminer la direction du champ total au point M :
- Méthode 1 : associer deux par deux des champs symétriques,
- Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants passant par M.
- Projeter les champs à additionner dans cette direction,
- Sommer ces différentes projections :
- Méthode 3 : Faire la somme des composantes dans une base orthonormée bien choisie,
- Méthode 4 : Somme graphique.
Méthode 2 : Théorème d'Ampère
- Déterminer l'allure du spectre dans tous l'espace d'étude :
- Déterminer la direction du champ en un point M quelconque de l'espace :
- Méthode 1 : associer deux par deux des champs élémentaires symétriques,
- Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants, passant par M.
- Déterminer les variables dont dépend la norme du champ dans l'espace, en évoquant des arguments d'invariance par translation ou rotation du problème vu par l'observateur,
- Choisir un contour d'Ampère passant par le point où on cherche le champ : Pour simplifier le calcul de la circulation, le contour doit suivre les lignes de champ ou les couper orthogonalement,
- Appliquer le théorème d'Ampère.
Méthode 3 : Calcul par intégrale
Pour avoir une méthodologie complète, je vous invite à vous diriger vers notre cours "Calcul d’Intégrales Multiples Vectorielles ou Scalaires".
Méthode 4 - Astuces
Pour une distribution de courant de type solénoïde infini, il faut admettre que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul , puis utiliser le théorème d'Ampère.
Les lois à connaître concernant ce sujet
La loi de Coulomb
Coulomb, un physicien français, a établi en 1758 que le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :
- La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
- Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
- Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.
Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 : 
Avec :
le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2
la permittivité diélectrique du vide
Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare. Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante : 
Avec :
- un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2
Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q1, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.
Principe de superposition
Il est possible d'appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :
- La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
- Un multiple d'une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.
Dans ce cas, c'est-à-dire celui d'un système physique, on peut appeler l'entrée excitation et la sortie réponse. On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :
- Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
- Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .
Le théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme. Il s'énonce ainsi :
Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.
Théorème d'Ampère
La circulation du champ magnétostatique le long d'un contour fermé orienté est égale au produit de la perméabilité du vide par l'intensité algébrique totale qui traverse une surface quelconque qui s'appuie sur le contour, cette surface étant orientée par rapport au contour par la règle du tire-bouchon. (Admis)lien
Conséquences
- Une ligne de champ fermée enlace obligatoirement un courant.
- Sens du champ sur une ligne de champ fermée enlaçant un courant donnée par la règle du tire-bouchon.
- L'utilisation du théorème permet le calcul du champ magnétique dans des cas simples.
Loi de Biot et Savart
- Champ magnétique créé par une distribution linéique de courants.
- Discontinuité en distribution linéique : Champ non défini sur le fil.
Équations de Maxwell-Gauss
James Clerk Maxwell est un physicien d’origine écossaise. Toute sa vie il a travaillé sur les champs électriques et magnétiques et il a également contribué à l’élaboration de nombreuses lois physiques dans son domaine. Il est considéré comme l’un des scientifiques les plus influents du IXXème siècle.
Les équations de Maxwell-Gauss correspondent aux équations qui régissent l’électromagnétisme. Elles tiennent leur nom du physicien James Clerk Maxwell d’origine écossaise. Toute sa vie il a travaillé sur les champs électriques et magnétiques et il a également contribué à l’élaboration de nombreuses lois physiques dans son domaine. Il est considéré comme l’un des scientifiques les plus influents du IXXèmesiècle. Elle réunit sous la forme d’équations intégrales des lois déjà connues telles que celles de théorèmes de Gauss, Ampère et Faraday. Les équation de Maxwell sont essentielles puisqu’elles démontrent qu’en régime stationnaire, les champs électrique et magnétiques sont indépendants l’un de l’autre, ce qui n’est pas nécessairement le cas lorsque l’on se trouve en régime variable. En effet, dans le cas le plus général, il faut alors parler du champ électromagnétique puisque la séparation entre l’électrique et le magnétique n’est qu’un aspect visualisé par l’Homme.
Les propriétés des champs électromagnétiques
Distribution de courant filiforme
- L'intensité électrique est adaptée pour décrire une répartition de courants localisée dans un tube de faible section (cas des fils électriques), tube qui sera "vu" de loin comme un fil dont on néglige l'épaisseur.
- Définition de l'intensité électrique.
Invariances par translation et rotation
- Si une distribution de courants est invariante par translation dans une direction donnée, le champ magnétique créé sera également invariant dans cette direction.
- Si une distribution de courants est invariante par rotation autour d'un axe, la norme du champ magnétique créé sera également invariante par rotation.
Propriétés du champ magnétique en tout point d'un plan de symétrie ou d'un plan d'antisymétrie des courants
Il existe de nombreux type de symétrie, il peut alors être intéressant d'étudier un cas de figure avec chacun un type de symétrie différent
Définitions
- Un plan de symétrie d'une distribution de courants est un plan qui laisse invariante cette distribution de courants lorsqu'on effectue la symétrie plane.
- Un plan d'antisymétrie d'une distribution de courants est un plan qui laisse invariante cette distribution de courants mais en inversant les sens des courants lorsqu'on effectue la symétrie plane.
Propriétés
- En un point appartenant à un plan de symétrie d'une distribution de courants, le champ magnétostatique est orthogonal à ce plan. (Admis)
- En un point appartenant à un plan d' antisymétrie d'une distribution de courants, le champ magnétostatique appartient à ce plan. (Admis)
- Les propriétés pour les champs électrostatiques et magnétiques diffèrent : E est un "vrai" vecteur alors que B est un "pseudo" vecteur car défini à partir d'une convention mathématique d'orientation (celle du produit vectoriel).
Plans de symétrie ou d’antisymétrie des courants
Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu'on effectue la la symétrie par rapport à ce plan. Un plan est un plan d'antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu'on effectue la symétrie par rapport à ce plan. En tout point d'un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan. En tout point d'un plan d'antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.
Propriétés topographiques
-
Les lignes de champ magnétostatique sont fermées. Elles enlacent des courants et leur orientation est donnée par la règle du tire-bouchon.
-
Conséquence de la conservation du flux : la norme de B augmente là où les lignes de champ se resserrent et les lignes de champ ne peuvent ni converger en un point, ni diverger d'un point.
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