Chapitres
Définition
Qu’est-ce que cela signifie, en fait, additionner des chiffres ?
Avant de l’expliquer, il faut déjà comprendre ce qu’est l’addition d’objets concrets.
Par exemple, on ajoute une part de gâteau à deux autres parts de gâteau dans une assiette. Ou on achète une robe et une chemise avec 2 prix différents.
Additionner, c’est le fait d’ajouter des éléments pour obtenir une somme (un total).
L’addition en mathématiques est la traduction de ce fait traduit avec des chiffres. C’est-à-dire, de façon abstraite. En langage symbolique mathématique, au lieu de dire une part de gâteau + deux parts de gâteau, cela va se traduire par : 1 + 2. Le 1 représente une part de gâteau et le 2 représente 2 parts de gâteau.
Cela se complique un peu quand on veut additionner des grands chiffres. Imaginons qu’une maman souhaite acheter des vêtements à son enfant : une veste à 110 €, un pantalon à 47 € et un tee-shirt à 22 €. Comment additionner 110 + 47 + 22 ?
Nous allons découvrir cela un peu plus loin dans le chapitre le modèle de l'addition avec retenue.
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L'addition d'objets ou addition concrète
Nous verrons par la suite comment additionner des chiffres. Autrement dit, ce qui est abstrait, comme les mathématiques.
Pour l’instant, afin de bien représenter ce qu’est une addition, commençons par illustrer cette opération avec la somme de plusieurs objets.
CAS PRATIQUE :
- Prenez des jetons et faites-en deux tas devant vous.
- Rassemblez les deux tas en un seul. Cela représente le fait d’ajouter des objets (ou des chiffres) pour en faire un seul tas, un seul résultat.
- Séparez-les à nouveau,
- Puis rassemblez-les.
Voici l’addition symbolisée.
Imaginons maintenant que vous vouliez additionner 2 + 3.
- Faites deux tas de jetons, l’un avec deux jetons et l’autre avec 3 jetons.
- Mettez-les ensemble et comptez : le tas compte maintenant 5 jetons.
Refaites l’opération en séparant les jetons.
Cette fois 3 jetons d’un côté et 2 de l’autre, puis réunissez-les.
Vous faites ainsi comprendre le principe de commutativité (qui signifie changement de place) : la somme est toujours de 5. Nous voyons qu’il est donc possible d’inverser les chiffres : 2 + 3 = 3 + 2
En cours de maths en ligne, les chiffres peuvent commuter, changer de place : l’addition reste toujours la même.
L'addition mathématique, une addition abstraite
Maintenant, il s’agit de traduire une addition mais cette fois, avec des chiffres.
Prenez un gâteau divisé en parts.
- Placez-en 2 parts dans une assiette et 3 parts dans une autre.
- Puis mettez-les ensemble dans la même assiette. Le total donne 5 parts de gâteau.
Ce qui nous donne l’addition mathématique suivante : 2 + 3 = 5
L'addition sans retenue
Cependant, cela se complique dès le moment où les chiffres deviennent plus importants et dépassent la dizaine. Reprenons notre exemple de la maman qui achète des vêtements pour son enfant :
- une veste à 110 €
- un pantalon à 47 €
- un tee-shirt à 22 €.
Il va falloir additionner 110 + 47 + 22.
Pour cela, il faut placer les nombres en colonnes, bien alignés :
- les unités sous les unités,
- les dizaines sous les dizaines,
- les centaines sous les centaines, etc.
C'est important de bien conserver ce modèle là, car cela nous permettra d'effectuer les additions de chiffres colonne par colonne.
Toujours commencer par la droite (les unités sont tout à droite).
Ensuite, à la dernière ligne, on met le signe « + » et on tire un trait, comme ceci :
110
+47
+ 22
Commencer par additionner les chiffres des unités (tout à droite). Ici, cela donne :
0
+7
+ 2
=9
Continuer avec la colonne suivante, celle des dizaines :
1
+4
+ 2
=7
Et enfin, faire de même avec les centaines :
1
+0
+ 0
=1
Il ne nous reste plus qu'a restituer l'ensemble des nombres avec les centaines, les dizaines et les unités. La maman achète donc des vêtements pour un total de 179€.
S’il y avait des milliers dans une colonne supplémentaire tout à gauche, il faudrait continuer de la même façon. Vous savez désormais effectuer une addition de n'importe quel nombre sans retenue.
Mais que se passe-t-il si le total dépasse 10 pour les unités, dizaines, centaines... ? Il faut alors faire l’addition avec retenue.
L'addition avec retenue
Prenons la même maman qui achète toujours des vêtements pour son enfant. Mais cette fois-ci, voici ce qu’elle achète :
- une veste à 85 €
- un pantalon à 43 €
- un tee-shirt à 24 €
Il va falloir additionner 85 + 43 + 24.
Pour cela, il faut procéder de la même manière que l’addition sans retenue. Placer les nombres en colonnes, bien alignés :
- les unités avec les unités,
- les dizaines avec les dizaines,
- les centaines avec les centaines
- et les milliers avec les milliers s’il y en a.
Toujours commencer par la droite, la colonne des unités.
Ensuite, à la dernière ligne, on met le signe « + » et on tire un trait, comme ceci :
85
+43
+ 24
------
D’abord additionner la colonne de droite (les unités). Voici ce que cela donne :
5
+ 3
+ 4
= 12
Tout se complique, car la colonne de droite donne un total de 12. Et on ne peut écrire qu’un seul chiffre ! Comment faire ?
Il faut donc poser une retenue : on écrit le 1 en petit au-dessus de la colonne juste à gauche.
Il sera ajouté (additionné) aux chiffres de sa colonne.
La retenue, c’est donc le nombre dizaine + unité (ici 12) décomposé.
On écrit l’unité et on place la dizaine en petit au-dessus de la colonne suivante (juste à gauche puisqu’on part toujours de la droite).
En fait, c’est comme si on mettait en mémoire le chiffre de gauche, ici le 1 du 12 :
1
+ 8
+ 4
+ 2
= 15
Voici ce que donne l’addition de la colonne des dizaines : 8 + 4 + 2 + 1 = 15 (en dessous du trait).
15 étant un nombre à 2 chiffres, il faut aussi poser une retenue, sur la colonne à gauche :
1
+ 0
+ 0
+ 0
=1
Le total des achats de vêtements de la maman est donc associé entre les centaines, les dizaines et les unités soit un total de 152 €.
Nous pouvons résumer l'ensemble de cette addition dans le tableau suivant :
| Valeurs | Centaines | Dizaines | Unités |
|---|---|---|---|
| Retenues | 1 | 1 | |
| 8 | 5 | ||
| + | 4 | 3 | |
| + | 2 | 4 | |
| = | 1 | 5 | 2 |
Comme nous pouvons le constater dans le tableau, nous avons simplement résumé l'ensemble des étapes présentées dans le modèle précédent pour pouvoir arriver au résultat.
Conclusion
Vous avez compris comment additionner des objets pris comme exemples concrets.
Ensuite, pour l’addition mathématique (des nombres abstraits) vous avez pu voir comment effectuer il faut faire des additions en colonnes. Celles-ci sont sans retenue pour les sommes inférieures à une dizaine et avec retenue si la somme dépasse la dizaine.
Il est également possible de faire de l’addition mentalement (calcul mental), mais ceci est une autre approche mathématique qui est plus compliquée à mettre en place et qui se verra dans un autre chapitre.
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