Ici:
« V » représente le symbole de la racine.
Et «# » signifie « différent de »
Simplifier des calculs contenant des racines carrées
Simplifier une racine carrée signifie rendre le nombre entier situé sous la racine le plus petit possible. Pour cela, on applique la méthode suivante :
Ex :
Simplifier A=V75
Etape 1 :Décomposer le nombre sous la racine en produits de nombres premiers, en y faisant apparaître des carrés parfaits si possible.
Cela donne :
A=V75=V(3*25)=V(3*5²)
Etape 2 :Décomposer la grande racine en racine simples grâce à la propriété suivante :V(a*b)=Va*Vb
Cela donne :
A=V3*V(5²)
Etape 3 :Utiliser la propriété V(a²)=a pour simplifier le calcul.
A=V3*5 donc A=5V3
Résolution d'une équation du type x²=a (avec a nombre positif)
Pour résoudre une équation du type x²=a, on applique la méthode suivante :
Pour résoudre x²=a
Etape 1 : Faire passer tous les nombres à gauche du calcul.
Ainsi on obtient :
x²-a=0
x²-(Va)²=0
car si a(>ou=)0, alors (Va)²=a
Etape 2 :On reconnaît l'identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)
Donc
(x+Va)(x-Va)=0
Etape 3 : On obtient ainsi une équation produit, que l'on résout en utilisant la règle suivante : Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul.
On a donc :
x+Va=0 ou x-Va=0
x=-Va x=Va
Donc les solutions de l'équation x²-a sont :
-Va et Va
Notions de valeur exacte
Dans de nombreux exercices contenant des racines carrées, on demande de donner le résultat en valeur exacte. Dans ce cas, il faut simplifier les racines carrées au maximum à l'aide de la méthode expliquée dans le 1), et ce résultat simplifié sera la valeur exacte demandée.
Exemple :
Résultat obtenu : AB=V12
On écrit alors :
AB=V(3*2²)=V3*2
Donc AB=2V3
---> ce résultat simplifié au maximum est la valeur exacte demandée
Si l'on souhaite obtenir une valeur approchée, on peut effectuer 2V3 avec la calculatrice.
On trouve alors :
AB=3,46 à 10^-2 près.
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