Procédés physiques de transmission d’un signal

Dans ce problème, on se propose d’étudier et de comparer le câble coaxial et la fibre optique comme supports de distribution de signaux. La partie I traite du câble coaxial. Dans la sous-partie I.1, on le supposera parfait, tandis que la sous-partie I.2 visera à en affiner la modélisation. La partie II traite de la fibre optique. Après avoir rappelé quelques résultats généraux d’optique géométrique dans la sous-partie II.1, on détaillera la propagation des rayons dans la fibre à saut d’indice (sous partie II.2) puis dans la fibre optique à gradient d’indice (sous-partie II.3), ce qui nous conduira à analyser une technique d’augmentation de la capacité de transmission : le multiplexage (sous-partie II.4). La sous-partie II.5 est consacrée aux pertes associées à l’usage de la fibre optique.

A quoi servent les ondes ?
De nos jours on utilise les ondes pour transmettre toutes sortes de données : téléphone, wifi, radio, télévision, etc.
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C'est parti

Partie I – Le câble coaxial

Un câble coaxial, représenté en figure 1, est constitué d’un fil de cuivre cylindrique central, de rayon a, appelé âme, et d’un conducteur cylindrique creux de même axe de révolution, également en cuivre, appelé gaine et de rayon intérieur b. Un isolant occupe tout l’espace entre l’âme et la gaine. À l’entrée du câble coaxial, on place un générateur de tension, non représenté, entre l’âme et la gaine.

Figure 1 : Structure d’un câble coaxial

On modélise le câble coaxial, milieu continu, par une ligne électrique à constantes réparties, pour laquelle on note respectivement Λ et Γ les inductance et capacité par unité de longueur. La ligne est modélisée par une succession de tronçons élémentaires de longueur dx, considérés comme des quadripôles élémentaires auxquels sont associées une inductance d d L x = ⋅ Λ et une capacité d d C x = ⋅ Γ . Le schéma électrique d’un tronçon de ligne de longueur dx est représenté en figure 2.
Dans ce modèle, on néglige toute perte résistive. On note i xt ( , ) et i x xt ( + d , ) les intensités des courants dans la ligne, à l’instant t, aux abscisses respectives x et x x + d . On note u xt ( , ) et u x xt ( + d , ) les tensions entre l’âme et la gaine, à l’instant t, aux abscisses respectives x et x x + d . Les tensions et courants sont des signaux sinusoïdaux alternatifs de fréquence f.

Figure 2 – Schéma électrique d’un tronçon de ligne de longueur dx

I.1 – Le câble coaxial parfait

A quoi sert le câble coaxial ?
Le câble coaxial est utilisé pour transmettre des données numériques. Il équipe par exemple ceux qui reçoivent la télévision par satellite.

Q1. Comment le courant circulant dans l’âme revient-il jusqu’au générateur de tension ?

Q2. Démontrer que les deux équations différentielles couplées sur u et i sont :

    \[ \frac { \partial u (x , t ) } { \partial x } = - \wedge \frac { \partial i (x , t ) } { \partial t } \]

et

    \[ \frac { \partial i (x , t ) } { \partial x } = - \tau \cdot \frac { \partial u (x , t ) } { \partial t } \]

Vous considérerez, notamment, que :

    \[ \frac { \partial u (x + \text{d}x , t ) } { \partial t } = - \tau \cdot \frac { \partial u (x , t ) } { \partial t } \]

à l'ordre de 0 en dx.

Q3. Montrer que u (x,t) et i (x,t) obéissent à deux équations de propagation de D’Alembert.
En déduire l’expression de la vitesse de propagation v des signaux dans la ligne en fonction de Λ et Γ . Vérifier sa dimension.

Q4. On étudie les solutions des équations de D’Alembert en régime permanent sinusoïdal. La tension u (x, t) correspond à la partie réelle de la tension complexe u (x, t). L’intensité i (x, t) correspond à la partie réelle de l’intensité complexe i (x, t). On propose, avec j le nombre complexe tel que j² = - 1, des solutions complexes des équations de propagation de la forme.

Q5. Donner l’expression de ρ en fonction de l’impédance caractéristique

    \[ Z _ { c } = \sqrt { \frac { \wedge } {\tau } } \]

Préciser son unité.

Q6. L’extrémité du câble, de longueur d, est fermée sur une impédance Z . Exprimer i1 en fonction de : i0 , Z , ρ, k et d.

I.2 – Le câble coaxial avec pertes

La modélisation précédente ne décrit qu’imparfaitement la propagation du signal. Aussi on se propose d’étudier le modèle représenté en figure 3 dans lequel on a inséré une résistance dR = r ⋅ dx par rapport au modèle de la figure 2 de la page 2.

Figure 3 – Schéma électrique d’un tronçon de ligne imparfait de longueur dx

Q8. Quelle est l’origine physique de la résistance dR ?

Q9. Montrer que l’équation de propagation de l’onde de tension u xt (x, t) est :

    \[ \frac { \partial ^ { 2 } u (x,t) } { \partial x ^ { 2 } } = \wedge \cdot \tau \cdot \frac{ \partial ^ { 2 } u (x,t) } { \partial t ^ { 2 } } \]

Q10. En considérant une solution de la forme u (x, t) = u0 exp ( j ( ω t - k x) à l’équation de propagation précédente, dans laquelle k est une pulsation spatiale complexe, trouver l’équation de dispersion associée à la ligne.

Partie II – La fibre optique

Qu'est-ce qu'une fibre optique ?
La fibre optique a apporté une véritable révolution dans le monde de l'informatique et dans le monde des réseaux. Pour cause, elle a permis de multiplier par 100 les débits atteints auparavant par les câbles de cuivre et à aussi donné la possibilité à certaines campagnes reculées de se connecter à internet avec une meilleure rapidité.

Dans toute cette partie, on notera 8 1 c 3,00 x 10 m/s la célérité de la lumière dans le vide.

II.1 – Généralités

Q15. Énoncer les lois de Snell – Descartes relatives à la réflexion et à la réfraction de la lumière en les accompagnant de schémas.

Q16. Lors d’une séance de travaux pratiques, on dispose d’un disque métallique gradué en degrés, d’un laser et d’un demi-cylindre de plexiglas dont la face plane est confondue avec un diamètre du disque métallique. La lumière du laser arrive sur la face courbe du demi-cylindre de plexiglas suivant un de ses rayons comme indiqué en figure 4. Le demi-cylindre peut pivoter sur le disque métallique autour de l’axe (Oz), O étant le centre du disque.

Figure 4 – Expérience avec un demi-cylindre en plexiglas

Reproduire la figure 4 et tracer les rayons réfractés et réfléchis issus du laser. Quelles lois peut-on vérifier avec cette expérience ? Quel phénomène pourra être mis en évidence à l’occasion de cette expérience ? Pourquoi utiliser un laser comme source lumineuse ?

II.2 – La fibre optique à saut d’indice

Une fibre optique à saut d’indice, représentée en figure 5, est constituée d’un cœur cylindrique transparent d’indice nc = 1,500 et de rayon rc, entouré d’une gaine transparente d’indice ng = 1,485. L’axe Ox de la fibre est normal au dioptre air-cœur. En raison de la symétrie de révolution de la fibre autour de l’axe Ox, on se restreint à une étude dans le plan (xOy).

Figure 5 – Fibre optique à saut d’indice

Q17. Un rayon lumineux monochromatique se propageant dans l’air, situé dans le plan (xOy), pénètre dans le cœur de la fibre en O avec un angle d’incidence θ. Montrer que le rayon reste dans le cœur si l’angle θ est inférieur à un angle limite θL, appelé angle d’acceptance de la fibre optique, dont vous donnerez l’expression en fonction de nc et de ng. Calculer la valeur de θL. L’indice de l’air vaut na = 1,000.

On considère maintenant une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d’incidence θ variable compris entre 0 et θL.

Q18. Quel est le rayon qui traverse le plus rapidement la fibre ? Exprimer, en fonction de L, c et nc, la durée de parcours T1 de ce rayon.

Q19. Quel est le rayon qui met le plus de temps à traverser la fibre ? Exprimer, en fonction de L, c,ng et nc, la durée de parcours T2 de ce rayon.

On injecte à l’entrée de la fibre une impulsion lumineuse de durée τe, représentée en figure 6, formée par un faisceau de rayons ayant un angle d’incidence compris entre 0 et θL.

Q21. Reproduire la figure 6. Représenter l’allure de l’impulsion en sortie de fibre. Préciser sa durée, approximative τs. On négligera ici tout phénomène d’absorption de la lumière par la fibre.

Q22. Le codage binaire de l’information consiste à envoyer des impulsions lumineuses, appelées bits, périodiquement avec une fréquence f. En supposant τe négligeable devant δT , quelle est la fréquence maximale de transmission fmax qui empêche le recouvrement des impulsions à la sortie de la fibre ?

Q23. En considérant Lmax la longueur maximale de fibre optique qui permet d’éviter le phénomène de recouvrement des impulsions, on définit le produit BL f = ⋅ max comme étant la bande passante de la fibre optique. Exprimer B en fonction de c, nc et ∆ . Expliquer l’intérêt d’introduire cette grandeur. Pour un débit de 100 Mbits par seconde, évaluer et commenter la
longueur maximale de fibre optique que l’on peut utiliser pour transmettre le signal.

II.3 – Le multiplexage par longueurs d’onde

A quoi sert le multiplexage ?
Le multiplexage est une fonction que l'on retrouve également dans les voiture depuis maintenant une vingtaine d'années. Il permet de raccourci les câblages et évite les courts-circuits.

Un article d’un ouvrage sur les fibres optiques décrit la technique du multiplexage par longueurs d’onde de la façon suivante : […] « Pour augmenter la capacité de transmission on peut utiliser la technique du multiplexage par répartition de longueurs d’onde (wavelength division multiplexing : WDM). L’idée est de transmettre plusieurs signaux optiques à différentes longueurs d’onde et de les combiner pour les envoyer sur une même fibre. Le multiplexage WDM utilise des multiplexeurs de longueur d’onde, composants sélectifs et réciproques. Au contraire des coupleurs, où le même signal est réparti entre les différentes sorties, les multiplexeurs possèdent un accès commun et n accès sélectifs.

Des signaux portés par des longueurs d’onde différentes arrivant par l’accès commun sont aiguillés vers des sorties différentes. En sens inverse, des signaux de longueurs d’onde différentes arrivant par leur accès propre sont multiplexés, en théorie sans pertes, sur la sortie commune. On peut ainsi citer la technologie CWDM qui multiplexe 4 à 8 longueurs d’ondes espacées de 10 à 20 nm ».

Q30. Quel est l’avantage du multiplexage par longueurs d’onde par rapport à une transmission avec une seule longueur d’onde ?

Q31. Illustrer, à l’aide d’un schéma, le principe de multiplexage par longueurs d’onde pour quatre signaux de longueur d’ondes différentes.

Q32. Expliquer le terme de réciproque.

Q33. L’article s’accompagne de la figure 9 suivante. En vous basant sur cette dernière, expliquer le principe de multiplexage / démultiplexage par réseau de diffraction.

Figure 9 – Multiplexage démultiplexage par réseau de diffraction

Q34. Pour assurer les transmissions à grande distance, il faut raccorder de nombreuses fibres optiques. La difficulté pour abouter deux fibres réside dans les dimensions en jeu : le cœur
d’une fibre optique unimodale est de l’ordre de 9 microns… Cependant, la liaison entre fibres optiques doit être particulièrement soignée sinon il peut y avoir une perte de puissance du
signal et donc une moindre distance parcourue. Commenter et illustrer, par un schéma simple, chacun des trois problèmes rencontrés lors de la jonction entre deux fibres de même diamètre
de cœur et de gaine : la concentricité, l’écartement longitudinal et le désalignement angulaire.

Q35. Les fibres optiques multimodales OM1, aussi appelées 62,5/125, ont un cœur de diamètre de 62,5 microns et une gaine de diamètre extérieur de 125 microns. Peuvent-elles être aboutées à
des fibres optiques multimodales OM2, aussi appelées 50/125, dont le cœur a un diamètre de 50 microns et la gaine un diamètre extérieur de 125 microns ? Discuter selon le sens de propagation de la lumière dans les fibres.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.