Pour décrire et interpréter le monde matériel qui nous entoure, les physiciens utilisent des grandeurs physiques.

Plus généralement, les sciences utilisent des grandeurs. Une grandeur peut souvent être mesurée, estimée, ou calculée et peut être symbolisée par une lettre. Ce sont ces grandeurs qui figurent généralement dans les « formules » qu'on utilise, en physique ou dans d'autres disciplines.

Le Système International

L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier.

Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions.

Dans certains sujets d'exercices, les grandeurs ne sont pas exprimées dans le système international mais avec des grandeurs usuelles. Il est facile de les comprendre et elles sont parfois utilisées dans la vie de tous les jours, mais il est essentiel de toujours effectuer les calculs avec les grandeurs exprimées dans l'unité internationale pour éviter les erreurs.

Le Système International d'unité, abrégé SI, devient le successeur du système métrique en 1960 à partir d'une résolution de la 11ème Conférence générale des poids et mesures. Ce système permet de rapporter toutes les unités de mesure à un petit nombre d'étalons fondamentaux, permettant aux scientifique de se consacrer à améliorer leur définition. Ce travail est l'une des missions des différents laboratoires nationaux de métrologie.

En pratique, nous utilisons de nombreuses unités dans la vie de tous les jours selon les domaines. C'est ce que l'on appelle l'écriture usuelle.

A quoi sert le Système MksA ?
L'utilisation de mesures unifiées à travers le monde s'est avérée indispensable pour pouvoir instaurer une compréhension entre les scientifiques des différents pays.

Les mathématiques dans les autres sciences

Toutes les sciences comportent une part ou un rapport aux mathématiques. Que ce soit parce qu'elles nécessitent des capacités d'analyse ou encore de modélisation, mêmes les sciences associées au réel comme la physique ou la biologie ont besoin des mathématiques pour être étudiées.

Biologie

En biologie, les mathématiques aident à effectuer des modélisations et des projections. Par exemple, pour analyser l'évolution d'une espèce lors de sa reproduction, on utilisera des probabilités, avec la Chaîne de Markov notamment.

L'évolution des génotypes est aussi analysée grâce aux mathématiques, avec le principe de Hardy-Weinberg.

On retrouve aussi les mathématiques dans la virologie, pour voir comment se propage un virus au sein d'une population ou encore l'efficacité d'un traitement.

Chaîne de Markov

La Chaîne de Markov est un processus qui possède la propriété de Markov : les évènements prédits le sont à partir des informations présentes sur les variables et les évènements antérieurs au présent n'entrent pas en ligne de compte.

Ce nom vient de l'inventeur de ces notions, Andreï Markov, un mathématicien russe.

L'exemple le plus connu pour illustrer ces chaînes de Markov est celui du hamster Doudou, dont la vie se représente facilement par un processus sans mémoire.

Doudou est un hamster à la vie simple : sa vie se divise entre trois lieux distincts de sa cage.

  1. Les copeaux de bois sur lesquels il dort ;
  2. La mangeoire dans laquelle il trouve ses croquettes ;
  3. La roue qui lui sert à faire de l'exercice.

Chaque minute qui passe offre un dilemme à Doudou, continuer son activité ou en démarrer une nouvelle. Ses actions respectent les règles suivantes :

  • Quand Doudou dort, il a 9 chances sur 10 de ne pas se réveiller à la minute suivante ;
  • Quand Doudou se réveille, il y a 1 chance sur 2 qu'il aille manger et 1 chance sur 2 qu'il fasse de l'exercice ;
  • Quand il mange, cela dure 1 minute. Ensuite, il fait autre chose : il y a 3 chances sur 10 qu'il aille faire de l'exercice et 7 chances sur 10 qu'il aille se coucher ;
  • Courir est une activité fatigante. Il y a alors 8 chances sur 10 que Doudou aille dormir après son exercice. Sinon il continue à courir un peu.

A partir de ces règles de probabilité, on peut définir un diagramme de probabilité.

A quoi ressemble un diagramme de probabilité ?
Ce diagramme explique le cheminement probable de la vie du hamster selon les règles évoquées ci-dessus.

Sciences humaines

En sciences humaines, ce sont les statistiques et les probabilités qui sont encore une fois au centre des études.

Que ce soit pour la psychologie, la finance ou encore la sociologie, aucun travail n'est possible sans appliquer des règles de logique.

L'une des matières en sciences humaines les plus dur à caler sur un modèle mathématique est l'économie. En effet, en matière d'économie les hommes ne fonctionnent pas toujours en toute logique, en laissant passer d'autres sujets avant le gain pur et simple d'argent, comme le don ou encore les sentiments.

Physique

La physique est sûrement l'une des matières pour lesquelles les mathématiques sont les plus utilisées. En astronomie par exemple, les constellations, la détermination de leur distance entres elles ou par rapport à la Terre ont été calculées dès le début grâce à des théorèmes de géométrie comme le théorème de Pythagore ou le théorème de Thalès.

Pour les modélisations aussi, de plus en plus utilisées dans nos sciences modernes, les mathématiques font partie intégrante de chaque étude. L'informatique prend également de plus en plus de place avec l'arrivée d'ordinateurs puissants capables de modéliser des situations avec de plus en plus de variables.

La plupart des lois physiques ont été énoncées par des mathématiciens, en quête d'expliquer par des calculs les phénomènes physiques.

A quoi servent les mathématiques ?
Vous remarquerez au cours de vos TP de Physique que les connaissances en mathématiques sont un vrai plus. En effet, des relations entre les deux cours seront régulièrement faites.

Théorème de Pythagore

Voici le théorème tel qu'il a été énoncé par Pythagore vers 500 avant J.-C. :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

On peut le résumer plus simplement comme ceci :

Si un triangle ABC est rectangle en C, alors AB2 = AC2 + BC2.

Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?
Dans cet exemple, avec les longueurs, la formule s'écrira a² + b² = c²

Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès tient son nom de la personne qui l'a énoncé, un philosophe et mathématicien grec : Thalès de Milet.

Il énonce :

Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC).
Alors on a :

    \[ \frac {AD} {AB} = \frac {AE} {AC} = \frac {DE} {BC} \]

Voici quelques schémas pour illustrer le théorème de Thalès :

Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?
Voici les deux configurations type du Théorème de Thalès

Chimie

En chimie, les représentations moléculaires ont depuis toujours utilisé les principes géométriques, afin de modéliser la structure et la répartition des atomes au sein des molécules.
Pour représenter les molécules en 3 dimensions de la chimie organique, on utilise aussi les règles de la géométrie dans l'espace, qui aide à comprendre comment se structurent l'oxygène ou l'hydrogène par exemple.

Chimie organique

En 1828, Friedrich Wöhler, un chimiste allemand, découvre la chimie organique dans laquelle le carbone a un rôle primordial en produisant de l'urée avec du cyanate d'ammonium.

La chimie organique est l'étude en chimie de tous les composants organiques. C'est donc principalement le cas de tous les composés du carbone, qu'ils soient d'origine synthétique ou naturelle.
On retrouve dans ces molécules certains atomes récurrents comme l'hydrogène, l'oxygène et l'azote.

Informatique

Les sciences informatiques et les mathématiques sont étroitement liées. En effet, ces deux disciplines se complètent. L'informatique donne une puissance de calcul aux mathématiques tandis que les mathématiques permettent aux ordinateurs d'être de plus en plus efficaces.

Grâce à leurs capacités, les ordinateurs peuvent effectuer des calculs dans le temps, avec un grand nombre d'itérations, ce qui est d'une grande aide pour les mathématiciens qui effectuent des recherches dans les suites ou les fonctions par exemple.

De son côté, l'informatique utilise aussi les mathématiques pour ses actions les plus simples comme les plus complexes. Par exemple, la cryptographie est un moyen de coder des données par l'application de formules mathématiques.

Maintenant, l'ordinateur est devenu un outil de base pour tout mathématicien, que ce soit pour prouver des conjectures, effectuer des travaux ou encore vérifier des calculs.

Comment fonctionne un ordinateur ?
La base de fonctionnement d'un ordinateur repose sur les mathématiques. Le système binaire composé de 0 et de 1 fonctionne en effet grâce aux calculs mathématiques et logiques effectués par le processeur.
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Exercices d'application

Exercice 1 : Les grandeurs physiques au fil de l'Histoire

  1. Dans le texte suivant, souligner en rouge les grandeurs physiques, en bleu les unités et en vert les valeurs.

Le physicien Isaac Newton, à la fin du XVIIème siècle, a établi un modèle pour rendre compte de deux phénomènes à priori très différents :

  • Lorsqu'on lâche un objet, il tombe au sol

  • La Lune est en orbite autour de la Terre.

Le premier modèle indique que tout objet exerce une force attractive sur tout autre objet. Newton donne également une formule qui permet de calculer la valeur de ces forces en fonction des masses des objets et de la distance qui les sépare.

Au début du XIXème siècle, des astronomes mesurèrent la vitesse de la planète Uranus mais la valeur était différente de celle prévue par Newton. Il y a eu plusieurs débats sur la théorie de Newton. Un jour, un physicien nommé Urbain le Verrier utilisa alors le modèle de Newton pour établir qu'une 8ème planète d'une masse de 1026 kg gravitait à une distance du soleil de 4,5 milliards de km.

  1. Parmi les termes suivants, souligner ceux qui vous semblent correspondre à une grandeur:

La couleur; la durée; la rugosité; l'odeur; l'état physique; la population d'un lycée; une date historique; le pH; la largeur; l'électricité; l'intensité électrique; le son; l'intensité sonore; l'inflation; la capacité de stockage d'un disque dur; le débit d'une connexion Internet; l'aire d'une surface.

3) Proposer au moins deux exemples de grandeurs physique ne figurant pas dans la liste précédente ni dans le texte et pour chaque exemple, le symbole pour noter ces grandeurs.

Le corrigé est disponible sur ce blog dans la partie physique.

Exercice 2 : Une équation au service des Sciences Physiques

L'équation différentielle (1) :

    \[\frac { \text{d} x } { \text {d} t} + \alpha x = \beta\]

( α et β étant des grandeurs constantes), permet de décrire un grand nombre de phénomènes physiques variables au cours du temps: intensité, tension, vitesse, grandeur radioactive.

PARTIE A: DANS LE DOMAINE DES SYSTÈMES ÉLECTRIQUES

Cette première partie tend à montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en jeu une bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8 W ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de résistance R = 12 W, alimenté par un générateur délivrant une tension

continue E = 6,1 V.

On réalise expérimentalement le circuit électrique ci-contre. L'évolution des grandeurs variables, tension u(t) et intensité i(t), est obtenue par voie informatique.

  • La voie EA0 permet de visualiser la tension E
  • La voie EAl permet de visualiser la tension UBc

1. Étude expérimentale

La courbe expérimentale donnant l'évolution de l'intensité i(t), obtenue par traitement informatique est donnée en ANNEXE n°1, graphique 1 .

1.1 Évaluer graphiquement la durée du régime transitoire. Aucune justification n'est demandée.

1.2 τ étant la constante de temps associée au dipôle {bobine-conducteur ohmique} :

1.2.1 Donner l'expression littérale de t en fonction des paramètres du circuit.

1.2.2 En déduire l'expression de l'inductance de la bobine et calculer sa valeur (elle doit être comprise entre 0,95 H et 1,20 H).

2. Modèle théorique

2.1 En utilisant la loi d'additivité des tensions et en respectant l'orientation du circuit, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i(t).

2.2 Par identification avec l'équation (1) vérifier que

    \[\alpha = \frac {R + r} {L}\]

et donner l'expression de b.

2.3 En déduire l'équation horaire littérale i(t) en fonction de {r, R, L et E}. Montrer que cette solution valide bien l'équation établie en 2.1.

2.4 Montrer que cette équation horaire peut s'écrire

    \[i (t) = \frac {E} {R + r} ( 1 - e ^{- \frac {t} {\tau}} )\]

3. Confrontation des résultats expérimentaux avec le modèle théorique.

3.1 On appellera I l'intensité en régime permanent (l'intensité étant constante). Donner l'expression littérale de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec la valeur expérimentale obtenue ?

3.2 Donner l'expression littérale de i(t) à la date t = t en fonction de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec l'expérience ?

PARTIE B : DANS LE DOMAINE MÉCANIQUE

L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique rfluide a été exploitée grâce à un logiciel.

Comment faires des contrôles en physique ?
Vérifier la qualité des billes de roulement est un processus primordial afin d'assurer leur qualité.

Les capacités du logiciel permettent ensuite de faire tracer l'évolution de la vitesse du centre d'inertie en fonction du temps. Les deux courbes, expérimentale et modélisée, sont proposées ci-dessous, mais ne donnent lieu à aucune exploitation.

1. Exploitation de l'équation v(t) modélisée.

L'équation mathématique associée à la courbe modélisée, vérifie l'équation (3) :

    \[v (t) = 1,14 \cdot (1 - e ^{- \frac {t} {0,132} })\]

avec v(t) en m.s-1 et t en s. Cette équation est identifiable à l'équation (2).

1.1 Déterminer la valeur de α et du rapport et β/α . Donner, sans justification, l'unité de ce rapport.

1.2 Montrer que l'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture
numérique

    \[\frac{ \text{d} v} {\text {d} t } + 7,58 v = 8,64\]

2. Étude du phénomène physique.

2.1 Faire l'inventaire des forces appliquées à la bille. Les représenter sur un schéma, en sens et direction appliquée au centre d'inertie G de la bille.

2.2 Appliquer au système bille la seconde loi de Newton.

3. Exploitation de la modélisation

La bille ayant servi à réaliser l'étude est une bille d'acier de masse m = 32 g et de volume V. L'accélération de la pesanteur est g = 9,81 m.s-2.
Les forces de frottement qui s'appliquent à la bille ont pour expression vectorielle f = – kv.

3.1 En déduire l'expression littérale des coefficients α et β de l'équation (1).

3.2 Quelle serait la valeur du coefficient β si la poussée d'Archimède était nulle ? En utilisant l'équation établie en 1.2., justifier que cette force doit être prise en compte.

PARTIE C : DANS LE DOMAINE DE LA RADIOACTIVITÉ

Les traceurs radioactifs sont des radio-isotopes très utilisés en imagerie médicale pour l'exploration des organes.

Des dispositifs adaptés transforment en image les mesures d'activité enregistrées.

Le 11C est un traceur radioactif utilisé pour suivre en particulier l'évolution de la maladie de Parkinson.

Le traceur radioactif se fixe sur le cerveau. L'activité moyenne résiduelle évolue au cours du temps selon la loi (4) :

    \[A(t) = A_{0} \cdot e ^{- \lambda t}\]

1. L'évolution de l'activité d'un échantillon de 11C est donnée sur le graphique 2 de l'ANNEXE n°1. On va utiliser ce graphique pour atteindre les grandeurs radioactives caractéristiques du 11C.

1.1 Montrer par analyse dimensionnelle que λ (constante radioactive), est identifiable à l'inverse d'un temps.

1.2 Rappeler la relation liant λ à la constante de temps τ du radio isotope. Exprimer la loi d'évolution A(t) en fonction de τ.

1.3 Évaluer graphiquement la valeur de la constante de temps τ et en déduire la valeur de λ.

On prendra par la suite λ = 3,40.10–2  min-l.

1.4 Définir le temps de demi-vie t1/2 , le déterminer graphiquement.

2. L'activité initiale de la dose injectée au patient est A0 = A(t0) = 3,00.108

La méthode d'Euler impose de se fixer un pas Δt pour effectuer les calculs.

2.1 Justifier que la valeur Δt = 15 min n'est pas correctement adaptée à l'étude.

2.2 On choisit de faire les calculs avec un pas Δt = 5 min. Recopier et compléter le tableau ci-dessous mettant en parallèle les résultats obtenus avec la méthode d'Euler et ceux obtenus à partir de l'équation théorique (4).

Date (min)A Euler (Bq)A théorique (Bq)
03,00.1083,00.108
52,53. 108
102,07.108
151,72.1081,80.108

2.3 On considérera que le choix de Δt est pertinent si l'écart relatif entre A Euler et A théorique est inférieur à 5%. La valeur proposée pour Δt vous semble-t-elle correctement adaptée ?

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.