Principes de la dynamique newtonienne

La dynamique newtonienne (ou dynamique du point matériel) est une partie indispensable de la mécanique, et donc de l’étude du mouvement dans un référentiel galiléen. Elle permet d’étudier les mouvements d’objets macroscopiques se déplaçant à des vitesses inférieures à celle de la lumière, contrairement à la mécanique quantique qui étudie les mouvements des particules et objets à très grande vitesse. Tous ces principes ont été regroupés dans l’ouvrage Principes mathématiques de la philosophie naturelle, écrit par Isaac Newton en 1686.

Il est important de noter que ces principes, de par leur nature, ne se démontrent pas.

Notion de référentiel

Un référentiel d’étude est le solide par rapport auquel le mouvement d’un corps sera décrit. C’est dans ce référentiel que sera définit le repère d’espace qui sera utilisé pour suivre le mouvement, parmi l’infinité de repères existants. Le plus souvent, ce repère sera cartésien et orthonormé. Un point M y sera repéré par 3 coordonnées (x, y, z). Ces 3 coordonnées sont fonction du temps : c’est le vecteur position OM, dont l’unité est le mètre.

    \[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\]

Qu'est-ce qu'un référentiel d'étude Un exemple du type de référentiel d'étude le plus utilisé en dynamique newtonienne

Vecteur quantité de mouvement

Le vecteur quantité de mouvement p (kg.m.s-1) d’un point matériel M de masse m se déplaçant à la vitesse VM/R0 par rapport à un espace de référence R0 est :

    \[\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{V}_{M/R_{0}}\]

C’est un vecteur dépendant du référentiel d’étude, colinéaire au vecteur vitesse VM/R0, et donc tangent à la trajectoire du point M.

Dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement d’un système isolé est constant, ce qui explique les phénomènes de propulsions par réaction.

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse, utilisé dans la définition du vecteur p est la dérivée du vecteur position OM par rapport au temps :

    \[\overrightarrow{v}(t)=\frac{\overrightarrow{OM}}{dt}\]

C’est un vecteur dont la direction est une droite tangente à la trajectoire au point M. Son sens est celui du mouvement, et il s’applique au point M. Sa norme, exprimée en m.s-1, est égale à :

    \[v=\parallel\overrightarrow{v}\parallel=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\]

Enfin, le vecteur vitesse moyenne est égal à :

    \[\overrightarrow{v_{moy}}=\frac{\triangle \overrightarrow{OM}}{\triangle t}\]

Vecteur accélération

Le vecteur accélération au point M, noté a, caractérise la variation du vecteur vitesse par rapport au temps.

    \[\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{V}(t)}{dt}=\frac{d^{2}\overrightarrow{OM}}{d^{2}t}\]

Il est de même direction et même sens que le vecteur vitesse, s’applique au point M et possède une norme exprimée en m.s-2 égale à :

    \[a=\parallel\overrightarrow{a}\parallel=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\]

1. La première loi de Newton : principe d’inertie

L’énoncé originel de la première loi de Newton est le suivant : « Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et le contraigne à changer d’état. »

Dans les études de dynamique newtonienne, le référentiel sera dit galiléen (« inertial frame of reference » en anglais) si le principe d’inertie y est vérifié. On différencie 3 référentiels galiléens en particulier :

  • Le référentiel de Copernic (dit référentiel héliocentrique) : son origine est au niveau du centre de masse du système solaire (correspondant au centre du Soleil), avec des axes pointant sur 3 étoiles fixes. Il permet l’étude des mouvements des planètes dans le système solaire.
  • Le référentiel terrestre : son origine est au centre de la Terre, avec des axes en rotation
  • Le référentiel géocentrique : son origine est également au centre de la Terre, mais ses axes sont parallèles aux axes du référentiel de Copernic. Il permet l’étude du mouvement des satellites terrestres.

Qu'est ce qu'un référentiel galiléen La Terre constitue un référentiel galiléen car le principe d'inertie y est vérifié

Un énoncé plus moderne du principe d’inertie serait donc : « Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système mécanique est nulle, alors son centre d’inertie G est au repos ou possède un mouvement rectiligne uniforme. »

    \[\sum\overrightarrow{F_{ext}}=\overrightarrow{\nu_{G}}=constante\]

Utilisation de la première loi de Newton

La réciproque de la loi énoncée étant vraie, deux utilisations sont possibles.

Première possibilité : si les forces qui s'exercent sur un système sont connues, alors la première loi peut être utilisée pour montrer qu'il est en équilibre (immobile) ou qu'il possède un mouvement rectiligne uniforme. Il faut alors montrer que le système n'est soumis à aucune force (il est isolé) ou que les forces auxquelles il est soumis se compensent (il est pseudo isolé) ce qui, dans ce dernier cas, nécessite de faire un bilan des forces.

Utilisation de la première loi de Newton pour prouver qu'un système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme

Il est cependant pratiquement impossible pour un objet sur Terre d'être totalement isolé : on le considérera donc pseudo-isolé. C'est le cas d'un objet posé sur une table par exemple : la force de gravité exercée par la Terre sur l'objet est compensée par la force du support.

Deuxième possibilité : si l'on sait qu'un solide est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la première loi de Newton peut être utilisée pour montrer qu'un système est isolé ou pseudo-isolé. Dans ce dernier cas, la somme vectorielle des forces est nulle et il est alors possible de déterminer les caractéristiques d'une des forces appliquées au système si les autres sont connues.

Par exemple, si un système immobile est soumis à 3 forces F1, F2 et F3, d’après la réciproque de la première loi de Newton :

    \[\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}}+\overrightarrow{F_{3}}=0\]

2. La deuxième loi de Newton : la dynamique

Cette loi est aussi appelée « principe fondamental de la dynamique » (PFD).

L’énoncé original de la deuxième loi de Newton est le suivant : « Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice ; et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée. »

Le mouvement des corps est provoqué par l’application d’une force extérieure sur l’objet, qui correspond à une grandeur vectorielle Fext ayant une direction, un sens et une intensité traduite par une norme. Cette force, dont l’intensité est exprimée en newton (N), traduit les « efforts » mis en œuvre pour mettre en mouvement l’objet : lorsqu’une action extérieure est exercée sur un corps, le mouvement de ce corps (et donc sa vitesse) est modifiée. Une accélération non nulle apparaît alors sous l’effet de la force.

On peut donc comprendre l’énoncé de la manière suivante : « Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des force extérieures (notée ∑Fext) exercées sur un système ponctuel est égale à la dérivée du vecteur quantité de mouvement de ce système par rapport au temps. »

    \[\sum\overrightarrow{ab}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}\]

Utilisation de la deuxième loi de Newton

Le plus souvent, cette loi est utilisée pour des systèmes fermés, c'est à dire des systèmes dont la masse (m) est constante. La masse est ici définie comme la quantité de matière contenue dans un corps. Son unité est le kilogramme (kg).

Dans ce cas, la loi se simplifie :

    \[\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\frac{d(\overrightarrow{mv})}{dt}=m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m\overrightarrow{a}\]

Dans le cas d'un système fermé, la force résultante F exercée sur un point matériel, de masse m donnée, est égale au produit de la masse du point et de son accélération a.

    \[\sum\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\]

Cette expression permet également d'affirmer que plus la masse d'un objet est élevée, plus son accélération sera faible : la masse est inversement proportionnelle à l'accélération. De même, la masse s'opposant à la variation de vitesse, plus elle sera élevée, plus l'inertie sera importante.

Il est important de noter que dans le cas où

    \[\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=0\]

Alors

    \[\frac{d(\overrightarrow{mv})}{dt}=0\]

Cela qui signifie que la vitesse est constante. On se retrouve donc dans une situation identique à la première loi de Newton.

Cette expression de la deuxième loi de Newton permet de déterminer la valeur de l'accélération à partir des forces qui s'exercent sur le système. Une fois l'accélération connue, il est possible de déterminer la vitesse, puis les coordonnées du système au cours du temps.
En général, on utilise cette expression en projetant les vecteurs sur les axes d'un repère.
Par exemple dans le cas d'un système soumis à trois forces dans un repère cartésien on obtient les équations suivantes :

    \[F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=a_{x}\]

    \[F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=a_{y}\]

    \[F_{1z}+F_{2z}+F_{3z}=a_{z}\]

La troisième loi de Newton : actions réciproques

Cette loi aussi appelée « principe des actions réciproques » ou « loi de l'action et de la réaction ».

L’énoncé original de la troisième loi de Newton est le suivant : « L’action est toujours égale à la réaction, c’est-à-dire que les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales et de sens contraires. »

For every action, there is an equal and opposite reaction.

Cet énoncé se traduit de la façon suivante : Soit A et B deux corps en interaction. Si un système A exerce une force FA/B sur un système B, alors le système B exerce aussi sur le système A une force FB/A ayant même droite de direction mais un sens opposé.

    \[\overrightarrow{F_{a/b}}=-\overrightarrow{F_{b/a}}\]

Cette loi est valable pour toutes les forces, qu’elles s’exercent à distance ou par contact.

Qu'est ce que la loi de l'action et de la réaction Le principe des actions réciproque est appliqué ici entre l'objet A, de masse mA, et l'objet B, de masse mB.

C'est cette loi qui s'observe lorsque qu'un aimant et un morceau de fer de même masse se font face. L'aimant et le morceau de fer seront "attirés" l'un vers l'autre avec la même vitesse, ce qui montre qu'ils sont soumis à des forces égales et opposées. Ces deux éléments vont donc entrer en collision, puis s'immobiliser.

Il est cependant important de ne pas oublier que les deux forces évoquées ne s'annulent pas entre elles.

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) (4,42/ 5 pour 106 votes)
Loading...

Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).

Vous avez aimé
cette ressource ?

Bravo !

Téléchargez-là au format pdf en ajoutant simplement votre e-mail !

{{ downloadEmailSaved }}

Votre email est invalide