L’ensemble de Mandelbrot est l’une des figures les plus emblématiques des mathématiques modernes, illustrant la beauté et la complexité des fractales. Découvert par Benoît Mandelbrot dans les années 1980, il repose sur une équation simple mais génère des formes infiniment détaillées, où chaque zoom révèle de nouvelles structures fascinantes. Son exploration a révolutionné la compréhension des dynamiques complexes et a trouvé des applications en science, en art et en technologie.
Pour tout découvrir de la notion de fractale, ou d'objets fractals, tels que définis par Mandelbrot, lancez-vous dans la lecture de notre article.
Mandelbrot, visionnaire des formes infinies
"Les Objets Fractals : Forme, Hasard et Dimension" (1975) est l’ouvrage fondateur où Benoît Mandelbrot introduit la notion de fractale. Il y explore comment ces formes complexes et irrégulières, présentes dans la nature, obéissent à des règles mathématiques spécifiques.
En reliant géométrie, chaos et structures naturelles, il démontre que les fractales offrent un nouveau langage pour comprendre le monde, influençant de nombreux domaines scientifiques et artistiques.
Né en 1924 en Pologne et naturalisé français, Mandelbrot a exploré des domaines variés, allant des mathématiques pures à l’économie et à la physique. Véritable scientifique visionnaire, c'est aussi un personnage à l'origine des fractales modernes.
Un scientifique visionnaire
Après une enfance compliquée, Mandelbrot part pour les États-Unis afin de continuer ses études de mathématiques et de sciences. D'abord déçu par Caltech et ses professeurs peu investis dans sa stimulation intellectuelle, il choisit finalement de faire sa thèse à Paris en 1952, sur le sujet « Contribution à la théorie mathématique des jeux de communication », qui lui vaut une renommée immédiate.
Professeur invité au MIT, puis à l'Institut des Sciences Appliquées de Princeton, mais aussi au CNRS à Paris après l'obtention d'une bourse de la Fondation Rockfeller, Benoît Mandelbrot profite d'un environnement propice à la réflexion, et à la recherche.
- En 1962, il débute ses recherches en mathématiques appliquées sur les objets définis avec modèles classiques, avec notamment la courbe de Koch et son fameux flocon de Koch
- En 1967, il intègre des recherches plus complexes dans ses travaux, avec un focus sur les objets ayant une dimension non-entière, en s'inspirant de la dimension de Hausdorff
Ainsi, contrairement aux modèles classiques, il s’intéresse aux structures complexes et désordonnées présentes dans la nature, ce qui l'amène naturellement à découvrir les fractales.
La découverte des fractales modernes
Quelle est la longueur de la côte britannique ?
Ouverture du papier de recherche de Benoît Mandelbrot sur les fractales, 1973
Voilà le problème posé d'entrée de jeu. Du fait de son irrégularité, la côte bretonne est difficile à appréhender. Si l'on peut calculer une distance globale, il est difficile de prendre en compte les moindres courbes de la côte en question. C'est l'objet du premier article scientifique en la matière de Mandelbrot, publié en 1967.
Cela amène les premières réflexions sur le fait que des lois mathématiques simples régissent en réalité des paysages naturels comme des montagnes : c'est le début de la théorie des fractales
Il formalise et popularise la notion de fractales dans les années 1970, notamment avec l’ensemble de Mandelbrot, qui devient une icône des mathématiques visuelles.
Comprendre l'ensemble de Mandelbrot
⬆️ Cette photo représente l'ensemble de Mandelbrot, à ses débuts : le zoom infini s'applique sur la vallée située entre la cardioïde et le bourgeon principal
En 1973, Mandelbrot signe un article scientifique qui va changer sa carrière et la perception de ses pairs sur les questions de nombres entiers et de formes définies, ou plutôt, indéfinies : Formes nouvelles du hasard dans les sciences. Dans ce contexte, il présente des objets jusqu'alors peu connus, notamment le triangle de Sierpinski ou le flocon de Koch.
L'article se focalise sur :
- L'importance des fluctuations obligatoires
- La non-existence d'une seule forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres
- Les phénomènes de la nature obéissent à cet autre type de hasard où l’on ne peut appliquer la loi des grands nombres
- Ces phénomènes répondent plutôt à une hométhie d'échelle, qui sera appelée plus tard "autosimilarité'
lors de son premier cours à Harvard
Plusieurs principes définissent cet ensemble complexe :
- Connexité
- Autosimilarité
- Universalité
- L'ensemble de Mandelbrot est considéré comme localement connexe
- L'ensemble de Mandelbrot est réputé autosimilaire dans les points de voisinage, sans l'être strictement
- L'ensemble des points ne convergeant pas, pour une fonction cubique, par la dimension de Newton
Cela s'inspire d'autres ensembles, comme l'ensemble de Julia, théorisé par Gaston Julia et Pierre Fatou au début du XXème siècle. L’ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia sont étroitement liés par l’itération de la fonction complexe zₙ₊₁ = zₙ² + c.
L’ensemble de Mandelbrot sert de "carte" des ensembles de Julia :
- Chaque point c de Mandelbrot correspond à un ensemble de Julia spécifique
- Si c appartient à Mandelbrot, l’ensemble de Julia associé est connexe ; sinon, il est totalement discontinu
Cette relation révèle une structure profonde entre stabilité et chaos, où Mandelbrot regroupe l’infinité des formes fractales de Julia. Ensemble, ils offrent une compréhension visuelle et dynamique des systèmes complexes en mathématiques et en physique.
Applications des fractales de Mandelbrot
L’ensemble de Mandelbrot doit sa popularité à la richesse de ses formes, à la complexité infinie de ses détails et à la possibilité de l’explorer grâce aux nombreux logiciels disponibles. Il est basé sur une simple équation itérative, qui produit des formes complexes et infinies, ce qui en fait un objet mathématique unique. En effet :
- Le grossissement du zoom atteint environ 60 milliards : à l’échelle réelle, la première image du zoom serait dix fois plus grande que la distance Terre-Lune
- Cette exploration peut être prolongée jusqu’à un facteur d’agrandissement de 10³⁰
- Chaque zoom révèle des détails toujours plus fins, illustrant la nature récursive des fractales
L’ensemble de Mandelbrot fascine par ses motifs esthétiques, mêlant rigueur scientifique et beauté visuelle, créant un lien entre mathématiques et art. L'ensemble a d'ailleurs été source d'inspiration pour le graphisme, la musique et l’animation, où les motifs fractals enrichissent les œuvres numériques.
Outre cela, les fractales de Mandelbrot offrent deux opportunités principales dans le domaine des sciences et des maths :
L'optimisation technologique des images et télécommunications
La modélisation des phénomènes naturels, formés biologiquement par des fractales
L’ensemble de Mandelbrot a donné naissance à une nouvelle classe mathématique car il ne rentre pas dans les cadres traditionnels de la géométrie euclidienne ou de l’analyse classique. Il est en effet organisé autour des principes d'autosimilarité et de complexité infinie. D'autres chercheurs se sont inspirés de ces travaux pour avancer les leurs depuis les années 1970.
Les fractales sont utilisées pour optimiser plusieurs technologies grâce à leur capacité à représenter des structures complexes avec peu d’informations :
- En traitement d’images, elles permettent de compresser efficacement des fichiers en conservant les détails essentiels
- Dans les télécommunications, les antennes fractales améliorent la réception et réduisent l’encombrement en offrant des performances multi-bandes
On retrouve aussi les fractales dans la nature, que ce soit dans la végétation (nervure des feuilles ou des arbres) ou dans la géologie (montagnes formées par l'érosion). Elles permettent alors de modéliser avec précision de nombreux phénomènes naturels en reproduisant leurs formes complexes et auto-similaires, qu'il s'agisse des formations nuageuses ou orageuses, de la structure arborescente des rivières ou des formations biologiques optimisées pour l'efficacité.
L'héritage de Mandelbrot, un nouveau regard sur la nature
Benoît Mandelbrot a montré que les fractales permettent de modéliser des structures cosmiques, comme la répartition des galaxies. L’univers présente des motifs auto-similaires à différentes échelles, du réseau cosmique aux nébuleuses.
Ses travaux ont aidé à comprendre l’organisation chaotique mais structurée de l’univers, révélant un lien entre mathématiques et dynamique cosmique.
La découverte de Mandelbrot a transformé la vision des systèmes chaotiques et complexes, ce qui offre un nouveau champ et de nouvelles perspectives scientifiques. En ce sens, les fractales offrent une compréhension plus fine des structures naturelles et des dynamiques non linéaires, et elles constituent un outil pour explorer l'infini, en utilisant les mathématiques.
Les travaux de Mandelbrot sont une source d'inspiration et d'innovation depuis les années 1970, et continuent d’influencer la science, l’ingénierie et l’art, ouvrant de nouvelles perspectives en recherche. Parmi les exemples les plus pertinents, on retrouve :
- Benoît Mandelbrot lui-même, en collaboration avec Richard Hudson, a appliqué les fractales à la finance, montrant que les marchés suivent des modèles imprévisibles loin des courbes gaussiennes classiques
- Michael Barnsley, mathématicien, a développé la compression fractale des images, une technique révolutionnaire pour stocker des images en exploitant l’auto-similarité
- Geoffrey West, physicien, a utilisé les fractales pour expliquer les lois d’échelle en biologie, notamment la manière dont les réseaux vasculaires optimisent la distribution des nutriments
L’ensemble de Mandelbrot incarne la beauté des mathématiques et leur lien avec le monde naturel et technologique. Mais y'a-t-il réellement une limite aux travaux de Mandelbrot ? Il semblerait qu'ils aient ouvert la porte de l'infini... La véritable question, c'est de savoir jusqu'où ?
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