Sommaire :
- Que représente l'accélération ?
- Unité et notation
- Définition mathématique
- Vecteur accélération
- Déterminer l'accélération de la vitesse
- Déterminer l'accélération à partir d'un bilan de forces
- Déterminer l'accélération à partir d'un relevé de positions
- Accélération d'un corps en chute libre
- Expression d'une accélération en g

Que représente l'accélération ?

L'accélération indique comment évolue la vitesse d'un système au cour du temps.

  • Si l'accélération est positive alors la vitesse augmente (le mouvement est dit accéléré) et cette augmentation est d'autant plus rapide que l'accélération est élevée.
  • Si l'accélération est négative alors la vitesse diminue (le mouvement est dit ralenti ou déceléré) et cette diminution est d'autant plus rapide que l'accélération est en valeur absolue élevée.
  • Si l'accélération est nulle alors la vitesse reste constante (le mouvement est dit uniforme)

Unité et notation

L'accélération se note en générale avec la lettre "a" (toujours en minuscule), elle s'exprime en mètre par seconde au carré dont le symbole est m/s 2 ou m.s -2 .

Définition mathématique

L'accélération instantanée d'un systéme est définie comme la dérivée de la vitesse par rapport au temps :

 vecteur accélération =   dvecteur vitesse 
 ________________
dt

Vecteur accélération

Tout comme la vitesse et la position, l'accélération peut être associée à un vecteur ayant même sens, même direction qu'elle et dont la norme correspond à sa valeur. Ce vecteur accélération est défini comme étant la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps:

 vecteur accélération =   dvecteur vitesse 
 ________________
dt

Dans un repère orthonormé (O; vecteur horizontal i ; vecteur vertical j ; vecteur cote k ) il peut être exprimé en fonction des ses composantes suivant les différents axes du repère:
vecteur accélération = a x vecteur horizontal i + a y vecteur vertical j + a z vecteur cote k
Etant donné que l'accélération correspond à la norme du vecteur accélération elle peut être calculée à l'aide de la relation:
racine carré de la somme des carrés des composantes de l'accélération
Ces composantes sont elles-même les dérivées des composantes la vitesses:

 ax =   dvx 
 ________________
dt
 ay =   dvy 
 ________________
dt
 az =   dvz 
 ________________
dt

La vitesse étant elle une dérivée du vecteur position, les composantes du vecteur accélération peuvent s'exprimer sous forme de dérivées seconde des coordonnées du système:

 ax =   d2
 __________________
dt2
 ay =   d2
 __________________
dt2
 az =   d2
 __________________
dt2

Déterminer l'accélération d'un système à partir de sa vitesse

Si l'expression de la vitesse d'un système au cours du temps est connue alors il est possible d'en déduire la valeur de l'accélération.
Exemples simples:
- Si la vitesse est constante:

 a =   dv   or la dérivée d'une constante à une valeur nulle donc a = 0 m/s2
 ________________
dt

L'accélération est donc nulle
- Si la vitesse croit linéairement au cours du temps:
La vitesse peut alors s'exprimer sous la forme v = bt + c où b et c sont des constantes

 a =   dv 
 ________________
dt
 a =  d(bt)  +   d(c) 
 ________________  ________________
dt dt

a = b + 0
a = b
Dans ce cas l'accélération est constante

Déterminer l'accélération d'un système à partir d'un bilan de forces

La seconde loi de Newton (aussi appelée relation fondamentale de la dynamique) établit une relation entre l'accélération d'un système et les forces externes auxquelles il est soumis:
vecteur accélération x m = Σ vecteur force
On en déduit la valeur de l'accélération:
vecteur accélération = (1/m) x Σ vecteur force
En général, pour exploiter cette relation, on utilise la méthode suivante:
- Effectuer un bilan des forces exercées sur le système
- Déterminer la valeur des différentes forces
- Déterminer la valeur des composantes des différentes forces suivant les axes du repère choisi.
- Utiliser la seconde loi de Newton pour exprimer la valeur de chacune des composantes:
a x = (1/m) x ΣF x ; a y = (1/m) x ΣF y ; a z = (1/m) x ΣF z
- La valeur de l'accélération totale peut enfin être calculée, elle correspond à la norme du vecteur accélération et peut donc être obtenue grâce à la relation racine carré de la somme des carrés des composantes de l'accélération

Déterminer l'accélération à partir d'un relevé de positions

Lorsque les positions d'un point sont relevées à intervalles de temps réguliers (notés ici τ ) sur alors il est possible de déterminer graphiquement le vecteur accélération en suivant la méthode suivante pour le point numéro "n" noté An:
- Déterminer le vecteur vitesse pour les deux points qui l'encadrent c'est à dire au point An-1 (point précédent) et An+1 (point suivant). Ces vecteurs vitesse sont alors notés respectivement Vn-1 et Vn+1.
- Tracer, en prenant comme origine le point An le vecteur Vecteur résultant vecteur vitesse n+1 – vecteur vitesse n-1. Ce vecteur possède la même direction et le même sens que le vecteur accélération du système au point An
- Mesurer la norme du vecteur vecteur résultant vecteur vitesse n+1 – vecteur vitesse n-1, celle-ci permet de calculer la valeur de l'accélération: a = || vecteur vitesse n+1 – vecteur vitesse n-1||/ 2 τ

Exemple du tracé du vecteur accélération au point n°3 d'un relevé de positions d'un mobile par différence des vecteur vitesses des points 2 et 4

Tracé du vecteur accélération

Accélération d'un corps en chute libre dans le champs de pesanteur terrestre

Un corps est dit en "chute libre" s'il chute sous l'effet de son poids en l'absence de tout autre force (en particulier en négligeant les frottements de l'air).
Dans ce cas la seconde loi de Newton permet d'obtenir la relation:

 vecteur accélération =  vecteur poids
 ________________
 m
 vecteur accélération =   m x vecteur champ de pesanteur
 _______________________
m

       vecteur accélération = vecteur champ de pesanteur            

Si dans le repère choisi l'axe verticale est orienté vers le haut alors a = ay = -g
L'accélération du système possède une valeur égale en valeur absolue à l'intensité de la pesanteur.

Expression d'une accélération en g

Le paragraphe précédent montre que l'intensité de la pensanteur "g" correspond aussi à l'accélération d'un corps en chute libre , c'est pour cette raison que g est aussi appelé "accélération de la pesanteur" et qu'il est parfois utilisé comme référence pour exprimer d'autres accélérations. Ainsi une accélération de "deux g" est une accélération deux fois plus grande que celle possèdée par un corps en chute libre, "Trois g" est une accélération trois fois plus grande etc.

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Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).