I. ÉQUATIONS LOCALES DE L’ÉLECTROMAGNÉTISME

1. But de l’électromagnétisme.

  • But de l’électromagnétisme : Décrire l’action d’une distribution de charges sur une autre.
  • Utilisation d’un intermédiaire qu’est le champ électromagnétique. Il faut donc savoir
    • déterminer le champ créé par une distribution de charges
    • déterminer l’action subie par l’autre distribution dans ce champ.
  • Le champ électromagnétique n’est pas un simple intermédiaire de calcul. C’est une entité physique à part entière comme le montre l’étude des phénomènes de propagation.

a. Description d’une distribution de charges.

  • Densité volumique de charge.
  • Densité volumique de courant.

b. Champ électromagnétique créé par une distribution de charges : Equations de Maxwell

  • Quatre équations de Maxwell qui relient les champs électromagnétiques aux charges.
  • Les équations de Maxwell sont linéaires : on a donc le théorème de superposition des solutions.
  • En régime quelconque, les équations de Maxwell sont couplées : le champ électromagnétique forme un tout indissociable.

c. Actions subies par une distribution de charges.

  • Par une charge ponctuelle : force de Lorentz.
  • Par une distribution volumique de charges : force volumique de Lorentz.
  • Par un conducteur parcouru par un courant : force de Laplace.
    • Interprétation de l’origine de la force de Laplace.
    • Règle du flux maximum (admise) : les forces de Laplace sur un circuit fermé tendent à rendre le flux du champ magnétique maximal à travers le circuit.
  • Par un dipôle électrique : expression de la résultante et du moment résultant.
    • action principale: tendance à l’alignement dans le champ électrique.
    • action secondaire: tendance à se déplacer vers les zones de champ fort.
  • Par un dipôle magnétique: expression de la résultante et du moment résultant.
    • action principale: tendance à l’alignement dans le champ magnétique.
    • action secondaire: tendance à se déplacer vers les zones de champ fort.

2. Symétries du champ électromagnétique.

  • Un plan est un plan de symétrie d’un problème si les sources du champ restent inchangées lorsqu’on effectue la symétrie par rapport à ce plan.
  • Un plan est un plan d’ antisymétrie d’un problème si les sources du champ sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu’on effectue la symétrie par rapport à ce plan.
  • Le champ électrique est un « vrai » vecteur donc
    • en tout point d’un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan,
    • en tout point d’un plan d’ antisymétrie des sources, le champ électrique est orthogonal à ce plan.
  • Le champ magnétique est un « pseudovecteur » (sa définition inclut la convention arbitraire d’orientation du produit vectoriel) donc
    • en tout point d’un plan de symétrie des sources, le champ magnétique est orthogonal à ce plan,
    • en tout point d’un plan d’ antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan.

3. Equation locale de conservation de la charge.

a. Intensité électrique.

  • Par définition, c’est un débit de charge algébrique à travers une surface orientée.
  • Par le calcul, on obtient le flux du vecteur densité de courant à travers cette surface. L’intensité dépend donc de la surface.

b. Bilan de conservation de la charge.

  • Formulation intégrale.
  • Equation locale de conservation de la charge.

c. Démonstration de l’équation locale de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell.

  • La rapidité de cette démonstration mathématique se fait au détriment de la compréhension physique.

4. Contenu physique des équations de Maxwell.

a. Equation de Maxwell- Gauss.

  • Théorème de Gauss.
  • Conséquences :
    • Le champ électrique est à flux conservatif en dehors des charges : le champ augmente donc quand les lignes de champ se ressèrent.
    • En un point d’où divergent ou convergent les lignes de champ électrique se trouve une charge.

b. Equation de Maxwell- Ampère.

  • Théorème d’Ampère généralisé.

c. Equation du flux magnétique.

  • Les lignes de champ ne peuvent ni converger en un point, ni diverger d’un point.
  • Le champ magnétique est à flux conservatif : le champ augmente donc quand les lignes de champ se ressèrent, et on peut définir le flux du champ magnétique à travers un contour.

d. Equation de Maxwell – Faraday.

  • Loi de Faraday.

5. Résolution des équations de Maxwell.

a. Utilisation des potentiels.

  • Introduction du potentiel scalaire électrique et du potentiel vecteur magnétique.
  • L’introduction des potentiels a pour but de découpler les équations de Maxwell. (Démonstration hors programme)

b. Non unicité des potentiels

  • Le choix du couple (potentiel scalaire électrique – potentiel vecteur magnétique) n’est pas unique.
  • On peut imposer une condition supplémentaire entre ces deux potentiels : on utilise la jauge de Lorentz. (Hors programme)
  • Les deux potentiels vérifient alors des équations du même type découplées : équation d’onde.
  • La solution des potentiels retardés (hors programme) montre que les champs ne se propagent pas de façon instantanée des sources au point d’observation. Ils se propagent à la vitesse c dans le vide.

6. Relations de passage

a. Discontinuité du champ électrique

  • En présence de répartitions volumiques de charges dans l’espace, le champ électrique et son potentiel sont continus dans tout l’espace.
  • Les discontinuités éventuelles sont dues aux modélisations mathématiques des répartitions de charges.
  • Rappels : modélisations surfaciques et linéiques de répartitions de charges.
  • Les discontinuités éventuelles du champ électrique et de son potentiel n’existent qu’au niveau de ces répartitions de charges modélisées.
  • Pour une répartition surfacique de charges :
    • le champ électrique est discontinu à la traversée de cette surface,
    • le potentiel électrique est continu.
  • Pour une répartition linéique de charges :
    • le champ électrique est discontinu,
    • le potentiel est discontinu.
  • Relations de passage du champ électrique à la traversée d’une surface chargée (admises) :
    • la composante tangentielle du champ électrique est continue.
    • la composante normale du champ électrique est discontinue.
    • les relations de passage remplacent les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday sur la surface.

b. Discontinuité du champ magnétique

  • En présence de répartitions volumiques de courants dans l’espace, le champ magnétique et son potentiel vecteur sont continus dans tout l’espace.
  • Les discontinuités éventuelles sont dûes aux modélisations mathématiques des répartitions de courant.
  • Rappels : modélisations surfaciques et linéiques de répartitions de courants.
  • Les discontinuités éventuelles du champ magnétique et de son potentiel vecteur n’existent qu’au niveau de ces répartitions de courants modélisées.
  • Pour une répartition surfacique de courants :
    • le champ magnétique est discontinu à la traversée de cette surface,
    • le potentiel vecteur magnétique est continu.
  • Pour une répartition linéique de courants :
    • le champ magnétique est discontinu,
    • le potentiel vecteur est discontinu.
  • Relations de passage du champ magnétique à la traversée d’une répartition surfacique de courants (admises) :
    • la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.
    • la composante normale du champ magnétique est continue.
    • les relations de passage remplacent les équations de Maxwell-ampère et Maxwell-flux sur la surface.

7. Aspect énergétique : équation locale de Poynting

a. Démonstration à partir des équations de Maxwell

  • Définition du vecteur de Poynting
  • Équation locale

b. Signification physique

  • Loi de Joule microscopique : expression de la puissance volumique fournie par un champ électromagnétique à des porteurs de charge libres : en retenant que la force magnétique ne travaille pas, que la force électrique est proportionnelle à la charge et que la puissance reçue dépend de la vitesse, il est clair que l’ expression de la puissance va faire intervenir le champ électrique et le vecteur densité de courant.
  • Remarque : Passage à la loi de Joule macroscopique pour une portion de circuit en régime permanent.
  • Densité volumique d’énergie électromagnétique : on admet que chaque élément de volume de l’espace contient une énergie potentielle (donc récupérable) de par la présence d’un champ électrique et d’un champ magnétique.
  • Vecteur de Poynting : on admet que la direction du vecteur de Poynting donne la direction de propagation de l’énergie électromagnétique, et que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface représente le débit d’énergie à travers cette surface, c’est à dire l’énergie qui traverse la surface par unité de temps, c’est à dire aussi la puissance qui traverse la surface.
  • Bilan énergétique : il redonne l’équation locale de Poynting.

8. Cas particulier du régime statique

a. Simplification des équations

  • Ce sont les charges qui créent le champ qui sont statiques, pas celles qui le subissent.
  • Equations de Maxwell :
    • Seul le champ électrique existe (on le nomme champ électrostatique).
    • Seul le potentiel électrique existe (on le nomme potentiel électrostatique)
    • Topographie du champ électrostatique :
      • Les lignes de champ sont normales aux surfaces équipotentielles.
      • Les lignes de champ peuvent diverger d’un point : il y a alors une charge ponctuelle positive en ce point.
      • Les lignes de champ peuvent converger vers un point : il y a alors une charge ponctuelle négative en ce point.
      • Il n’existe donc pas d’ extremum du potentiel en dehors des charges puisque le potentiel décroit le long d’une ligne de champ.
      • En dehors des charges, le champ augmente quand les lignes de champ se ressèrent.
      • Les lignes de champ ne se referment pas sur elles-même.
  • Relations de passage : ce sont les mêmes que dans le cas général.
  • Résolution des équations de Maxwell :
    • Utilisation du potentiel.
    • Equation de Poisson.
    • Solution en l’absence de charges à l’infini et en prenant le potentiel nul à l’infini.
    • Retour au champ électrique : loi de Coulomb.

b. Exemples de calculs de champs électrostatiques

  • Dans l’ordre des méthodes à utiliser :
    • Principe de superposition.
    • Théorème de Gauss quand les symétries sont suffisantes, ou directement l’équation de Maxwell-Gauss en distribution volumique.
    • Loi de Coulomb : intégrale vectorielle donc trois intégrales scalaires à priori sauf si on détermine au préalable la direction du champ.
    • Passage par le potentiel : une seule intégrale scalaire mais il faut faire très proprement le passage au champ.
  • Cas particulier du champ créé par un dipôle électrique :
    • Expression du potentiel électrique.
    • Passage au champ électrique dans la base de coordonnnées sphériques.
    • Expression intrinsèque du champ électrique créé.

9. Cas particulier du régime stationnaire

a. Simplification des équations

  • Les charges qui créent le champ sont en mouvement mais de façon stationnaire : le vecteur densité de courant est non nul mais indépendant du temps, les champs sont indépendants du temps.
  • Equation locale de conservation de la charge :
    • Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d’un fil.
    • Loi des noeuds .
    • On peut définir l’intensité à travers un contour.
  • Equations de Maxwell :
    • Les deux champs électrique et magnétique existent mais sont découplés.
    • La détermination du champ électrique à partir des charges est identique au cas de l’électrostatique.
    • Le champ magnétique est nommé champ magnétostatique.
    • Théorème d’Ampère : on peut définir le courant qui traverse un contour.
    • Topographie du champ magnétique :
      • Les lignes de champ peuvent se refermer sur elles-même : elles enlacent alors des courants et leur orientation est donnée par la règle du tire-bouchon.
      • Les lignes de champ ne peuvent ni converger en un point, ni diverger d’un point.
      • Le champ magnétique est à flux conservatif : le champ augmente donc quand les lignes de champ se ressèrent.
  • Relations de passage : les mêmes que dans le cas général.
  • Résolution des équations de Maxwell pour le champ magnétique :
    • Introduction du potentiel vecteur.
    • Jauge de Coulomb.
    • Equation de Poisson pour le potentiel vecteur.
    • Solution en l’absence de courants à l’infini et en prenant le potentiel nul à l’infini. (Son utilisation est hors programme)
    • Conséquence : le potentiel vecteur est un vrai vecteur.
    • Passage au champ magnétique : loi de Biot et Savart.

b. Exemples de calculs de champ magnétostatique

  • Dans l’ordre des méthodes à utiliser :
    • Principe de superposition.
    • Théorème d’Ampère quand les symétries sont suffisantes, ou directement l’équation de Maxwell-Ampère pour des distributions volumiques.
    • Loi de Biot et Savart : intégrale vectorielle donc trois intégrales scalaires à priori sauf si on détermine au préalable la direction du champ.
    • Passage par le potentiel vecteur : intégrale vectorielle également donc pas plus simple (et hors programme).
  • Cas particulier du champ magnétique créé par un dipôle magnétique :
    • Champ magnétique dans la base de coordonnées sphériques, par analogie au cas électrique.
    • Expression intrinsèque du champ magnétique créé.

c. Exemples de calcul de potentiel vecteur à partir du champ magnétique

  • Peut servir pour calculer un flux, un champ électromoteur.
  • Potentiel vecteur créé par un fil infini.
  • Potentiel vecteur d’un champ uniforme : expression donnée, à vérifier.

10. Cas particulier des régimes lentement variables. Approximation des régimes quasistationnaires (ARQS)

a. Définition de l’approximation

  • l’ ARQS consiste à négliger la propagation des champs électromagnétiques dans la portion d’espace étudiée.
En régime permanent, le régime étant établi depuis longtemps, il n’ y a plus de propagation dans l’ensemble de l’espace.
En régime sinusoïdal, les variations spatiales des champs dues à la propagation ont pour période la longueur d’onde. Il suffit donc que la dimension de l’espace d’étude soit très inférieure à la longueur d’onde.
En régime quelconque, il suffit de vérifier que le retard de propagation (dimension de l’espace d’étude divisée par c, vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide) soit négligeable devant le temps caractéristique de variation du courant.
  • Dans les équations de Maxwell, il suffira de faire tendre c vers l’infini, donc εoμo vers 0.
  • Dans la suite de ce cours, on se placera dans l’approximation des régimes quasistationnaires.

b. Conséquences

  • Equations de Maxwell :
    • Les deux champs électrique et magnétique existent et sont couplés.
    • La détermination du champ magnétique à partir des courants est identique au cas de la magnétostatique car l’approximation revient à négliger le terme de courant de déplacement.
    • Attention : le champ électrique ne se calcule plus comme le champ électrostatique : les variations temporelles de champ magnétique sont sources de champ électrique (phénomène d’induction).
  • Equation locale de conservation de la charge :
    • Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d’un fil.
    • Loi des noeuds.
    • On peut définir l’intensité à travers un contour.
  • Relations de passage : les mêmes que dans le cas général.
  • Résolution des équations de Maxwell :
    • Utilisation des potentiels.
    • Equations de Poisson pour les potentiels.
    • Solution en l’absence de courants à l’infini et en prenant les potentiels nuls à l’infini

II. COUPLAGE ENTRE LES CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE DANS L’ARQS : LE PHENOMENE D’INDUCTION

1. Mise en évidence expérimentale du phénomène

a. Interaction entre un aimant et une spire

  • Lorsque l’aimant est en mouvement vers la spire, il y a apparition d’un courant dit « induit » dans la spire. Le sens de ce courant induit a pour effet de faire apparaître une force répulsive entre l’aimant et la spire, force qui s’oppose donc au mouvement de l’aimant.
  • Lorsque l’aimant est en mouvement en s’éloignant de la spire, il y a apparition d’un courant dit « induit » dans la spire. Le sens de ce courant induit a pour effet de faire apparaître une force attractive entre l’aimant et la spire, force qui s’oppose donc au mouvement de l’aimant.
  • Lorsque la spire est en mouvement vers l’aimant, il y a apparition d’un courant dit « induit » dans la spire. Le sens de ce courant induit a pour effet de faire apparaître une force répulsive entre l’aimant et la spire, force qui s’oppose donc au mouvement de la spire.
  • Lorsque la spire est en mouvement en s’éloignant de l’aimant, il y a apparition d’un courant dit « induit » dans la spire. Le sens de ce courant induit a pour effet de faire apparaître une force attractive entre l’aimant et la spire, force qui s’oppose donc au mouvement de la spire.

b. loi de Lenz (1834)

  • Les effets du courant induit s’opposent à la cause qui lui a donné naissance.
  • Remarque : si la spire n’est pas complètement fermée, aucun courant ne peut circuler mais il apparaît une différence de potentiel entre les deux extrémités de la spire.

2. Champ électromoteur

a. Transformation non relativiste du champ électrique dans un changement de référentiel

  • Utilisation de l’invariance de la force par changement de référentiel en mécanique classique.
  • Utilisation de la loi de composition des vitesses.
  • Loi de transformation du champ électrique : dans le référentiel relatif, un terme d’origine magnétique se rajoute.

b. Rappel : Loi d’Ohm pour un conducteur en régime continu et « basse fréquence »

  • Loi d’Ohm locale
    • Une différence de potentiel entre deux points d’un conducteur crée un champ électrique. Sous l’action de ce champ, les charges libres se déplacent donc créent un courant.
    • On constate dans le cas des conducteurs dits « ohmiques » que le vecteur densité de courant est proportionnel au champ électrique. La constante de proportionnalité est la conductivité du conducteur.
    • Domaine de validité : on admet que la loi d’ohm est valable en continu, et en sinusoïdal jusqu’à des fréquences de l’ordre de 1014 Hz.
  • Interprétation microscopique de la loi d’ohm locale : modèle des collisions (modèle de Drude)
    • Isotropie statistique de la vitesse des électrons de conduction après un choc,
    • La moyenne mésoscopique (sur des petits éléments de volume) de la vitesse est proportionnelle à la moyenne mésoscopique du champ électrique, pour un temps moyen entre deux collisions. Le vecteur densité de courant est donc proportionnel au champ électrique.
    • Sans revenir au modèle des collisions, il suffit de retenir que l’effet moyen des collisions sur la vitesse des électrons de conduction est analogue à celui d’un freinage visqueux.
  • Passage à la loi d’Ohm macroscopique pour un conducteur filiforme : La différence de potentiel aux bornes d’un conducteur ohmique, en convention récepteur, est proportionnelle à l’intensité du courant qui le traverse. La constante de proportionnalité est la résistance électrique.
  • Expression de la résistance d’un conducteur filiforme en fonction de sa conductivité, sa longueur et sa section.

c. Loi d’Ohm macroscopique généralisée en cas d’induction

  • Dans un conducteur en l’absence de champ magnétique, l’existence d’un courant électrique ne provient que de la présence d’un champ électrique créé par une différence de potentiel électrique.
  • Dans un conducteur fixe dans un champ magnétique variable ou/et mobile dans un champ magnétique stationnaire, l’existence d’un courant électrique provient également de la présence d’un champ électromoteur.
  • La loi d’Ohm microscopique locale reste valable dans le référentiel lié au réseau métallique. En effet le modèle des collisions supposait les atomes du réseau métallique fixes.
  • Passage à la loi d’Ohm généralisée macroscopique : il suffit de rajouter dans le schéma électrique du circuit une fém induite e orientée dans le sens du courant et de calculer cette fém e en effectuant la circulation du champ électromoteur dans le sens du courant également.

3. Induction électromagnétique dans un circuit fixe dans un champ magnétique variable (induction de Neumann)

a. Calcul de la f.e.m induite : Loi de Faraday

  • Loi de Faraday à partir du champ électromoteur.
  • Loi de Faraday à partir de l’équation de Maxwell Faraday.
  • Retour à l’exemple expérimental.

b. Circuit filiforme fixe seul dans l’espace : phénomène d’ autoinduction.

  • Un circuit seul dans l’espace et parcouru par un courant i crée un champ magnétique dans tout l’espace. Le flux de ce champ à travers le circuit lui-même (flux propre) est proportionnel à i. Le coefficient de proportionnalité est l’inductance propre L (ou coefficient d’ autolnduction) du circuit, exprimée en henry.
  • L ne dépend que de la géométrie du système.
  • L> 0 d’après la règle du tire – bouchon.
  • Si l’intensité varie, le champ créé varie ainsi que le flux, d’où l’apparition d’une f .e.m induite dite d’ autoinduction.
  • Lien avec l’ électrocinétique : schématisation par une bobine d’inductance L.

c. Bilan énergétique de l’établissement d’un courant dans un circuit filiforme indéformable et fixe.

  • Etablir un courant i dans un circuit n’est pas gratuit d’un point de vue énergétique: il faut un apport égal à 1/2 L i2.
  • On retrouve le fait que L> 0
  • Cette énergie est stockée par le circuit et peut être récupérée : il s’agit donc d’une énergie potentielle.
  • Etude du cas particulier du solénoïde long.
  • Généralisation: l’énergie potentielle emmagasinée dans le circuit est en fait l’énergie magnétique emmagasinée dans le champ magnétique créé par ce circuit.

 

d. Deux circuits filiformes fixes dans l’espace : phénomène d’induction mutuelle.

  • Soit un ensemble de deux circuits parcourus par des courants i1 et i2. Le flux du champ créé par le circuit 1 à travers le circuit 2 est proportionnel à i1. Le flux du champ crée par le circuit 2 à travers le circuit 1 est proportionnel à i2.
  • On admet le théorème de Neumann : le coefficient de proportionnalité est le même dans les deux cas, et noté M (inductance mutuelle).
  • M>0 ou M<0 .
  • La variation d’un courant dans l’un des circuits induit une f.e.m d’induction mutuelle dans l’autre circuit. Les équations des circuits électriques sont donc couplées.

 

e. Bilan énergétique de l’établissement du courant dans un ensemble de deux circuits filiformes indéformables et fixes

  • Etablir les courants i1 et i2 dans deux circuits n’est pas gratuit d’un point de vue énergétique : il faut un apport égal à 1/2 L1 i12 + 1/2 L2i22+ M i1i2
  • Expression en fonction des flux.
  • Cette énergie est stockée par les circuits et peut être récupérée : il s’agit donc d’une énergie potentielle.
  • Cette énergie est l’énergie à fournir pour créer les champs magnétiques dans l’espace, elle est donc positive. On en déduit donc la relation M2<l < L1L2. Physiquement, cette inégalité traduit le fait qu’une partie des lignes de champ créées par un circuit ne traversent pas l’autre. A la limite, si les circuits sont très éloignés, aucune ligne de champ créée par un circuit ne traverse l’autre, on a M = 0.</l
  • Dans le cas idéal d’un « couplage total », toutes les lignes de champ créées par un circuit traversent l’autre. On admet que l’on a alors  M2<l = L1L2.</l

 

4. Induction électromaqnétique dans un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire (induction de Lorentz)

  • Circulation du champ électromoteur.
  • On admet que la loi de Faraday est encore valable (on le vérifiera sur des exemples).
  • Retour à l’exemple expérimental

III. APPLICATIONS

1. Cas des circuits non filiformes

a. Les courants de Foucault

  • Ce sont les courants induits dans les conducteurs non filiformes.
  • La répartition de ces courants n’est pas simple: les courants de Foucault ont tendance à suivre le champ électromoteur (électrons libres mis en mouvement par ce champ), mais en bord de conducteur, le courant doit être tangentiel (condition limite évidente). Par contre la loi d’Ohm est toujours vérifiée (proportionnalité entre densité de courant et champ électrique dans le référentiel du conducteur).
  • Cas où le conducteur est illimité, et les symétries et invariances sont simples :
    • prévoir la forme des courants de Foucault en déterminant la forme des lignes de champ du champ électromoteur,
    • détermination des courants de Foucault :
      • Méthode 1 : calculer le champ électromoteur et en déduire le vecteur densité de courant de Foucault en écrivant la proportionnalité avec le champ électromoteur, le coefficient de proportionalité étant la conductivité. On admet en effet que le gradient du potentiel électrique est nul.
      • Méthode 2 : calculer le champ électrique par circulation sur une ligne de champ électrique, et en déduire le vecteur densité de courant de Foucault en écrivant la proportionnalité avec le champ électrique, le coefficient de proportionalité étant la conductivité,
      • Méthode 3 : déterminer les intensités élémentaires dans les boucles de courant de Foucault en écrivant la loi d’Ohm généralisée.
  • Cas où le conducteur est limité :
    • La méthodologie précédente reste valable si les conditions limites en bord de conducteur sont vérifiées.
    • Sinon modéliser la forme des courants de façon simple en fonction du champ électromoteur et des symétries des bords du conducteur, et appliquer les méthodes 2 ou 3 précédentes.
  • Effets de ces courants : ils sont prévisibles.
    • Echauffement du conducteur, d’après la loi de Joule (principe du chauffage à induction).
    • Freinage du conducteur s’il est en mouvement, d’après la loi de Lenz (principe du freinage électromagnétique des poids lourds).

b. Effet de peau dans un conducteur ohmique

  • Description du phénomène :
    • En régime indépendant du temps, les courants se répartissent uniformément dans la section des conducteurs. En régime alternatif haute fréquence, les courants ont tendance à se localiser au voisinage de la surface des conducteurs, sur une épaisseur typique appelée épaisseur de peau.
    • Cette épaisseur de peau est d’autant plus faible que la fréquence du courant est élevée.
    • Ce phénomène a pour conséquence d’augmenter la résistance du conducteur donc les pertes.
  • Approche qualitative : La présence d’un courant dans le conducteur est à l’origine d’un champ magnétique, y compris dans le conducteur. Si ce courant est sinusoïdal, les courants de Foucault induits s’y opposent et annulent le courant au cœur du conducteur.
  • Calcul à partir des équations de Maxwell :
    • Equations de Maxwell dans un conducteur ohmique « en basse fréquence »
      • Dans le domaine de validité de la loi d’ohm (f < 1014 Hz), on constate que le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction. L’étude du conducteur se fait donc dans l’ARQS bien que la fréquence puisse être supérieure à la limite usuelle de l’étude des circuits dans l’ARQS (106 Hz).
      • Les excédents locaux de charges tendent très rapidement vers 0 dans le cas des conducteurs, on peut donc considérer que la densité volumique de charge est toujours nulle dans un conducteur (le conducteur peut par contre être chargé en surface). La démonstration mathématique repose sur l’équation de Maxwell-Gauss (création d’un champ par un excédent de charge), la loi d’ohm locale (écoulement des charges sous l’action de ce champ) et l’équation de conservation de la charge (diminution de l’excédent de charge grâce à l’écoulement de charge).
    • Equation vérifiée par la densité de courant (ou le champ électrique car proportionnalité entre les deux) : c’est une équation de diffusion (voir cours sur la diffusion).
    • Résolution de l’équation de diffusion dans le cas d’un demi-espace conducteur limité par un plan. Ce modèle est valable lorsque l’épaisseur de peau est très faible devant le rayon du conducteur.
  • Limite du conducteur parfait.
    • Un conducteur parfait est un modèle de conducteur de conductivité infinie.
    • L’épaisseur de peau tend vers 0, la conduction du courant est donc surfacique.
    • Argument énergétique pour interpréter la conduction surfacique.

2. Couplage électromécanique

a. Mise en évidence sur les rails de Laplace

  • Description du dispositif.
  • Analyse physique.
  • Vérification de la loi de Faraday.
  • Conversion de puissance :
    • équation électrique
    • équation mécanique
    • conversion électromécanique : on constate que Plaplace + ei = 0 : il y a couplage électromécanique parfait.  On admet la généralité de ce résultat pour tout circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire.
    • Bilan énergétique

 

b. Exemple du haut-parleur électrodynamique

  • Description du haut-parleur.
  • Analyse physique.
  • Equation mécanique.
  • Equation électrique.
  • Les deux équations différentielles précédentes sont couplées, elles peuvent se découpler. L’usage de la notation complexe simplifie les calculs.
  • Détermination de l’impédance équivalente du haut-parleur : elle est constituée d’une impédance dite « électrique » et d’une impédance dite « motionnelle » (qui contient les caractéristiques mécanique du haut-parleur).
  • Bilan énergétique :
    • Technique : multiplication du PFD par la vitesse, multiplication de la loi de maille par l’intensité électrique.
    • Conversion de puissance : on a bien Plaplace + ei = 0.
    • Bilan énergétique global

 

3. Autres applications de l’induction

  • Avec couplage électromécanique :
    • Les moteurs électriques : ils convertissent une énergie électrique en énergie mécanique.
    • Les générateurs électriques : ils convertissent une énergie mécanique en énergie électrique.
  • Sans couplage électromécanique :
    • Les antennes : courant induit ou f.e.m induite par les variations du champ magnétique d’une onde électromagnétique.
    • Le transformateur : transforme une tension alternative en une autre tension alternative (circuits couplés).

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