Qu'est ce qu'un mouvement circulaire ?

Un point possède un mouvement circulaire si sa trajectoire est un cercle ou une portion de cercle par rapport à un référentiel donnée.

Il peut s'agir :

  • D'une rotation : tout les points de l'objet ont une trajectoire formant un cercle de rayons différents mais de même centre. Par exemple, un satellite tournant autour de la terre ou le point de fixation de la nacelle d'une grande roue.
  • D'une translation circulaire : tous les points de l'objet ont une trajectoire formant un cercle de même rayon mais pas de même centre. C'est le cas de la nacelle de la grande roue. En effet, afin que la nacelle reste horizontale pour que les personnes puissent rester confortablement assises, la nacelle observe un mouvement translation circulaire (les centres des mouvements circulaires de la roue et de la nacelle sont différents).

Mouvement circulaire uniforme

Un mouvement circulaire est dit uniforme si la vitesse reste constante au cours du temps.

Par exemple, une épine dans la roue d'une voiture ayant son régulateur de vitesse à 130 km/h observe un mouvement circulaire uniforme par rapport à la route.

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse d'un mouvement circulaire est tangent au cercle de la trajectoire, donc perpendiculaire au rayon OM durant tout le mouvement (O représentant le centre du cercle et M le point en mouvement).

Le mouvement étant uniforme, le vecteur vitesse est constant en norme. Cependant contrairement à un mouvement rectiligne uniforme (celui de la voiture par rapport à la route par exemple) il n'est pas constant en direction puisqu'il est tangent au cercle de la trajectoire en chaque points du mouvement.

Vecteur accélération

Contrairement à un mouvement rectiligne uniforme, la dérivée du vecteur vitesse n'est pas nulle puisque sa direction change (mais pas sa norme). Par conséquent, l'accélération est elle même non nulle.

Le vecteur accélération pointe en permanence vers le centre du cercle et possède une valeur égale à :

    \[a=\frac{{v^2}}{R}\]

  •  v est la vitesse (m.s-1)
  • R est le rayon du cercle de la trajectoire (m)
  • a est l'accélération (m.s-2)

L'accélération est donc constante en valeur et dépend de la vitesse ainsi que du rayon de la trajectoire.

Comment décrire les vecteurs vitesse et accélération d'un mouvement circulaire uniforme ? Schéma d'un mouvement circulaire uniforme avec la représentation des vecteurs vitesse (en bleu) et accélération (en rouge).

L'accélération est dite centripète. C'est cette accélération qui permet le maintien de la trajectoire de l'objet.

Mouvement circulaire non uniforme

Un mouvement circulaire est dit non uniforme si la vitesse varie au cours du temps.

C'est le cas de la même épine plantée dans le pneu de la voiture au moment de son entrée sur l'autoroute à 90 km/h pendant son accélération jusqu'à 130 km/h avant de mettre le régulateur (ou lors d'un coup de frein).

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse garde les caractéristiques qu'il possède pour un mouvement circulaire uniforme : il est tangent au cercle de la trajectoire mais sa norme varie au cours du temps.

Le vecteur accélération

Dans ce cas les caractéristique du vecteur accélération sont différents de ceux lors d'un mouvement circulaire uniforme. Celui-ci ne pointe plus vers le centre du cercle. Le vecteur accélération peut être alors défini à l'aide d'une composante dite normale pointant vers le centre du cercle et d'une composante tangentielle colinéaire au vecteur vitesse :

    \[{\overrightarrow{a}}={\overrightarrow{a_{n}}}+{\overrightarrow{a_{t}}}\]

L'accélération tangentielle

Cette composante du vecteur accélération est tangente au cercle de la trajectoire et donc colinéaire avec le vecteur vitesse. Sa valeur peut être calculée, à l'aide de la relation :

    \[{a_{t}=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}\]

L'accélération normale

Cette composante du vecteur accélération est normale (perpendiculaire) au cercle de la trajectoire, elle est donc orientée vers le centre du cercle, tout comme l'accélération du mouvement circulaire uniforme. Sa valeur peut être calculée à l'aide de la relation suivante: 

    \[a_{n}=\frac{v^{2}}{R}\]

La vitesse variant par définition au cours du temps, l'accélération normale varie donc elle aussi .

Comment décrire les vecteurs vitesse et accélération lors d'un mouvement circulaire non uniforme ? Schéma d'un mouvement circulaire non uniforme avec la représentation des vecteurs vitesse (en bleu) et accélérations (en rouge).

Notions de vitesse linéaire et vitesse angulaire

Définitions

Lors d'un mouvement circulaire la vitesse peut-être exprimée de deux manières différentes :

  1. la vitesse linéaire en m.s-1 qui est tangente au cercle de trajectoire, généralement notée v. Son équation mathématique est la suivante : 

        \[v=\frac{d}{t}\]

    pour d la distance parcourue et t le temps de parcours.

  2. La vitesse angulaire, qui exprime l'évolution de l'angle de rotation par rapport à sa valeur initiale en rad.s-1, généralement notée ω et l'angle θ. Son équation mathématique est la suivante : 

        \[\omega=\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}\]

    soit après intégration

        \[\theta(t)=\omega.t+\theta_{0}\]

Expression de la vitesse angulaire en fonction de la vitesse linéaire

La distance parcourue par un objet ayant une trajectoire circulaire peut-être définie selon le périmètre du cercle. Ainsi la vitesse, qui est par définition la distance parcourue en fonction du temps, peut s'exprimer de la manière suivante : 

    \[v=2\pi.R.f\]

avec R le rayon et f la fréquence de rotation.

Exprimons maintenant également la vitesse angulaire en fonction de la fréquence de rotation : un tour complet, 2π radian est effectué en une période T (inverse de la fréquence). La vitesse angulaire s'exprimant en radians par unité de temps, on peut donc écrire que : 

    \[\omega=\frac{2.\pi}{T}=2.\pi.f\]

On obtient donc : 

    \[\omega=\frac{v}{R}\]

Expression mathématiques des vecteurs vitesse et accélération lors d'un mouvement circulaire

Dans le plan

On se place dans le plan (x, y). Le mouvement circulaire est de rayon R et de centre O.

On peut alors calculer les coordonnées du point M effectuant un mouvement circulaire :

  • en fonction du temps t et de l'angle θ : 

        \[x_{m}(t)=R.\cos(\theta(t))\]

    en abscisse et 

        \[y_{m}(t)=R.\sin(\theta(t))\]

    en ordonnée

Le plus souvent, ce que nous connaissons (ou cherchons) plus que l'angle θ, c'est la vitesse angulaire. Le tableau suivant donnes ces mêmes coordonnées en fonction du temps t, de la vitesse angulaire et de l'angle de départ, pour le point M, le vecteur vitesse et le vecteur accélération.

 AbscisseOrdonnée
Point M
Vecteur vitesse v
Vecteur accélération a

Les coordonnées du vecteur vitesse étant la dérivée première et le vecteur accélération la dérivée seconde des coordonnées du point M (ou la dérivée première de la vitesse). En effet, nous avons vu plus haut que la vitesse angulaire n'est autre que la dérivée de l'angle et nous savons que l'accélération est la dérivée de la vitesse.

Dans le repère de Frenet

Les vecteurs associés aux accélérations normales et tangentielles peuvent également être exprimés à l'aide du repère de Frenet.

Ce repère, qui peut être utilisé pour toutes les trajectoires curvilignes, a une origine mobile, correspondant au point en mouvement et possède deux vecteurs unitaires nommés N et T, représentés sur le schéma ci-dessous.

Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération s'écrit :  

    \[\overrightarrow{a}=a_{n}\overrightarrow{N}+a_{t}\overrightarrow{T}\]

Qu'est-ce-que le repère de Frenet et ses vecteurs unitaires ? Représentation d'un mouvement circulaire dans un repère de Frenet avec ses vecteurs associés.

Cas particulier de la "force" centrifuge

L'effet centrifuge, appelée à tort force centrifuge, est ressenti par l'objet en rotation. C'est ce qui explique que lors d'un mouvement circulaire un corps à tendance à être éloigné du centre de rotation.

La force centrifuge dans un rond-point

C'est le cas de passager d'une voiture dans un rond point par exemple.

Leur point d'assise ne pouvant bouger, c'est le haut du corps que l'on sent entraîné vers l'extérieur du rond point.

La force centrifuge d'une essoreuse à salade

C'est aussi cet effet là, qu'utilise l'essoreuse à salade pour éjecter rapidement les gouttes d'eau présentes sur les feuilles.

Les gouttes sont projetées sur les parois par effet centrifuge et coulent au fond du récipient (c'est également le cas pour l'essorage lors d'un cycle de lavage en machine à laver).

Vecteur représentant la force centrifuge

La force centrifuge est représentée par un vecteur, qui comme le vecteur vitesse du mouvement circulaire est tangent au cercle de la trajectoire. Cependant son sens est opposé au vecteur vitesse du mouvement.

Expression mathématique de la force centrifuge

La valeur de la force centrifuge est proportionnelle à la masse de l'objet et à la vitesse de rotation de ce dernier. Elle peut être exprimée en fonction de la vitesse angulaire ou linéaire :

    \[F_{cent}=m.\omega^{2}.R=m.\frac{v^{2}}{R}\]

  • ω est la vitesse angulaire en (rad.s-1)
  •  v est la vitesse ( m.s-1)
  • R est le rayon du cercle de la trajectoire (m)
  • m la masse du corps en kg

La force centrifuge est exprimée en Newton (N).

Applications du mouvement circulaire

Au départ, les scientifiques ont commencé à étudier les mouvements circulaires en observant les trajectoire des planètes et de leur satellites (même si l'on sait aujourd'hui que certaines de ces trajectoire forment des ellipses, plus que des cercles).

Ensuite, pour réaliser les premières machines sophistiquées, il a été nécessaire de prévoir le mouvement des composants la constituant. Aujourd'hui des logiciels complexes sont capables d'effectuer des simulations identiques à la réalité. Leur programmation a nécessité la connaissance des équations des trajectoires, notamment des mouvements circulaires (même si aujourd'hui les mouvements les plus complexes sont étudiés aux moyens de capteurs).

Plus concrètement, le compteur kilométrique que l'on peut utiliser sur un vélo ou une voiture, utilise l'équation de la vitesse linéaire d'un mouvement circulaire. En effet, dans ce cas là, la vitesse angulaire nous importe peu car c'est la vitesse de déplacement du véhicule que nous souhaitons connaitre.

En pratique, le rayon de la roue est connu, il ne reste qu'à mesurer la fréquence de rotation des roues. Sur un vélo par exemple un émetteur est fixé sur un rayon de la roue (il observera un mouvement circulaire) et d'un capteur sur la fourche (il n'observe pas de mouvement circulaire). Le capteur peut ainsi mesurer la fréquence de rotation. Le compteur qui affiche directement la vitesse possède un programme effectuant le calcul.

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Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).

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