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La loi de Wien

Par Yann le 01/08/2017 Ressources > Physique-Chimie > Première S > Ondes et phénomènes périodiques > La Loi de Wien

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Rayonnement des corps noirs

La loi de Wien a été initialement définie pour caractériser le lien entre le rayonnement d’un corps noir et sa longueur d’onde.

Un corps noir est défini comme une surface idéale théorique, capable d’absorber tout rayonnement électromagnétique peu importe sa longueur d’onde ou sa direction (expliquant ainsi la qualification de « corps noir », car tous les rayonnements visibles sont absorbés), sans réfléchir de rayonnement ou en transmettre.

Ce corps noir va produire un rayonnement isotrope supérieur à ceux d’autres corps à température de surface équivalente, afin de restituer l’énergie thermique absorbée.

Le rayonnement émis ne dépend pas du matériau constituant le corps noir : le spectre électromagnétique d’un corps noir ne dépend que de sa température. La quantification de l’énergie des rayonnements restitués correspond à des « paquets d’énergie » multiples de h x (c/λ), assimilables à l’énergie d’un photon.

C’est ainsi que Max Plank, physicien du XXe siècle, définit un quantum d’énergie.

Les sources chaudes

Les sources de lumière chaude sont des corps noirs dont la température est assez élevée pour qu’il y ait production et émission de rayonnements lumineux. On peut citer comme exemples de sources chaudes :

  • Le Soleil,
  • Les braises,
  • La lave d’un volcan
  • Ou encore le filament d’une lampe à incandescence.

Lorsque ces sources sont portés à température, ils captent l’énergie thermique et la restituent sous forme de rayonnements électromagnétiques dont la fréquence augmente avec la température, et dont la longueur d’onde diminue de la même façon. Si cette température est suffisamment élevée, les rayonnements peuvent devenir visibles.

Ces sources produisent un spectre continu qui peut être analysé par un spectromètre. Néanmoins, l’intensité n’est pas la même pour toutes les longueurs d’onde : il existe une valeur de longueur d’onde notée λmax pour laquelle l’intensité lumineuse est maximale. Ce spectre est caractéristique de la source et de la température à laquelle la source est soumise : les premières radiations visibles seront rouges, puis elles tireront vers l’orange ou le jaune jusqu’à l’obtention d’une lumière blanche.

Plus la source sera chauffée, plus les radiations tireront vers le bleu.

Il faut donc comprendre que plus la température d’un corps chauffé est élevée, plus son profil spectral s’enrichit de rayons de courtes longueurs d’onde. La longueur d’onde correspondant à l’intensité maximale devient également plus faible plus la température du corps est élevée. On peut donc supposer qu’il existe une constante qui relie la température du corps à la longueur d’onde maximale.

Quel est le spectre d’un corps chaud ? Les rayonnements émis par une étoile chaude seront le plus souvent bleutés, à cause de la forte température du corps céleste.

Expression de la loi de Wien (et lois associées)

La loi de Wien s’applique aux sources chaudes (aussi appelées corps noirs) et permet de relier la température T d’une source chaude à la longueur d’onde de l’intensité lumineuse maximale λmax

La loi de Wien est définie pour de hautes fréquences de rayonnements, alors que la loi de Rayleigh est, de façon équivalente, adaptée aux faibles fréquences de rayonnements. Il existe une loi adaptée aux fréquences intermédiaires, la loi de Planck, qui relie les deux lois précédemment citées.

Cette loi est basée sur la notion de quantum, définie par Planck comme un « élément d’énergie e » proportionnel à la fréquence ν, avec une constante de proportionnalité h.

Elle exprime la luminescence d’un corps noir à la température T.

    \[L_\lambda^0=\frac{2\times h \times c_2^0}{\lambda^{5}(e^{\frac{h \times c_{0}}{\lambda \times k_{B}\times T}}-1)}\]

Le résultat de cette formule est exprimé en W.m-2.m-1.sr-1.

Une fois simplifiée, avec la constante de Boltzmann kB égale à 1,38064852 x 10-23 J.K-1, c0 la vitesse de la lumière dans le vide (approximativement 3,00 x 108 m.s-1) et h la constante de Planck (6,62607004 x 10-34 m2.kg/s), on obtient la loi de Wien précédemment évoquée.

La loi peut alors s’écrire sous forme de la formule suivante :

    \[\lambda_{max}\times T=2,898\times10^{-3}\]

Dans cette formule, λmax est en mètre (m), T est en Kelvin (K). La constante 2,898 x 10-3 est exprimée en Kelvin par mètre (K.m).

La loi arrondie correspond alors à une luminescence maximale égale à :

    \[L_{\lambda max}^0=4,096\times10^{-12}\times T^{5}\]

Le Kelvin

Dans la loi de Wien, la température s’exprime en kelvin (K).

C’est cette unité qui permet de mesurer la température dans le système international de mesure (SI). Le Kelvin permet une mesure absolue de la température. C’est à l’aide de cette unité que l’on peut mesurer le zéro absolu, température la plus basse qui puisse exister sur Terre. Elle correspond à 0 K, soit – 273,15 °C.

Si θ est la température exprimée en degrés Celsius et T la température exprimée en Kelvin, alors la relation entre les deux est :

    \[T=\theta + 273,15\]

Il est important de noter qu’on ne parle pas de « degré Kelvin », mais bien de Kelvin.

Utilisation de la loi de Wien

La loi de Wien peut être utilisée pour déterminer la température d’une source chaude dont le spectre et λmax sont connus, ou inversement il est possible de déterminer λmax à partir de la température d’une source chaude.

Mesure de la température des étoiles

La première utilisation est la plus courante, elle permet notamment de déterminer la température de la surface d’une étoile. Pour cela, il suffit d’observer le spectre d’une étoile donnée, et de déterminer la longueur d’onde pour laquelle on obtient un maximum d’intensité lumineuse (aussi appelé « luminance spectrale »).

Quelle est la relation entre température et spectre lumineux La lumière émise par la source chaude est caractéristique de la température de cette source : on obtient alors une intensité maximale différente pour des longueurs d’onde différentes selon la température de la source. Les courbes caractéristiques de la loi de Wien (et de la loi plus générale de Planck) sont indiquées en couleur.

On applique alors la loi de Wien, qui permet de déterminer la température de l’étoile. La loi de Wien permet d’expliquer que les étoiles rouges sont beaucoup moins chaudes que les étoiles bleues.

La loi de Wien permet de réaliser une classification des étoiles selon leurs types spectraux, qui correspondent chacun à une température de surface caractéristique.

ClasseTempératureLongueur d'onde maximaleCouleurRaies d'absorption
O60 000 - 30 000 K100 nmBleueN, C, He et O
B30 000 - 10 000 K150 nmBleue-blancheHe et H
A10 000 - 7 500 K300 nmBlancheH
F7 500 - 6 000 K400 nmJaune - blancheMétaux : Fe, Ti, Ca et Mg
G6 000 - 5 000 K500 nmJaune (similaire au Soleil)Ca, He, H et métaux
K5 000 - 3 500 K750 nmJaune-orangéeMétaux et oxyde de titane
M3 500 - 2 000 K1000 nmRougeMétaux et oxyde de titane

Un simple moyen mnémotechnique afin de mémoriser ces classes serait :

« Oh, Be A Fine Girl Kiss Me ».

Mesures courantes

De la même façon, on peut déterminer la température d’une source chaude à courte distante à l’aide d’un spectromètre. Il est cependant nécessaire de garder à l’esprit que la lumière provenant d’un objet n’est pas nécessairement de nature thermique : couleur et température ne sont pas toujours liés. En effet, si on suivait strictement la loi de Wien en calculant la « température du ciel » avec une longueur d’onde maximale de 400 nm, on obtiendrait une température de 7200°C !

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Ter
Invité

Professeur depuis plus de trente ans , je tiens à vous féliciter pour ce cours simple, concis et efficace.

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