Définition

Le circuit RCL est un circuit électrique qui se compose toujours d’au moins trois éléments :

  1. Une résistance ;
  2. Une bobine ;
  3. Un condensateur.

Ces circuits peuvent être montés en parallèle ou en série. Le but de ces circuits et d’en observer les résonances résultantes à l’injection d’oscillations.

Bobine, condensateur et résistance. Ces trois éléments de circuit électrique sont souvent associés sur les cartes électroniques. Vous les retrouverez donc dans de nombreux appareils électroniques.

Quelques calculs sur les différents phénomènes

Décharge d’un condensateur dans une bobine

Régime pseudo périodique

UC passe par un maximum à intervalle de temps régulier mais l’amplitude diminue.

C’est la résistance totale du circuit qui est responsable de l’amortissement des oscillations.

Régime critique

Si la résistance devient trop importante, les oscillations disparaissent. On passe d’un régime pseudo périodique à un régime critique. Si on a un régime critique la tension aux bornes du condensateur diminue très rapidement jusqu’à 0.

Régime apériodique

Il est l’équivalent d’une décharge classique

Expression de la pseudo-période

    \[ T = 2 \pi \sqrt { \frac { L } { c } } \]

Équation différentielle d’un circuit RLC en régime libre

Loi d’additivité des tensions

    \[ \upsilon _ { c } + \upsilon _ { L } + \upsilon _ { R } = 0 \]

    \[ \upsilon _ { L } = L \frac { d i t ( ) } { d t } \]

    \[ \upsilon _ { L } = L C \frac { d ^ { 2 } U c } { d t ^ { 2 } } \]

    \[ \text { avec } i = \frac { d q } { d t } \text { et } q = C \upsilon _ { c } \]

La loi d’Ohm

    \[ \upsilon _ { R } = R i \]

    \[ L C \frac { d ^ { 2 } U c } { d t ^ { 2 } } + R C \frac { d ^ { 2 } U c } { d t ^ { 2 } } + \upsilon _ { c } = 0 \]

    \[ \frac { d ^ { 2 } U c } { d t ^ { 2 } } + \frac { R } { L } \frac { d U c } { d t } + \frac { 1 } { LC } \upsilon _ { c } = 0 \]

Oscillations non amorties d’un circuit LC

Équation différentielle d’un circuit LC

    \[  \frac { d ^ { 2 } U c } { d t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { LC } \upsilon _ { c } \frac { d U c } { d t } = 0  \]

Solution de l’équation différentielle

La solution est de la forme : UC = UM cos (ω0t + φ)

Détermination de φ et UM

UC avec t= 0, U =E

Faire la dérivée de U puis la remplacer dans la formule de I(t)

i(t) avec t=0, on obtient φ = 0

Conclure que UM = E

ð  UC  = E cos(ω0t)

Expression de T0

Prendre l’équation différentielle

Dériver la solution de cette équation

Trouver la dérivée seconde de cette solution

Remplacer dans l’équation différentielle

    \[ \omega _ { 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { L C } } \]

où :

    \[ \omega _ { 0 } = \frac { 2 \pi } { T0 } \]

    \[ \tau _ { 0 } = 2 \pi \sqrt { L C } \]

Aspect énergétique

Energies

ETOT = EC + EL

ð  ETOT = ½ CE²

L’énergie totale se conserve si on néglige les résistances du circuit. Il y a un transfert d’énergie entre la bobine et le condensateur.

Oscillations amorties

Le responsable des amorties est la résistance. Dans les cas d’oscillations amorties, il y a pertes d’énergie par effet Joule dû à la
résistance. Il est rendu sous forme d’énergie thermique.

Les composants du circuit RLC

Les condensateurs

La définition d’un condensateur

Un condensateur est un composant en électronique qui a la capacité de stocker de l’énergie électrique. Il stocke cette électricité en fonction de la tension qu’il reçoit et ce de manière proportionnelle.

Les marques du condensateur

Selon sa capacité, un condensateur reçoit un marquage signifiant sa valeur.

La plupart du temps, le marquage respecte le schéma suivant XXY dans lequel la partie XX correspond à la valeur et Y à la puissance de 10 en picofarads de symbole pF.
Par exemple 122 correspondra à 12 x 102 pF.

Il peut aussi arrivé que l’on voit juste une valeur à deux chiffres. Il s’agit dans ce cas d’un marquage d’une valeur en microfarads de symbole µF.

Pour finir, quand les condensateurs sont assez gros et laissent la place pour une inscription complète, on retrouve la valeur ainsi que son unité directement marqués sur le condensateur en question.

La modélisation du condensateur

Pour modéliser un condensateur, il faut décrire certaines de ses caractéristiques à savoir la résistance, l’inductance, la valeur de la capacité et parfois l’effet de batterie ou encore l’hystérésis de charge du condensateur.

Les usages du condensateur

Les usages du condensateur

Voici une carte mère d’ordinateur. On y retrouve les composants tels que les condensateurs ou encore les résistances. Tous ceux-ci sont importants pour faire fonctionner l’ordinateur. En effet, chacun de ses composants demande une gestion très précise de l’électricité.

Les condensateurs sont utilisés dans moult domaines.

Stabilité

Les condensateurs peuvent être utilisés dans des installations électriques afin de « lisser » la tension d’un circuit. Dans ces conditions, le condensateur se chargera lors des pics de tension tout en se relâchant lors des baisses de tension. Cette dernière ne subissant pas de fluctuations du point de vue des appareils électriques du circuit et ainsi de leurs utilisateurs.

Ils sont donc présents dans de nombreux appareils ménagers que vous possédez chez vous :

  • Plaques de cuisson ;
  • Radiateurs ;
  • Chauffe-eau ;
  • Ordinateur ;
  • Bouilloire ;
  • Sèche cheveux.

Séparer les courants

On peut utiliser les condensateurs afin de séparer deux courants qui seraient présents simultanément : le courant alternatif et le courant continu. En effet, le courant continu ne peut passer à travers un condensateur car il ne se vide que quand sa capacité maximale est atteinte et ne peut donc pas délivrer le courant de façon continu.

Traiter les signaux

Les condensateurs sont capables de filtrer des signaux périodiques. Par exemple, dans une radio, le condensateur peut filtrer le signal sinusoïdale périodique de la radio FM.

Stocker

Dans le cas des super condensateurs, il peuvent être utilisés afin de stocker de l’énergie. En effet, leur grande capacité leur permet de retenir beaucoup d’énergie.

La résistance

Définition d’une résistance

La résistance désigne la capacité physique d’un matériau à s’opposer au passage d’un courant électrique sous une certaine tension. C’est de là que sont nés les composants électriques appelés les résistances.

Notations

Une résistance est habituellement représentée par un rectangle et se note R, K ou M selon sa capacité. R représente les ohms, K les kiloohms et pour finir, M les Megohms.

Composition

Une résistance peut-être composée de divers matériaux selon qu’elle soit de faible ou haute puissance.

Par exemple, les résistances de moins de 2 W sont constituées de carbone et de céramique. Ce type de résistance a pour avantage de générer très peu de bruit thermique, ce qui en fait un élément de choix dans les On retrouve aussi lescircuits audio.

Les résistances faites pour supporter des puissances supérieures seront quand à elles fabriquées à l’aide d’un cylindre de céramique sur lequel sera enroulé un fil conducteur.

Pour finir, les résistances à très hautes puissance sont constituées de solution aqueuse contenant des ions cuivre et qui ralentissent grandement le passage du courant électrique.

La bobine

Une bobine est un composant électrique dont la fonction est de s’opposer au passage du courant.

Notation

Comme sur les résistances, il existe un code couleur pour connaître la valeur des bobines.

Voici un tableau qui les détaille :

CouleurPremier anneauDeuxième anneauAnneau multiplicateur
Argent10−2 µH
Or10-1 µH
Noir001> µH
Marron11101 µH
Rouge22102 µH
Orange33103 µH
Jaune44104 µH
Vert55105 µH
Bleu66106 µH
Violet77107 µH
Gris88108 µH
Blanc99109 µH

Composition

Une bobine se compose d’un enroulement de fil conducteur, généralement à base de cuivre, autour duquel sont assemblées des feuilles de fer conducteur.

Les bobines se retrouvent elles aussi dans de nombreux appareils électriques et électroniques du quotidien. Vous les trouverez dans vos voiture par exemple, elles jouent le rôle d’emmagasineur d’énergie pour vos bougies dans les moteurs à essence.

Utilisations

On utilise les bobines dans de nombreuses fonctions du quotidien. Par exemple, on retrouve les bobines dans les voitures, dans la bobine d’allumage. Cet organe du moteur a pour fonction de produire une grande quantité d’énergie. On les retrouve donc dans le circuit des bougies d’allumage afin de fournir les étincelles nécessaires à l’allumage des cylindres.

On retrouve aussi les bobines dans les éléments électromagnétiques. En effet, la bobine a de grandes capacités pour les électroaimants et relais électromécaniques.

On peut aussi les rencontrer parfois dans les filtres de signal électrique. Ils peuvent réduire l’ondulation résiduelle ou les fréquences parasites.

Exercices d’application

Problème 1 : Résonance d’un dipôle RLC parallèle

Etude d’un dipôle en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω

On considère entre deux points A et B. le circuit comportant en parallèle : une résistance R, une Inductance pure L, un condensateur de capacité C.

Ecrire l’expression de l’admittance complexe Y du dipôle AB en fonction de R, L, C, et ω.

On pose

    \[ L \times C \times \omega ^ 2 _ 0 = 1 \]

    \[ \frac { \omega } { \omega _ 0 } = x \]

et

    \[ Q = \frac { Q } { L \times \omega _ 0 } \]

Exprimer ( Y , R ) sous la forme 1 + j . g ( x , Q ) où f ( x , Q ) désigne une fonction simple de x et de Q.

En déduire l’expression de l’Impédance complexe Z du dipôle AB.

Préciser le comportement de ce dipôle aux basses fréquences et aux hautes fréquences : on donnera une interprétation physique du dipôle équivalent obtenu.

Etudier brièvement le comportement en fonction de x  du module de Z : tracer l’allure de la courbe représentative.

Utilisation du dipôle précédent

On alimente le dipôle précédent AB par une source de tension alternative sinusoïdale

    \[ v \left( t \right) = V _ 0 \times \cos \left( \omega \times t \right) \]

On associe à l’Intensité Instantanée dans le dipôle AB

    \[ i \left( t \right) = I _ 0 \times \cos \left( \omega \times t + \phi \right) \]

l’Intensité complexe

    \[ I = I _ 0 \times e ^ { j \times \phi } \]

On néglige l’impédance Interne du générateur.

Ecrire, sans démonstration, l’expression de I en fonction de V0 , R, Q et x.

On note l le module de I : quel est l’ensemble des valeurs do x tel que

    \[ I \leq \sqrt { 2 } \times \frac { V _ 0 } { R } \]

: montrer que cet ensemble est limité par deux valeurs x2 et X1 et calculer x2 – x1. en fonction de Q.

Etudier brièvement le déphasage phi de l’Intensité I ( t ) par rapport à la tension u ( t ) en fonction de x. Tracer U courbe φ(x).

Calculer pour x = 0,9 ; L = l * m * H ; C = 0.1 µF et R = 500 Ω les valeurs numériques de phi, de x2 – x1 et de Q.

On choisit ω = ω0

Quelles sont en notation complexes les expressions des intensités dans les branches comportant L et C ?

Ecrire également les expressions des intensités Instantanées. Que constate-t*on 7 Quel nom pourrait-on donner au coefficient Q.

C’est à force d’entraînement à ce type d’exercices que vous serez de plus en plus doués. En effet, les formules rentreront toutes seules dans votre tête et vous les appliquerez de plus en plus rapidement.

Problème 2 : calculs d’impédance

Soit le dipôle A B constitué d’une résistance R et d’une bobine d’inductance L associées en parallèle. Soit le dipôle A‘ B‘ constitué d’une résistance R’ et d’une bobine d’inductance L’ associées en série.

Ces deux dipôles sont soumis A une tension sinusoïdale de pulsation ω.

Déterminer R’ et L’ en fonction de R , L et ω pour que, à la pulsation ω , ces dipôles soient équivalents .

Quelle est alors la pulsation ω0 pour laquelle on a :

    \[ \frac { R ' } { R } = \frac { L' } { L } \]

Calculer ω0 pour R = 102 Ω et L = 10-2 H

On considère le montage auquel on applique entre les bornes A et C du dipôle une tension de la forme :

    \[ u \left( t \right) = U _ m \times \cos \left( \omega _ 0 \times t \right) \]

Les dipôles A B et B C étant équivalents et la pulsation ω0 étant telle que :

    \[ \frac { R ' } { R } = \frac { L' } { L } \]

Dans cette partie, on écrira les expressions demandées de la façon la plus simple possible en tenant compte des hypothèses.

Déterminer l’Impédance complexe ZAC du dipôle. Le résultat sera exprimé sous forme polaire

    \[ Z _ { A C } = Z _ { A C } \times e ^ { j \times \phi _ { A C } } \]

Donner l’expression du courant total i (t ) en fonction du temps .

Calculer en fonction de la représentation complexe u de u ( t ) les expressions complexes u1 et u2 des tensions aux bornes de A B et de B C.

Déterminer les représentations complexes i1 et i2 des Intensités i1 ( t ) dans R et i2 ( t ) dans L .

En déduire les valeurs efficaces de u1 ( t ) ; u2 ( t ) ; i1 ( t ) et i2 ( t ) ainsi que leurs déphasages par rapport à u ( t ).

Donner l’expression de la capacité C qu’il faut mettre en série avec le dipôle A C pour que le courant total i ( t ) soit en phase avec u ( t ) à la pulsation ω0 .

Calculer C avec les données numériques précédentes.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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