La méthode de la factorisation
Factoriser une expression, cela signifie la transformer en produit de facteurs.
Il existe deux méthodes pour factoriser une expression :
- Utiliser une identité remarquable ;
- Utiliser la distributivité.
Les identités remarquables
Il est important de bien maîtriser les identités remarquables si vous souhaitez pouvoir factoriser facilement.
Voici les 3 formules à connaître parfaitement :
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
- (a-b)² = a² - 2ab +b²
- (a+b)(a-b) = a²-b²
Pour factoriser, on utilisera les mêmes formules, mais dans le sens inverse :
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
- (a-b)² = a² - 2ab +b²
- (a+b)(a-b) = a²-b²
Exercice 1 : Factorisations simples
Factoriser les expressions suivantes
- 18x + 24
- x3 – 7x
- (x+1)(x-4) – 7(x+1)
- 3(x+1)(2x+1) – x(x+1) – x – 1
- (x+1)² + (x+1)(7-x)+ x² -1
- 3x² -3 + (x+1)(2x-4) + (x²+2x+1)
- x3 – x
- (2x + 5)2 – (8-x)²
Correction
- 18x + 24= 6*3x + 6*4= 6(3x + 4)
- x3 – 7x= x ( x2 -7)
- (x+1)(x-4) – 7(x+1)= (x + 1)(x – 4 +(-7))= (x + 1)(x – 11)
- 3(x+1)(2x+1) – x(x+1) – x – 1= (x + 1)(3(2x + 1) -x – 1)= (x + 1)(5x + 2)
- (x+1)2 + (x+1)(7-x)+ x2 -1= (x+1)2 + (x+1)(7-x)+ (x -1)(x + 1)= (x+1)((x + 1) + (7-x)+ (x -1))= (x+1)(x + 7)
- 3x2 -3 + (x+1)(2x-4) + (x2+2x+1)= 3(x -1)(x + 1) + (x+1)(2x-4) + (x + 1)2= (x + 1)(3(x – 1) +(2x-4) + (x + 1))= (x + 1)(6x -6)= 6 (x + 1)(x – 1)
- x3 – x=x (x2 – 1)=x(x + 1)(x – 1)
- (2x + 5)2 – (8-x)2=( (2x + 5) – (8-x) ) ( (2x + 5) + (8-x) )= (3x – 3) (x + 13 )= 3 (x – 1) (x + 13 )
Exercice 2 : Factoriser avec des facteurs communs
1. Retrouver les expressions factorisées
A = (2x + 1)(1 + x)
B = (1 + 3x)(x – 2) + 1
C = (x – 4) – 3(5 + 2x)
D = (x + 3) + (1 – 3x)
E = 4x – 15
F = (6 + x)2 – 4(2 + 3x)
G = (x – 4) – 3(3 + 2x)
H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x)
I = (2 + 2)(3 – 4x)
J = 2(1 + x)
K = (x + 15)2
L = x(x – 2)
M = 3(5 + x)(32 + 5x)
N = 4 – (x – 5)(3x – 5)
O = (2x + 1)2(1 + x)
2. Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire le 2e facteur si possible
A = 3(2 + 3x) – (5 + 2x)(2 + 3x)
B = (4x – 1)(x + 6) + (4x – 1)
C = (1 – 6x)2 – (1 – 6x)(2 + 5x)
3. Factoriser en appliquant les identités remarquables
A = x2 – 2x + 1
B = 4x2 + 12x + 9
C = 9x2 – 4
D = 25 + 16x2 – 40x
E = 1 – 49x2
F = 12t + 4 + 9t2
G = (2x + 3)2 – 64
H = 1 – (2 – 5x)2
Correction Exercice 2
1. Retrouver les expressions factorisées
A = (2x + 1)(1 + x)
H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x)
I = (2 + 2)(3 – 4x)
J = 2(1 + x)
K = (x + 15)²
L = x(x – 2)
M = 3(5 + x)(32 + 5x)
O = (2x + 1)2(1 + x)
2. Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire le 2e facteur si possible
A = 3(2 + 3x) – (5 + 2x)(2 + 3x)
= (2 + 3x)(3 – (5 + 2x))
= (2 + 3x)(3 – 5 – 2x)
= (2 + 3x)(-2 – 2x)
B = (4x – 1)(x + 6) + (4x – 1)x1
= (4x – 1)(x + 6 + 1)
= (4x – 1)(x + 7)
C = (1 – 6x)(1 – 6x) – (1 – 6x)(2 + 5x)
= (1 – 6x)((1 – 6x) – (2 + 5x))
= (1 – 6x)(1 – 6x – 2 – 5x)
= (1 – 6x)(-11x – 1)
3. Factoriser en appliquant les identités remarquables
A = x2 – 2x + 1
= (x – 1)2
(2ème I.R. avec a = x et b = 1)
B = 4x2 + 12x + 9
= (2x + 3)2
(1ère I.R. avec a = 2x et b = 3)
C = 9x2 – 4
=(3x – 2)(3x + 2)
(3ème I.R. avec a = 3x et b = 2)
D = 25 + 16x2 – 40x
=(5 – 4x)2
(2ème I.R. avec a = 5 et b = 4x)
E = 1 – 49x2
=(1 – 7x)(1 + 7x)
(3ème I.R. avec a = 1 et b = 7x)
F = 12t + 4 + 9t2
=(2 + 3t)2
(1ère I.R. avec a = 2 et b = 3t)
G = (2x + 3)2 – 64
=((2x + 3) – 8)((2x + 3) + 8)
=(2x + 3 – 8)(2x + 3 + 8)
=(2x – 5)(2x + 11)
(3ème I.R. avec a = 2x + 3 et b = 8)
H = 1 – (2 – 5x)2
=(1 – (2 – 5x))(1 + (2 – 5x))
=(1 – 2 + 5x)(1 + 2 – 5x)
=(-1 + 5x)(3 – 5x)
(3ème I.R. avec a = 1 et b = 2 – 5x)
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Bien 👍😊
je veu apprendre a resoudre les fonctions
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J’ai très bien aimé.
Salut j’ai bien la mathématiques enfaite je veux être les meilleurs
mercie pour votre aide
J’aime beaucoup
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