Objectif

Notre but est de vérifier de façon expérimentale la loi de Snell-Descartes de la réfraction, ce qui signifie que nous allons prouver cette loi par la réalisation d'une expérience en conditions réelles. Cette loi lie les indices de réfraction (n1 et n2), l'angle d'incidence (i1) et l'angle de réfraction (i2). Elle s'exprime par la relation suivante :

    \[n_{1}\times \sin\left(i_{1}\right)=n_{2}\times \sin\left(i_{2}\right)\]

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Rappel

Définition : La réfraction de la lumière correspond au changement de direction du rayon lumineux lorsque celui-ci traverse une surface séparant deux milieux d'indices de réfraction différents.

Comment apprendre les bases de la lumière ?
Mais alors, qu'est-ce que la loi de Snell Descartes ?

En effet, la loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi qui sépare deux milieux différents. Il faut d'abord savoir que chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière.

On modélise cette caractéristique par son indice de réfraction n qui s'exprime sous la forme :

    \[n = \frac{c}{v}\]

v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est la vitesse de la lumière dans le vide (souvent arrondie à 3.108 m.s-1

Il est important de savoir que :

  • Le rayon lumineux est dit incident avant d'avoir rencontré la surface réfractante (appelée dioptre), il est dit réfracté après avoir rencontré cette dernière.
  • Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé point d'incidence.
  • Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre, au point d'incidence est dit plan d'incidence.
  • L'angle orienté i1 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit angle d'incidence.
  • L'angle orienté i2 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfracté est dit angle de réfraction.
  • Les angles i1 et i2 sont positifs si ils sont orientés dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre), négatifs sinon.

On prend n1 l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et n2 celui du milieu dans lequel se propage le rayon réfracté.

Pour pouvoir énoncer la loi de la réfraction, il faut que le rayon réfracté, le rayon incident et la normale (au dioptre) soient dans un même plan qui est appelé le plan d'incidence et que le rayon incident et le rayon réfracté soient situés de part et d'autre de la normale.

Lorsque n> n2 (et respectivement n< n2) le rayon réfracté (et respectivement : incident) se rapproche plus rapidement du dioptre que le rayon incident (ou réfracté). Cependant, il existe un cas particulier où le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre (sa limite) : il y a alors réflexion totale.

Vérification mathématique de la formule

Avant de vérifier une formule de façon empirique (expérimentalement), il est important de la démontrer de façon mathématique afin de montrer au professeur ou à l'évaluateur que vous avez bien compris votre sujet.

Il faut d'abord connaître la longueur des rayons réfléchis. On utilise alors le théorème de Pythagore pour connaître la longueur de l’hypoténuse et donc la longueur des rayons :

    \[\begin{cases}AI^{2}=\left(x-x_{A}\right)^{2}+\left(y-y_{A}\right)^{2}\\BI^{2}=\left(x-x_{B}\right)^{2}+\left(y-y_{B}\right)^{2}\end{cases}\]

Rappel : D'après le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des côtés adjacents à cette dernière.

Il faut ensuite poser les conditions de l'expérimentation :

  • Dans le milieu 1, l'onde se déplace à la vitesse c (vitesse de la lumière)
  • Dans le milieu 2, l'onde se déplace à la vitesse v avec : 

        \[v=\frac{d}{t}\]

Il faut, dans un second temps, établir les temps de déplacement des ondes lumineuses avec :

  • t1 le temps de parcours dans l'air 

        \[t_{1}=\frac{AI}{c}\]

  • t2 le temps de parcours dans le milieu 2 

        \[t_{2}=\frac{BI}{v}\]

  • tAB le temps de parcours dans l'air mis l'onde pour aller de A à B

On a donc :

    \[t_{AB}=\frac{AI}{c}+\frac{BI}{v}\]

On doit maintenant déterminer l'abscisse x de telle sorte que tAB soit minimal.

On cherche donc à obtenir : 

    \[\frac{\text{d}t_{AB}}{\text{d}x}=0\]

    \[\frac{\text{d}t_{AB}}{\text{d}x}=\frac{1}{c}\times\frac{AM}{AI}+\frac{1}{v}\times\frac{-BN}{BI}\]

    \[\frac{\text{d}t_{AB}}{\text{d}x}=\frac{1}{c}\times\sin\left(i_{1}\right)-\frac{1}{v}\times\sin\left(i_{2}\right)\]

Or, pour obtenir ce que l'on cherche, il faut que :

    \[\begin{cases}\frac{\text{d}t_{AB}}{\text{d}x}=0\\\frac{1}{c}\times\sin\left(i_{1}\right)=\frac{1}{v}\times\sin\left(i_{2}\right)\end{cases}\]

Ainsi, la formule de Snell-Descarte pour la réfraction est démontrée !

    \[\sin\left(i_{1}\right)=n\times\sin\left(i_{2}\right)\]

Le matériel utilisé pour l'expérience

La source lumineuse :

La source lumineuse utilisée doit être une lampe produisant une lumière blanche associée à une fente. Cette fente permet alors d'obtenir un faisceau lumineux étroit horizontalement (pour augmenter la précision des mesures) mais assez large pour que son "empreinte" puisse être visualisée sur l'ensemble du disque optique.

Remarque : l'utilisation d'un laser aurait permis d'éviter toute dispersion de la lumière mais son faisceau étroit rend difficile la visualisation du rayon réfracté.

Le disque optique :

Il s'agit d'un disque tournant gradué permettant de modifier l'angle d'incidence et de lire facilement la valeur des angles de réfraction et d'incidence.

Remarque : l'angle d'incidence est ici modifié en changeant l'inclinaison de la surface de séparation mais certains dispositifs modifient l'orientation de la source lumineuse.

Le demi-cylindre transparent :

il est placé de manière à ce que son diamètre et son centre coïncident avec celui du disque optique.

Le principe de fonctionnement du dispositif

Tout d'abord, la lumière émise par la source est composée de rayons incidents qui atteignent le demi-cylindre au centre de sa face plane (celle-ci correspondant également au centre géométrique du cylindre complet).

Suite à leur rencontre avec le demi-cylindre, les rayons lumineux subissent une réfraction lors du changement de milieu et se propagent suivant l'un des rayons du demi-cylindre jusqu'à sa face circulaire.

Puisque chaque rayon est perpendiculaire à la face de sortie, celui-ci ne subit pas une deuxième déviation et conserve sa direction (ce qui justifie l'utilisation d'un demi-cylindre pour cette expérience).

Si le demi-cylindre a été placé correctement alors la normale de sa face plane coïncide avec l'angle nul du disque optique et les graduations de ce dernier permettent de lire directement la valeur de l'angle d'incidence et celle de l'angle de réfraction.

La série de mesures

Afin de vérifier de façon empirique la relation entre l'angle d'incidence et l'angle de réfraction on réalise une série de mesures. L'angle d'incidence est choisi en faisant tourner le disque optique et l'angle de réfraction est déterminé grâce au rayon émergent.

Exploitation des mesures et vérification de la loi de Snell-Descartes

Puisque le premier milieu est l'air, il présente un indice de réfraction égal à 1.  la loi de Snell-Descartes s'écrit alors :

    \[\sin\left(i_{1}\right)=n_{2}\times \sin\left(i_{2}\right)\]

Cette relation implique une proportionnalité entre le sinus de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction. Pour vérifier cela, il suffit de tracer le graphique de

    \[\sin\left(i_{1}\right)=f\left(\sin\left(i_{2}\right)\right)\]

Suite à ce tracé, on pourra vérifier s'il y a effectivement proportionnalité entre ces grandeurs. Si c'est le cas, alors on doit obtenir une droite passant par l'origine caractéristique d'une fonction linéaire.

Il faut donc commencer par rassember dans un tableau les valeurs de i1 et i2 puis les utiliser pour calculer sin(i1) et sin(i2).

Lors du calcul il faut bien veiller à ce que la calculatrice soit réglée en mode degré et non en mode radian.

i1 (en °)i2 (en °)sin(i1)sin(i2)
0000
106,50,170,11
20140,340,24
30200,500,34
4026,50,640,45
5032,50,770,54
60360,870,59
7039,50,940,64
8041,50,990,66

L'utilisation du tableur du logiciel Régressi permet d'obtenir le graphique suivant:

 

Comment travailler dans les métiers de l'optique ?
Exemple de graphique avec le logiciel Régressi.

La droite obtenue permet de confirmer la loi de Snell-Descartes. Pour aller plus loin, on peut vérifier que son coefficient directeur correspond bien à l'indice de réfraction du matériau du demi-cylindre. Ici, le logiciel Régressi fournit une valeur de 1,46 ce qui est cohérent avec l'indice du plexiglas (1,51).

Maintenant que vous êtes incollables sur la loi de la réfraction de Snell-Descartes, il nous vous reste plus qu'à étudier celle de la réflexion !

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !