Qu'est-ce le travail d'une force ?

Le travail d'une force traduit les échanges d'énergie qui s'opèrent sur un système en mouvement d'un point A vers un point B.

Cette notion a été introduite pour la première fois par Gaspard-Gustave Coriolis (polytechnicien français) au début du XIXe siècle pour affiner la notion de ce qui était alors appelée puissance mécanique. Cette appellation mal définie entraînait des approximations lors d'études mécaniques.

Notation et unité

Le travail d'une force qui s'exerce sur un système ne peut s'exprimer que lorsque ce système est en mouvement. Si par exemple le système se déplace d'un point A à un point B, alors le travail se note : 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{F})\]

Le travail s'exprime dans la même unité que l'énergie, en général en joule (ce sont également des Newtons par mètres).

Voici quelques exemples de transfert d'énergie nécessaires à une action :

ActionEnergie pour soulever une pomme de 100 g d'1 mètre sur TerreEnergie nécessaire à un enfant de 30 kg pour monter à l'étage (environ 3 m)Energie nécessaire à un rugbyman de 100 kg pour effectuer un course de 50 mEnergie nécessaire à un cycliste pour effectuer 25 km sur le plat
Ordre de grandeur en joule110005000500 000

Travail d'une force conservative

Par définition, une force est dite conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi par le système en mouvement.

Ainsi, quel que soit le chemin suivi pour aller d'un point A à un point B, le travail de cette force a toujours pour expression le produit scalaire du vecteur force par le vecteur trajectoire :

    \[W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB}\]

  • avec la force F en Newtons
  • et le chemin AB en mètres

Les principales forces conservatives sont les forces gravitationnelles (poids) et électrostatiques.

Travail d'une force constante lors d'un déplacement rectiligne

Si un système est soumis à une force constante lors d'un trajet rectiligne d'un point A à un point B, alors les forces sont conservatives, et le travail de cette force correspond à la formule vue plus haut : 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB}\]

Pour quantifier le travail de la force, il faut alors connaitre les normes (distances) des vecteurs. Si l'angle entre les deux vecteurs est noté α, alors l'expression du travail devient : 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{F})=F\times AB\times\cos\alpha\]

 

 

Qu'est-ce que le travail d'une force ? Schéma de la force F s'exerçant sur un point mobile avec un mouvement rectiligne uniforme allant de A à B.

 

Cas particuliers de travaux de forces constantes lors d'un déplacement rectiligne

Voici quelques cas particulier d'angles, très souvent rencontrés :

  • Si α = 90° alors cos (90) = 0 donc le travail est nul (Toute force perpendiculaire à la trajectoire à un travail nul car un produit scalaire est nul lorsque deux vecteurs sont à 90°).
  • Si α < 90° alors cos (90) > 0 et la valeur du travail est positive : il s'agit d'un travail moteur.
  • Si α > 90° alors cos (90) < 0 et la valeur du travail est négative : il s'agit d'un travail résistant.
  • Si α = 0 alors cos (0) = 1 et alors WAB = F x AB.
  • Si α = 180°  alors cos (180) = -1 et alors WAB = - F x AB.

Travail d'une force lors d'un mouvement circulaire

Si le système étudié est une grande roue tournant sur son axe, la force qui s'exerce sur le point de fixation d'une nacelle, est la force centripète. Son vecteur force est de même sens et direction que le vecteur accélération (dite accélération centripète). Ce vecteur est selon le diamètre de la grande roue et est dirigé vers le centre. Ceci signifie que le vecteur de la force centripète est perpendiculaire en tout point de la trajectoire. Ainsi le travail de la force est nul car le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est toujours nul.

Ceci explique que la roue tourne sur elle-même et que le centre de rotation reste immobile.

Dans le cas d'une roue de voiture ou d'une roue de vélo en descente, la force centripète n'est pas la seule à s'exercer sur la roue (force du moteur du véhicule ou poids pour le vélo en descente), ce qui explique le mouvement. La force centripète, à l'origine de la rotation de la roue aura toujours un travail nul.

Le travail du poids

Cas de la chute libre d'un corps

Un corps en chute libre n'est soumis qu'à la force de son poids. Le travail s'exprime alors de la manière suivante : 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{P})=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{AB}\]

Lorsque que l'on passe aux norme des vecteurs, on a : 

    \[P=mg\]

d'où 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{P})=mg(Z_{A}-Z_{B})\]

Nous voyons donc que pour un corps donné de masse m, le travail du poids ne dépend que de l'altitude.

Cas d'un skieur glissant sur une piste

Prenons maintenant le cas, qui semble plus complexe, d'un skieur descend sans élan un piste de ski. Le poids de son corps et de ses équipements est donc la seul force exercée. Ainsi que vu plus haut, le poids est une force est conservative, et son travail ne dépend pas du chemin suivi. Seuls les positions de A et B comptent (Cela dépend de la distance et de la pente).

Reprenons la définition du travail d'un poids : 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{P})=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{AB}\]

De la même manière que pour la chute libre, exprimons le travail en fonction des normes des vecteurs : 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{P})=m.g. AB.\cos\alpha\]

Exprimons alors le cos α en fonction des distances. Sur le schéma, le triangle vert est rectangle. On peut donc écrire : 

    \[\cos\alpha=\frac{cote\ adjacent}{hypothenuse}\]

    \[\cos\alpha =\frac{Z_{A}-Z_{B}}{AB}\]

d'où 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{P})=m.g. AB.\frac{Z_{A}-Z_{B}}{AB}\]

soit 

    \[W_{AB}(\overrightarrow{P})=m.g.(Z_{A}-Z_{B})\]

Soit la même expression que dans le cas de la chute libre.

Le travail du poids ne dépends donc que de la variation d'altitude.

 

Quel est le travail du poids ? Trajet d'un skieur sur une piste de ski

 

Travail d'une force frottement

Les forces de frottement sont des forces non conservatives et leur travail dépend donc du trajet suivi : en général plus le trajet est long et plus le travail des forces de frottement est élevé.

Ainsi, pour garder une vitesse constante, en général, plus le trajet est long et plus le travail moteur devra être important pour compenser les forces de frottement.

Le travail des forces de frottement ne peut être exprimé par la relation déjà vue que lorsque le mouvement est rectiligne.

Les forces de frottements sont toujours opposées au mouvement. Ainsi, géométriquement, les forces de frottement lors d'un mouvement rectiligne, sont toujours orientées avec un angle de 180° par rapport au déplacement. Leur travail s'exprime alors par la relation :

    \[W_{AB}(\overrightarrow{f})=-f.AB\]

Travail d'un ensemble de force

Dans la réalité, il n'est pas rare de constater que plus d'une force s'applique au corps étudié. En effet, un cycliste lancé dans une pente va pouvoir également pédaler. Ainsi, en plus du travail de la force du poids cycliste + vélo, s'ajoute la force motrice apportée par le cycliste appuyant sur les pédales.

Si différentes forces sont appliquées à des points effectuant tous le même trajet de A vers B, les travaux des forces s'additionnent :

    \[W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{F_{2}}.\overrightarrow{AB}+..+\overrightarrow{F_{n}}.\overrightarrow{AB}\]

A noter que les travaux de chaque force s'additionnent algébriquement, ce qui signifie que si les forces sont de mêmes intensités mais de sens opposés, alors le travail total est nul.

Puissance

Le travail d'une force rend compte d'un transfert d'énergie utile à un déplacement. Cependant, il ne rend pas compte de l'énergie nécessaire pour effectuer se déplacement en un temps donné (vitesse).

La puissance d'une force rend compte de la rapidité du transfert d'énergie et donc tient compte du temps nécessaire à la réalisation du déplacement (vitesse).

L'expression de la puissance est la suivante : 

    \[P_{AB}(\overrightarrow{F})=\frac{W_{AB}(\overrightarrow{F})}{t_{2}-t_{1}}\]

Si les forces s'exercent sur des points effectuant le même trajet de A vers B, alors les travaux s'additionnerons et la puissance totale pourra être calculée de la manière suivante : 

    \[P_{AB}(\overrightarrow{F})=\frac{W_{AB}(\overrightarrow{F1})+W_{AB}(\overrightarrow{F2})+...}{t_{2}-t_{1}}\]

Les unités classiques de mesure de puissance sont des watts (Joules par seconde).

Exemples de puissances lors de mouvement rectiligne uniforme

 

 

Qu'est-ce que la puissance mécanique ? Formule 1 lancée à pleine puissance.

La puissance est une grandeur très utilisée pour comparer des véhicules. Si l'unité généralement utilisée est l'unité historique du cheval vapeur, nous l'exprimerons ici la puissance en watt. Aujourd'hui, l'avantage de l'utilisation du cheval-vapeur est de manier des nombres de l'ordre de quelques dizaines à quelques centaines plutôt que de la centaine de milliers dans le cas des watts.

Comparons les puissances au démarrage de deux formules 1 sur la ligne de départ d'un circuit. Le travail du moteur de chacune est de 3,3 MJ, cependant les mécaniques de ces deux formules 1 sont différentes. Ainsi, le démarrage de la première formule 1est plus performant et cette voiture parcourt 150 m en 5 secondes. La seconde formule 1 parcourt 150 m en 5.5 secondes.

Calculons maintenant les puissances déployées par ces deux véhicules :

    \[P_{AB1}(\overrightarrow{M})=\frac{3300000}{5}=660000\ W\]

    \[P_{AB2}(\overrightarrow{M})=\frac{3300000}{5,5}=600000\ W\]

Pour un même travail, la seconde formule 1 est moins puissante car son transfert d'énergie est plus lent.

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Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).

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