Qu'est ce que la cinématique ?

En physique, l'étude du mouvement d'objet ou d'un corps est appelée cinématique. Ce type d'étude ne s'intéresse qu'à la trajectoire et au temps de parcours (vitesse, accélération), mais pas aux causes du mouvement.

Cette science allie la géométrie classique à la notion de temps.

L'étude de la cinématique a commencé au début du 18e siècle par Pierre Varignon, mathématicien français (1654-1722). Il définit alors le concept d'accélération et démontre que l'on peut calculer la vitesse instantanée d'un objet par calcul différentiel.

Les connaissances en cinématiques sont très utilisées aujourd'hui par les logiciels de modélisation, pour l'élaboration de machines complexes, mais sont également utilisées pour l'étude de la biomécanique (une partie de la biomécanique consiste en l'étude des mouvements du corps humain).

Qu'est ce que la biomécanique ? Exemple de biomécanique : étude du mouvement d'un athlète.

Le point matériel

L'étude d'un objet ou corps entier peut se révéler complexe. En effet, par exemple, si l'objet d'étude est grand ou large, alors les points de départ de leurs trajectoires respectives ne sont pas identiques.

Aussi, si l'objet d'étude effectue également lui même des mouvements intrinsèques, les trajectoires de chaque point de l'objet pourraient être différentes.

En cinématique du point, le corps est réduit en un point représentatif de l'objet. Le plus souvent c'est le centre de gravité de l'objet qui est choisi (point d'application des forces).

Dans le cadre d'un objet plus complexe, avec des articulations par exemple, il peut être judicieux d'étudier également le mouvement au point de contact entre différentes parties de cet objet.

Exemples :

  • Dans le cadre de l'étude du mouvement d'une voiture : son centre de gravité est un point d'étude intéressant, tout comme un point appartenant au pneu d'une de ses roues.
  • Dans le cadre de l'étude du mouvement de rotation d'une grande roue : le centre de gravité d'une nacelle est un point d'étude ainsi que le point de fixation de la nacelle sur la grande roue.

A noter que dans les deux cas, l'étude cinématique donnera des résultats différents au niveau de la trajectoire, de la vitesse et de l'accélération. Les référentiels d'études peuvent également être différents.

Notion de référentiel

L'étude du mouvement d'un objet et de l'expression de sa position, de sa vitesse ou de son accélération nécessitent au préalable le choix d'un référentiel. En effet, un passager dans un train est en mouvement par rapport aux rails mais pas par rapport au train.

Un référentiel est un solide de référence défini par un point et trois axes pointant dans des directions fixes. La trajectoire décrite par l'objet en mouvement dépend du référentiel d'étude.

Les référentiels les plus courants sont :

  • Le référentiel terrestre associé à une portion de surface terrestre qui peut être choisi pour des mouvements de faible amplitude et de durée très faible par rapport à la période de rotation terrestre.
  • Le référentiel géocentrique associé au centre de la Terre et trois axes pointant en direction d'étoiles fixes qui peut être utilisé pour étudier des mouvements de grande amplitude autour de la Terre mais dont la durée est négligeable devant la période de révolution terrestre.
  • Le référentiel héliocentrique associé au centre du Soleil et trois axes pointant en direction d'étoiles pouvant être considérées comme fixes.

Pour illustrer la différence entre ces trois référentiels prenons l'exemple de la pyramide de Khéops :

  1. Elle est immobile depuis des siècles dans le référentiel terrestre.
  2. Elle décrit un mouvement circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique de période 24 h.
  3. Elle décrit un mouvement de translation circulaire uniforme dans le référentiel héliocentrique de période 365.25 jours (c'est le 0.25 qui explique les années bissextile de 366 jours tout les 4 ans).

Exemple de référentiels terrestres :

Reprenons la voiture :

  • l'étude du mouvement de son centre de gravité est intéressant par rapport à la route.
  • L'étude du point appartenant au pneu :
    • peut se faire également par rapport à la route, et il s'agira d'étudier un mouvement circulaire associé à un mouvement rectiligne,
    • ou par rapport à la voiture et seul le mouvement circulaire sera étudié.

L'importance du temps

Ce qui différencie la cinématique du point de la géométrie classique, c'est la prise en compte de la notion de temps.

En effet la position, la vitesse et l'accélération sont dépendantes de l'évolution du mouvement donc du temps. Le temps devra donc est pris en compte pour la description de ces paramètres, d'autant plus lorsque le mouvement n'est pas uniforme.

L'origine du mouvement est généralement appelée to.

Position et vecteur position

Dans quel repère modéliser un mouvement ? Repère orthonormé utilisé pour l'étude de mouvements.

Dans un repère orthonormé, comme présenté ci-dessus, un point M est repéré par ses coordonnées (x, y, z).

Il est également possible de définir le vecteur position qui peut s'exprimer en fonction de ces coordonnées et des vecteurs unitaires du repère :  

    \[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\]

La norme de ce vecteur peut s'exprimer grâce à la relation suivante :  

    \[OM=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\]

Remarque : si l'on étudie un mouvement se produisant dans un plan, alors les relations restent valables à condition de remplacer la coordonnée z par la valeur zéro.

Le vecteur vitesse

Connaissant le vecteur position, il est alors possible de définir le vecteur vitesse. Ce dernier correspond à la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

    \[\overrightarrow{v}=\frac{\text{d}\overrightarrow{OM}}{\text{d}t}\]

Cette relation peut également s'écrire sous la forme suivante :

    \[\overrightarrow{v}=\frac{\text{d}\overrightarrow{x}}{\text{d}t}\overrightarrow{i}+\frac{\text{d}\overrightarrow{y}}{\text{d}t}\overrightarrow{j}+\frac{\text{d}\overrightarrow{z}}{\text{d}t}\overrightarrow{k}\]

Dans cette relation :

  • la dérivée de X par rapport au temps correspond à la composante du vecteur vitesse selon l'axe des abscisses aussi notée vx.
  • La dérivée de Y par rapport au temps correspond à la composante du vecteur vitesse selon l'axe des ordonnées aussi notée vy.
  • La dérivée de Z par rapport au temps correspond à la composante du vecteur vitesse selon l'axe des cotes aussi notée vz.

On peut donc aussi noter cette relation de la manière suivante : 

    \[\overrightarrow{v}=v_{x}\overrightarrow{i}+v_{y}\overrightarrow{j}+v_{z}\overrightarrow{k}\]

Le vecteur accélération

Nous pouvons maintenant définir le vecteur accélération sachant qu'il correspond à la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : 

    \[\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}\]

Cette relation peut également s'écrire sous la forme suivante : 

    \[\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}\overrightarrow{v_{x}}}{\text{d}t}\overrightarrow{i}+\frac{\text{d}\overrightarrow{v_{y}}}{\text{d}t}\overrightarrow{j}+\frac{\text{d}\overrightarrow{v_{z}}}{\text{d}t}\overrightarrow{k}\]

Dans cette relation :

  • la dérivée de vx par rapport au temps correspond à la composante du vecteur accélération selon l'axe des abscisses aussi notée ax.
  • La dérivée de vy par rapport au temps correspond à la composante du vecteur accélération selon l'axe des ordonnées aussi notée ay.
  • La dérivée de vz par rapport au temps correspond à la composante du vecteur accélération selon l'axe des cotes aussi notée az.

On peut donc aussi noter cette relation de la manière suivante : 

    \[\overrightarrow{a}=a_{x}\overrightarrow{i}+a_{y}\overrightarrow{j}+a_{z}\overrightarrow{k}\]

Les types de mouvements/trajectoires fréquent(e)s

 

Qu'est-ce qu'un mouvement complexe ? Trajectoire complexe décrite par un astre.

Les expressions des vecteurs position, vitesse, accélération dépendent du référentiel choisi et du type de mouvement dans ce référentiel.

Ces expressions des vecteurs position, vitesse et accélération sont générales et peuvent être appliquées aux différents types de mouvements classiques :

  • rectiligne,
  • circulaire,
  • hélicoïdale (circulaire selon les axes x et y, et rectiligne selon z),
  • elliptique...

Ces mouvements peuvent être uniformes ou variés. Pour des mouvements plus complexes, il pourront souvent être décomposer en plusieurs mouvements simples.

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Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).

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