Comment calcule-t-on une longueur ?

Les anciennes unités de longueur

Comment faisait-on pour mesurer au Moyen-Âge ? Votre pouce est-il aussi grand que celui-ci de votre camarade de classe ?

Afin de mesurer des longueurs, que ce soit en physique ou encore en chimie, on utilise des unités plus petites que le millimètre. On retrouve donc le nanomètre qui mesure 0,000001 millimètres et le micron qui mesure 0,001 millimètre et 1000 nanomètres. Enfin, il existe aussi des autres unités de mesure telles que :

  • Le pouce : unité anglaise datant du Moyen-Âge, 1 mètre vaut 39,37008 pouces ;
  • Le pied : unité de longueur qui correspond à la longueur d'un pied humain. Un pied mesure 12 pouces et 0,3048 mètres ;
  • Le mile : unité de mesure en regroupant plusieurs comme le mile marin qui mesure 1,852 kilomètres et le mile international, une unité anglaise qui représente 1,609 kilomètre.

Mais il existait également

  • Le doigt,
  • La palme,
  • Le pied,
  • La coudée,
  • Le pas,
  • La brasse,
  • Ou encore la toise.

Le problème avec ces unités de mesures est qu'elles n'étaient pas fixes puisqu'elles variaient d'une ville à l'autre, mais aussi selon la nature de l'objet mesuré, ce qui causait beaucoup de torts ! De ce fait, le système métrique a été mis en place.

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Les unités de longueur

  • 1 km = 1000 m = 103 m
  • 1 m
  • 1 mm = 0,001 = 10-3 m
  • 1 µm = 10-6 m = micromètre : un millième de millimètre.
  • 1 nm = 10-9 m = nanomètre : un millième de micromètre ou un millionième de mètre.

Les ordres de grandeur

Si l’≥ l et si l’/ l < 10, alors l et l' sont de même ordre de grandeur. Sinon on écrit l’/ l = a.10 n    1 ≤ a < 10 et les deux longueurs différentes de même ordre de grandeur.

Exemple

  • 5.10-4 µm et 10-4 µm

On a [ frac { 5 cdot 10^{ -4 } } { 10 ^ { -4 } } = 5 ] Ce rapport est inférieur à 10, donc ces deux longueurs de même ordre de grandeur.

  • 7.103 m et 200 m

[ frac { 7 cdot 10^{ 3 } } { 200 } = 35 ] Ce rapport est supérieur à 10, donc ces longueurs sont d'ordres différents.

Les unités sont très importantes pour la compréhension

Quelle est la masse d'un électron ? Il est important d'adapter l'unité au domaine pour plus de logique : il serait idiot d'utiliser le kilogramme dans le cadre de la masse d'un atome !

Les conventions d'écriture

Par convention, les noms d'unités sont des noms communs on les écrit alors en minuscules : par exemple, on écrit « kelvin » et non « Kelvin », « ampère » et non « Ampère ». Pourtant, ces unités ont pour origine les noms propres des savants qui les ont inventées. De plus, puisque ces unités sont des noms communs, ils peuvent prendre la marque du pluriel, (par exemple, on écrit un volt mais aussi deux volts). Cependant, les symboles prennent une majuscule (sauf convention contraire) si le nom de ces unités dérive du nom d'une personne. Par exemple, on écrit "V" pour volt, provenant d'Alessandro Volta, "A" pour ampère provenant d'André-Marie Ampère et "Pa" pour pascal provenant de Blaise Pascal. Si le symbole ne dérive pas d'un nom propre, le symbole commence par une minuscule. C'est le cas des mètres qui s'écrit "m" mais aussi pour la mole qui s'écrit "mol". Cependant, il peut exister quelques exceptions adoptées lors des conférences générales des poids et mesures. Ces exceptions ont été adoptées pour éviter toute confusion, c'est le cas du litre qui se symbolisme par "L". Il en a été décidé ainsi pour éviter tout confusion avec la lettre "l" et le chiffre "1". L'unité du degré Celsius n'est pas une exception. Il ne faut pas oublier que son écriture correcte est le "degré Celsius" qui se symbolise par "°C". Les caractères ° et C sont indissociables puisque l'unité commence par le degré et que Celsius est un qualificatif. En effet, il existe différents degrés différents comme le degré Fahrenheit.

Les unités permettent la logique scientifique

La dimension d'une grandeur traduit la nature physique de cette grandeur. Si deux grandeurs présentent la même dimension, alors elles sont dites homogènes. Bien évidemment, seule la comparaison de deux valeurs de grandeurs physiques homogènes à un sens ! Par exemple, il est insensé de comparer une énergie à une masse puisque ce sont des grandeurs de natures différentes. Les unités permettent donc de quantifier la mesure d'une grandeur physique.

Grandeurs du système international et usuelles

L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier. Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions. Dans certains sujets d'exercices, les grandeurs ne sont pas exprimées dans le système international mais avec des grandeurs usuelles. Il est facile de les comprendre et elles sont parfois utilisées dans la vie de tous les jours, mais il est essentiel de toujours effectuer les calculs avec les grandeurs exprimées dans l'unité internationale pour éviter les erreurs. Par exemple, la pression est souvent exprimée en Bar. Or, dans le système international, la pression s'exprime en Pascal !

Correspondances entre le système international et le système usuel

Voici quelques correspondances entre les modèles usuel et international qui pourront faciliter vos conversions :

  • 1 bar = 100 000 Pa
  • 1 L = 0,001 m3
  • 0°C = 273,15 K
  • 1 g/L = 1 000 g/m3
  • 1 are = 100 m²

Voilà pourquoi il est très important de savoir convertir les unités ! Attention donc pendant vos exercices

Retrouver une unité grâce à l'analyse dimensionnelle

Comment réussir son examen de physique-chimie ? Veillez à vous servir correctement des unités pour retrouver une formule !

Si, lors d'un exercice, vous vous retrouvez face à une formule dont vous ignorez l'unité du résultat, ne paniquez pas ! Il est très simple de retrouver l'unité avec ce qu'on appelle une analyse dimensionnelle. Une analyse dimensionnelle consiste à décomposer les grandeurs physiques mises en jeu dans une formule afin de retrouver l'unité de la grandeur cherchée. Voici un exemple simple : [ v = frac { triangle d } { triangle t } ] En décomposant les grandeurs physiques en leur unité, on obtient : [ v = frac { m } { s } ] On peut donc en déduire que l'unité de la vitesse est le m/s, soit m.s−1

Quelques conseils pour réussir ses exercices

Homogénéité et relations mathématiques

Il faut savoir, avant de procéder à une analyse dimensionnelle que :

  • Deux grandeurs de valeurs égales ont nécessairement la même dimension,
  • Les termes d'une somme ont nécessairement la même dimension,
  • La dimension d'un produit de facteur est le produit des dimensions des facteurs.

Il faut aussi procéder systématiquement à une analyse dimensionnelle des grandeurs définies par les formules car cela permet :

  • De comprendre la signification physique des termes apparaissant dans les expressions et équations littérales,
  • De détecter une erreur de calcul,
  • De déterminer l'expression approchée d'une grandeur sans résoudre exactement le problème.

Surtout, n'hésitez pas à vous prêter régulièrement à ce type d'exercice pour qu'il se fasse de la façon la plus naturelle, fluide et rapide qu'il soit lors des examens. Pratiquez chez vous et montrer le résultat à votre enseignant pour qu'il puisse vérifier ce que vous faîtes !

Les ordres de grandeur

Les tableaux de conversion

Lors de vos exercices, n'hésitez surtout pas à construire sur votre brouillon un tableau de conversion afin de changer les unités tout en minimisant le risque d'erreur. Voici le détail des multiples d'unités et préfixes utilisées :

Abréviation   u   
Préfixekilohectodécaunitédécicentimilli
En mètreskmhmdammdmcmmm

Les préfixes utilisés avec les unités

Des préfixes ont été ajoutées aux unités de base du Système International afin de pouvoir plus facilement manier de grands nombres. La plupart du temps, ces préfixes sont utilisés en lieu et place des ordres de grandeur. On parlera d’un kilo pour exprimer une grandeur d’ordre 103 ou d’un méga pour exprimer une grandeur d’ordre 106. Nous comptons 20 préfixes aux unités de grandeur. Ces derniers sont apparus pour la plupart au cours du 20e siècle mais certains existent depuis le 18e siècle ! C’est souvent dans le domaine de l’informatique que vous entende parler de ces ordres de grandeur. En effet, si l’on parle d’1 examètre, on préférera utiliser l’appellation de 105,7 années lumières. Cependant, si vous utilisez des clés USB ou des disques durs, vous aurez souvent entendu parler que ces derniers ont des capacités qui se mesurent en gigabits ou encore térabits.

Yocto

Le yocto représente 10-24 fois l'unité de base, soit un quatrillionième. Il est représenté par un petit y.

Zepto

Le zepto, de symbole petit z est l'avant dernière grandeur la plus petite du Système International. Il représente un millième de milliardième de milliardième de l'unité de base, soit 10-21.

Atto

L'atto est un milliardième de milliardième. Il représente 10-18 fois l'unité de base du Système International. Il se note avec un petit a comme symbole.

Femto

De symbole petit f, le femto est le représentant de 10-15 fois l'unité du Système International. C'est donc un millionième de milliardième. Son origine est le mot femten, du danois qui signifie quinze.

Pico

Le pico représente 10-12 unités. C'est donc un billionième d'unité du Système International. Cette appellation provient de l'italien piccolo qui signifie petit. Son symbole est le petit p.

Nano

Cette unité, crée en 1960, tire son origine du mot nain en grec, nanos. Elle représente 10-9 unités du Système International, soit un milliardième d'unité. Il est représenté par un petit n en guise de symbole.

Micro

Le préfixe micro représente un millionième d'unité du Système International, soit 10-6. Il est représenté par la lettre µ, mu, en grec. Son nom provient du mot microscopique, qui signifie un élément tellement petit qu'on ne peut le voir qu'au microscope.

Milli

Le préfixe milli représente 10-3 unités du Système International, soit un millième. Il est représenté par un petit m.

Centi

Le centi représente un centième d'unité, soit 10-2. C'est donc un centième qui se note avec un petit c.

Déci

Le déci, de symbole petit d, est l'unité qui représente un dixième de l'unité de base du Système International. C'est donc 10-1 fois cette unité.

L'unité de base

Entre le déci est le déca se trouve l'unité de base du Système International. Cette dernière est égale aux nombres compris entre 0 et 10. Elle se note en ordre de grandeur 100, ce qui est égal à 1.

Déca

Le préfixe déca, de symbole da est à ne pas confondre avec le déci. Il représente bien 101, soit une dizaine de l'unité de base du Système International et non pas 10-1.

Hecto

Le préfixe hecto sert à désigner une unité de l'ordre de grandeur 102. Il représente donc une centaine de l'unité de base du Système International. Cette unité est peu couramment utilisée au quotidien. C'est dans le domaine de l'agroalimentaire qu'elle prend tout son sens. Son symbole est un petit h.

Kilo

Le kilo est l'unité qui représente le millier. D'ordre de grandeur 102, c'est l'une des plus utilisée dans notre vie quotidienne. Elle se note avec le symbole k et représente un millier d'unités de base.

Méga

L'unité définie par le méga se note avec un grand M et représente un million d'unités de base du Système International, c'est donc 106.

Giga

Le giga est un préfixe utilisé fréquemment en informatique. Il représente 109, c'est à dire un milliard d'unités du Système international. Son symbole est un grand G.

Péta

Le suffixe péta est là pour représenter un billiard, ou million de milliards de l'unité de base. C'est donc un nombre d'ordre de grandeur 1015. Il se note avec un grand P en guise de symbole.

Exa

L'exa représente un trillion de l'unité de base du Système International, soit un milliard de milliards. Son ordre de grandeur est 1018. Il est exprimé par le symbole d'une grande lettre E.

Zetta

Le zetta, est l'expression de 1021 unités de base du Système International. C'est donc un billion de billiards, aussi appelé trilliard. C'est une grandeur extrêmement grande et elle est l'avant dernière plus grande qui existe. Elle se note avec un grand Z.

Yotta

Le yotta est l'unité la plus grande qui existe au monde, elle représente un quadrillion, ou un billiard de milliards, soit 1024 unités de base. Cela signifie qu'un yotta est égal à un 1 suivi de vingt-quatre 0 ! Il se note avec un grand Y.

Exercice

Comment savoir si un exercice est correct ? Ne vous mettez pas la pression et révisez tous les jours !

Convertir en mètres

  • 85 nm
  • 0,3 mm
  • 7,5 km
  • 512 km
  • 9 µm
  • 0,05 µm

Classer du plus grand au plus petit

  • 4.10-5 m
  • 1,5. 1021 m
  • 3,20.102 m
  • 10-15 m
  • 5.10-3 m
  • 10-10 m
  • 2.1019 m
  • 10-7 m
  • 1,50.1011 m
  • 6,40.106 m
  • 1,80.105 m
  • 10-5 m

Associer à chaque ordre de grandeur un objet correspondant puis placer toutes ces longueurs sur un axe gradué en puissance de 10

  • 1,5. 1021 m
  • 2.1019 m
  • 1,50.1011 m
  • 6,40.106 m
  • 1,80.105 m
  • 3,20.102 m
  • 5.10-3 m
  • 4.10-5 m
  • 10-5 m
  • 10-7 m
  • 10-10 m
  • 10-15 m

Correction

Convertir en mètres

  • 85 nm = 85.10-9 m = 8,5.10-8 m
  • 0,3 mm = 0,3.10-3 m = 3.10-4 m
  • 7,5 km = 7,5.103 m
  • 512 km = 512.103 m = 5,12.105 m
  • 9 µm = 9.10-6 m
  • 0,05 µm = 0,05.10-6  = 5.10-8 m

Classer du plus grand au plus petit

1,5.1021 m > 2.1019 m > 1,50.1011 m > 6,4.106 m > 1,8.105 m > 3,20.102 m > 5.10 -3 m > 4.10 -5 m > 10 -5 m > 10-7 m > 10-10 m > 10-15 m.

Associer à chaque ordre de grandeur un objet correspondant

  • 1,5. 1021 m = nuage de Magellan proportionnel à la Terre
  • 2.1019 m = nuage de Magellan
  • 1,50.1011 m = distance Terre - Soleil
  • 6,40.106 m = rayon Terre
  • 1,80.105 m = Corse
  • 3,20.102 m = Tour Eiffel
  • 5.10-3 m = fourmi
  • 4.10-5 m = diamètre d’un cheveu
  • 10-5 m = globule rouge
  • 10-7 m = virus
  • 10-10 m = atome
  • 10-15 m = noyau atomique

Placer toutes ces longueurs sur un axe gradué en puissance de 10

Noyau atomique   atome   virus globule rouge              fourmi          Tour Eiffel  Corse      ....


10-15                   10-10     10-7 10-5   diamètre cheveu        10                       105   Rayon Terre         distance T-S                          nuage Magellan        nuage M/T                


1010                         1015                                                           1020

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Joy

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titouan
titouan
Invité
17 Juin.

pas mal du tout merci .

Kaddour
Kaddour
Invité
29 Mai.

Merci pour votre information

Thomas
Thomas
Éditeur
29 Mai.

Bonjour ! Avec plaisir !
Bonne journée